[r]
Trang 1SO GIAO DUC VA DAO TAO ĐÈ THỊ CHỌN HỌC SINH GIOI CAP TINH
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 ph ( không kê phát đê )
BAN CHINH
Câu 1.(4 điểm)
1 Tìm số tự nhiên có 4 chữ số biết rằng số đó chia cho 131 thì còn du 112 và khi chia cho 132 thì còn dư 98
2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3xÏ+ 2xy +5y)=45,
Câu 2.(5 điểm)
! Giải hệ phương tàn TT ty )~2x—2y=6
x+y-xy=ẩ
2 Cho các số thực dương x, y, z thỏa x + 2y + 3z = 18 Chứng minh rằng
2y+3z+5 „3Z†x1Š L3 t2 tổ y > St
Khi nào thì xảy ra đẳng thức?
Câu 3.(3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy cho cac diém A(1;2); B(2;4); C(8; 3) va
D(6;0) Viết phương trình đường thăng đi qua điểm C chia déi dién tich tu gidc
Câu 4.(3 điểm)
Cho đoạn thăng AB cố dịnh với AB = a M là điểm di động trén AB, ta vé các
đường tròn tâm Á bán kính AM và đường tròn tâm B bán kính BM; gọi PQ là một tiệp tuyên chung của hai đường tròn Tìm giả trị lớn nhật của diện tích tam giác MPQ
theo a
Câu 5.(5 điểm)
Cho tam giác ABC với BAC = 60°, ABC = 75° va AB =a,
i Tinh chu vi va diện tích tam giác ABC theo a
2 Gọi M,P, Q là các điểm lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB Tim gia trị nhỏ nhất của chu vị tam giác MPQ theo a
nithanhcona@gmailcom 0884 114 729
Trang 2SO GIAO DUC VA DAO TAO
BÉN TRE
HUGNG DAN CHAM
THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TINH LỚP 9 TRUNG HỌC CƠ SỞ
Môn: TOÁN Năm học 2009-2010
1 1 Tacé: N= 131x + 112 = 132y + 98 0,25
1000 <132y +98 < 10000 0,75
DoNcó 4chữsốnên ©———<<y<———— 1000-98 10000 — 98
Từ đó: 7<y<75()
Vì: x— y>0, x-y nguyên và (*) nên y = 14 và x = 14 0,50
2 Ta có phương trình: 3x” + 2yx + Sy - 45 = 0 0,25
0,25 Nghĩa là: |y|<3 và như vậy |y|= 0,1,2,3
Thử với |y|=0/2 đều không thỏa Á' là số chính phương | 0.25
Tóm lại: Phương trình có sáu nghiệm là: ở 1; (-4;1) ; 0,25 (0;-3) ; (23-3) ; (033) va ( -2;3)
ta có hệ:
>
Do đó: 5=2 và P=-3 và suy ra: v 0.50
2 Dat: 1+x=a;1+y=b;1+z=c thi atb+c=21 và bên nụ thức 0,75
34+b+c 3+c+a 3+a+b
đã cho trở thành: + + >0)
— a b c
Dé y rang:
| (zœ+B+c)(—+—+—)>9——+—+—>-—=_- Và -
nithanhcong@dmailcom Ú9&4 114 739
Trang 3
G 8 x98 1255.8 Soo
Đăng thức xảy ra khi: a=b=c=7 nghĩa là x=6;y=3;z=2 0,50 Phương trình đường thăng AC: x-7y+13=0 0,50
Phương trình đường thăng (d) qua B song song AC: x- 0,50 Ty+26=0
Phương trình đường thăng AD: 2x+5y-12=0 0,50
0
19 19
25
1919
Đường thăng CF chia đôi diện tích tứ giác ABCD có 0,75
phương trình: 475x - 2432y + 3236 = 0
Xét hình thang vuông ABQP: với MA=x ; MB=y 0,50 PQ? = AB? - (BQ- AP)? = (x+ y) -(x-y)? = 4y
Gọi MH là đường cao tam giác MPQ: băng cách tính toán | 0,75
thích hợp ta tìm được: MH = 2
a
Nhung: Joy s*2% =F Joy s
Giá trị lớn nhất của diện tích tam giác MPQ là vin
1 Kẻ đường cao BH của tam giác ABC
0,50
AH = 5; on =, BC = sẽ,
CA=CH + 4H = sẽ, od 2 alien 0,50
ae a3 +1) _ a3+ý6 +3) V6 +3) 0,50
p=a+
Diện tích a giac ABC:
0,50
nithanhcong@gmail.com 0984 114739
Trang 4
gel a(V¥3 +1) a⁄3 _ a'3+43)
2 2 2 8
2 Xét điểm M cô định trên BC Gọi M',M'' lân lượt là 0,50
điêm đôi xứng của M qua AB, AC thì độ dài M°M” là giá
trị nhỏ nhất của chu vi tam giác MPQ
Dé y rang AM’M”’ Ia tam giac cân có góc M’AM”’= 120° 1,00
nên tam giac M’A’M” khi thay doi ty déng dạng với chính
nó nên M°M” nhỏ nhất khi AM nhỏ nhất khi đó AM trở
thành đường cao AK của tam giác ABC
Ta có thê tính độ dài AK theo cách:
a3 a(J3+1) i
2 Giá trị nhỏ nhât của chu vi tam giác MPQ sẽ là:
0,75
7 AKN3 _a3+V3) gq _ a3 +)
nlthanhcong@gmail.com 0984 114739