Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu.
Trang 1GTLN-GTNN VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
Bài 1 (ĐH A2003) Cho x ,y ,z là ba số dương và x y z+ + ≤1 Chứng minh rằng
82
3
x= = =y z
Bài 2 (ĐH B2003) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y x= + 4−x2
ĐS : Maxy[−2;2] =y(2) 2 2= ;
[ 2;2 ]
Miny y( 2) 2
− = − = −
Bài 3 (ĐH D2003) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1; 2].
2 1
1
x
y
x
+
=
+
ĐS : Maxy[−1;2] =y(1)= 2 ;
[ 1;2 ]
Miny y( 1) 0
− = − =
Bài 4 (ĐH B2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 1;e3
2
ln x
y
x
=
1;
4
e
y e
e
1;
Miny (1) 0
e
y
Bài 5 (ĐH A2005) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
x+ + =y z Chứng minh rằng
1
2x y z+x 2y z+ x y 2z ≤
4
x= = =y z
Bài 6 (ĐH B2005) Chứng minh rằng với mọi x R∈ , ta có
12 15 20 3 4 5
x x x
ĐS : x=0
Bài 7 (ĐH D2005) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rằng :
3 3 yz
.Khi nào đẳng thức xảy ra?
ĐS : x= = =y z 1
Bài 8 (ĐH A2006) Cho hai số thực thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x y xy x+ ) = 2+y2−xy
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3
A
x y
2
M A= ⇔ = =x y
Bài 9 (ĐH B2006) Cho x,y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A= (x−1)2+y2 + (x+1)2+ +y2 |y−2 |
3
MinA= + ⇔ =x y=
Bài 10 (ĐH A2007) Cho x , y , z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Tìm giá
Trang 2trị nhỏ nhất của biểu thức
x y z y z x z x y P
y y z z z z x x x x y y
ĐS : MinP= ⇔ = = =2 x y z 1
Bài 11 (ĐH B2007) Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ( 1) ( 1) ( 1)
2
MinP= ⇔ = = =x y z
Bài 12 (ĐH D2007) Cho a b≥ >0 Chứng minh rằng :
2 1 2 1
+ ≤ +
Bài 13 (ĐH B2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 =1 Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
x xy P
xy y
+
=
ĐS :
;
MaxP 3
;
= ⇔
= − = −
;
;
;
= − ⇔
Bài 14 (ĐH D2008) Cho x,y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2
(1 ) (1 )
x y xy P
=
Bài 15 (ĐH A2009) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z)=3yz,
ta có: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x + y)(x + z)(y + z)≤ 5(y + z)3
ĐS : x= =y z
Bài 16 (ĐH B2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
= ⇔ = =
Bài 17 (ĐH D2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy
ĐS :
4
x
x y
y
=
−
=
hoặc
4
4
x y
=
+
=
Bài 18 (ĐH B2010) Cho các số thực a ,b ,c không âm thỏa mãn a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức M = 3(a b2 2+b c2 2+c a2 2) 3(+ ab bc ca+ + ) 2+ a2+ +b2 c2
ĐS : MinM 2= ⇔( , , )a b c là một trong các bộ số : (1;0;0),(0;1;0), (0;0;1)
Bài 20 (ĐH D2010) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = − +x2 4x+21− − +x2 3x+10
3
x
Bài 21 (ĐH A2011) Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
Trang 3biểu thức
P
x y y z z x
Bài 22 (ĐH B2011) Cho các số thực a, b, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
2(a2+b2)+ab= +(a b ab)( +2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
= + ÷ − + ÷
1 4
a b
=
= − ⇔ =
hoặc
1 2
a b
=
=
Bài 23 (ĐH D2011−NC) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]0; 2
2
1
x x
y
x
+ +
=
+
ĐS : Miny[ ]0;2 =y(0) 3= ;
[ ] 0;2
17 Maxy (2)
3
y
Bài 24 (ĐH A2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức 3x y 3y z 3z x 6 2 6 2 6 2
P= − + − + − − x + y + z
ĐS : MinP 3= ⇔ = = =x y z 0
Bài 25 (ĐH B2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x y z+ + =0 và 2 2 2
1
x +y +z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5 5 5
P x= +y +z
Bài 26 (ĐH D2012) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)
Bài 27 (ĐH A2013) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện (a c)(b c) 4c+ + = 2 Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức
P
+
ĐS : MinP 1= − 2 ⇔ = =x y 1
Bài 28 (ĐH B2013) Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
(a b) (a 2c)(b 2c)
+ + +
8 a b c
= ⇔ = = =
Bài 29 (ĐH D2013) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1≤ − Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: 2 2
P
6(x y)
+
− +
Bài 30 (ĐH D2013−NC) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]0; 2
( ) 2 2 3 3
1
x x
f x
x
− +
=
+
ĐS : Minf(x)[ ]0;2 = f(1) 1= ;
[ ] 0;2
Maxf(x)= f(0) 3=