Tài liệu Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình Toán 9

Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầm quan trọng và ý nghĩa của việc học Toán, chưa được kích thích hành động tích cực, sáng tạo trong quá trình giải to

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”

Quảng Bình, tháng 11 năm 2017

tai lieu, document1 of 66.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 9”

1 PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Toán học là môn khoa học cơ bản, đã rất quen thuộc với các em học sinh ngay

từ tiểu học, song việc dạy tốt và học tốt môn Toán học đang là yêu cầu và mong muốn của toàn xã hội, nó góp phần hình thành nhân cách và là cơ sở khoa học để học tập, lao động và tạo ra của cải vật chất cho xã hội Như chúng ta đã biết, Toán học là một ngành, một môn học đòi hỏi tính suy luận và trí thông minh cao, nó nghiên cứu

về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, Toán học được mệnh danh là “ngôn ngữ của vũ trụ” hay như nhà bác học Carl Friedrich Gauβ đã nói, “Toán học là nữ hoàng của các môn khoa học” Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Có thể nói rằng không có Toán học, sẽ không có ngành khoa học nào cả Do đó môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ cho học sinh Tuy nhiên, qua quan sát việc học môn Toán của học sinh nhìn chung vẫn còn bị hạn chế, không ít em sợ Toán, coi việc học Toán là một công việc nặng nhọc, căng thẳng Nguyên nhân dẫn đến hiện trạng trên có thể do các em chưa nhận biết tầm quan trọng và ý nghĩa của việc học Toán, chưa được kích thích hành động tích cực, sáng tạo trong quá trình giải toán; cũng có thể do nội dung môn Toán khô khan, phương pháp dạy của giáo viên chưa thật sự hấp dẫn, cũng như chưa tạo ra bầu không khí tích cực trong các nhóm học sinh khi học Toán

Đặc biệt trong chương trình Toán lớp 9 có dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình” Đây là một loại toán có rất nhiều dạng, phong phú về bài tập và đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều Ngoài ra, còn phải biết tìm mối liên hệ, gắn kết các dữ kiện đưa ra trong bài để đưa ra cách giải hợp lý, ngắn gọn và chính xác nhất Dung lượng bài tập nhiều và phức tạp vì vậy việc vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài tập của học sinh phải ở mức độ cao hơn Do đó cần phải tìm ra một phương pháp giải bài tập phù hợp với trình độ năng lực của học sinh

Là giáo viên dạy Toán, tôi thấy việc giúp học sinh đi từ lý thuyết đến thực hành rất quan trọng, sẽ giúp ích cho học sinh áp dụng vào cuộc sống Ngoài ra, trong quá trình dạy học nên tìm cách tạo ra hứng thú cho học sinh lĩnh hội kiến thức và vận dụng vào từng dạng bài tập một cách tích cực và hiệu quả nhất để giúp học sinh không chỉ học tốt phần này mà nó còn kích thích tính hứng thú học tập để các em học tốt các phần tiếp theo

Hiện nay đã có các tài liệu đưa ra được phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình hay hệ phương trình Tuy nhiên để phù hợp với trình độ và năng lực của học sinh cần triển khai áp dụng một cách cụ thể chi tiết hơn

Từ những lí do đó tôi mạnh dạn đưa ra những ý kiến, kinh nghiệm của bản thân mình về “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình Toán 9”

tai lieu, document3 of 66.

1.2 Điểm mới của đề tài:

- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chú trọng đến phần kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình Một mặt xây dựng được cơ sở lý thuyết cơ bản, bổ sung các kiến thức liên quan Mặt khác tôi hướng dẫn các em học sinh cách nhận biết, phân loại các dạng bài tập và vận dụng phương pháp giải một cách nhanh chóng, hiệu quả Biết cách chọn ẩn trực tiếp hay chọn ẩn gián tiếp

- Với phương pháp này sẽ giúp các em học sinh có hứng thú với môn học, nhất

là học sinh yếu, rèn luyện tính tư duy, lập luận lô gic cho các em

1.3 Phạm vi áp dụng của đề tài:

- Dạng toán “Giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình” trong chương trình môn Toán 9

- Học sinh lớp 9 bậc trung học cơ sở tại đơn vị tôi đang công tác

- Giáo viên dạy Toán 9 THCS

tai lieu, document4 of 66.

2 NỘI DUNG

2.1 Thực trạng nội dung cần nghiên cứu:

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, đây là một trong những dạng toán lập phương trình cơ bản mà ở lớp 8 là tiền đề để các em được làm quen những dạng đơn giản, là cơ sở cho những bài toán phức tạp ở lớp 9 Thế nhưng hầu hết các em học sinh ở lớp 9 đều rất ngại khi giải các dạng toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình vì các em thấy khó mặc dù các em đã nắm được quy tắc chung Có nhiều em nắm được rất rõ các bước giải nhưng lại không biết vận dụng vào giải bài tập Vì các em không biết xuất phát từ đâu để tìm lời giải hoặc không biết tìm sự liên quan giữa các đại lượng để lập phương trình - hệ phương trình Mà đây là một dạng toán cơ bản, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra 1 tiết, kiểm tra học kỳ II của lớp

9 Nhưng đại đa số học sinh không làm được bài này do không nắm chắc cách giải, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì thiếu nhiều ý

Có những em chỉ biết giải những bài tập mà giáo viên đã giải trên lớp, khi gặp những

đề toán khác thì lại không giải được Đó cũng là do một số giáo viên chỉ sửa bài tập cho học sinh trong những giờ học trên lớp mà chưa chú ý đến việc giảng dạy cho học sinh các kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình là biến bài toán bằng lời thành phương trình ứng với bài toán đã cho Muốn vậy học sinh phải biết phiên dịch từ ngôn ngữ thông thường hay ngôn ngữ thực tế sang ngôn ngữ đại số Ngôn ngữ đại số đó là thứ ngôn ngữ không dùng đến lời mà chỉ sử dụng các kí hiệu toán học Vì nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với các hoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế Do đó trong quá trình giải học sinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý Từ những lý do đó mà học sinh rất ngại làm loại toán này Mặc khác, cũng có thể trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình

độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát được cách giải cho mỗi dạng

Kỹ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu, cách chọn ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ liệu trong bài toán, dẫn đến việc học sinh rất lúng túng và gặp rất nhiều khó khăn trong vấn đề giải loại toán này Đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình các em mới được học nên chưa quen với dạng toán tự mình làm ra phương trình Xuất phát từ thực tế đó nên kết quả học tập của các em chưa cao Nhiều em nắm được lý thuyết rất chắc chắn nhưng khi áp dụng giải bài tập thì lại không làm được Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng lập phương trình để giải toán, ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát triển khả năng tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn Toán 9

tai lieu, document5 of 66.

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình Toán 9”, tôi tiến hành khảo sát 2 lớp 9A,

9B của Trường THCS nơi bản thân tôi đang công tác trong năm học 2015 – 2016 dạng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

Kết quả như sau:

Qua thực tế giảng dạy và kết quả kiểm tra của học sinh tôi thấy kỹ năng làm bài của học sinh còn sai sót nhiều dẫn đến kết quả làm bài điểm còn thấp

Do vậy để các em học sinh nắm bắt được kiến thức, kỹ năng cơ bản của chương trình và vận dụng vào giải bài tập Tôi đã đưa ra một số dạng bài tập cơ bản ứng với lí

thuyết đã học, để rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình Toán 9 Tạo cho các em có thêm hứng thú với môn học

* Bước 1: Lập phương trình (hoặc hệ phương trình):

- Chọn ẩn số (đơn vị) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

* Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

* Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình (hệ phương

trình) nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận

Ở các bước trên thì bước 1 là quan trọng nhất vì có lập được phương trình (hệ phương trình) chính xác thì mới có được kết quả của bài toán đã ra

Để có thể giải đúng, nhanh bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình cả giáo viên và học sinh cần chú ý :

+ Đọc kĩ đề bài, nhận dạng và tóm tắt bài toán (sơ đồ, lập bảng) để hiểu rõ: đại lượng phải tìm, các đại lượng và số liệu đã cho, mô tả bằng hình vẽ nếu cần, chuyển đổi đơn vị nếu cần

tai lieu, document6 of 66.

+ Thông thường chọn ẩn trực tiếp, đặt điều kiện của ẩn phù hợp với yêu cầu của bài toán và với thực tế

+ Xem xét các tình huống xảy ra và các đại lượng nào mà số liệu chưa biết ngay được

+ Khi đã lập phương trình (hệ phương trình) cần vận dụng tốt kỹ năng giải các dạng phương trình (hệ phương trình) đã học để tìm nghiệm của phương trình (hệ phương trình)

+ Cần chú ý so sánh nghiệm tìm được của phương trình (hệ phương trình) với điều kiện của ẩn để trả lời

2.2.2 Phân loại dạng toán và bổ sung kiến thức cần thiết cho các dạng toán đó

2.2.2.1 Có thể phân loại thành 6 dạng toán thường gặp như sau:

- Dạng toán về chuyển động

- Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng

- Dạng toán về năng suất lao động

- Dạng toán tìm số

- Dạng toán có liên quan hình học

- Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học

vxuôi = vThực + v dòng nước

vngược = vThực - v dòng nước

v dòng nước = (vxuôi - vngược ) : 2

b Dạng toán về năng suất, làm chung, làm riêng:

+ Các đại lượng tham gia: Năng suất, công việc và thời gian

+ Năng suất lao động là n, thời gian làm việc là t, khối lượng công việc được

hoàn thành là A Công thức biểu thị: A = n.t ;t A ; n = A

 + Toàn bộ công việc được coi là 1

c Dạng toán tìm số:

+ Công thức mối liên hệ phụ thuộc giữa số bị chia a, số chia b, thương q và số

dư r là: a = b.q + r (0 r < b);

+ Dạng tổng quát của số có hai chữ số: ab (a 0 9;0 b 9;a,bN)

d Dạng toán liên quan hình học:

tai lieu, document7 of 66.

+ Công thức tính diện tích các hình cơ bản như: hình chữ nhật, tam giác, hình

tròn, hình vuông : Shcn = a.b (a chiều dài; b chiều rộng hình chữ nhật), Stamgiac =1

2 a.h (a cạnh đáy, h là chiều cao tương ứng), Stron =π r2 (r là bán kính), Svuong = a2 (a là cạnh hình vuông)

e Dạng toán có nội dung vật lí, hoá học

+ Công suất của một động cơ là P, thời gian làm việc là t, công là A Công thức biểu thị: A = P.t; P A; t = A

a/Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:

- Với dạng toán này cần khai thác ở các đại lượng: Vận tốc, thời gian, quãng đường (Lưu ý phải thống nhất đơn vị)

- Chọn ẩn và điều kiện thích hợp cho ẩn

- Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau:

Đại lượng

Các đối tượng

Vận tốc (km/h)

Thời gian (h)

Quãng đường (km) Đối tượng 1

Đối tượng 2

b/ Bài toán minh hoạ:

Bài toán 1: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10 km

Để đi từ A đến B, một ca nô đi hết 3 giờ 20 phút, một xe khách đi hết 2 giờ Biết vận tốc của ca nô kém vận tốc của xe khách là 17km/h Tính vận tốc của ca nô?

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

* Giải:

Đổi 31 10

3 3Gọi vận tốc của ca nô là: x (km/h), x > 0

Vận tốc của xe khách là: x +17 (km/h)

Đường sông từ A đến B dài là: 10

3 x (km) Đường bộ từ A đến B dài là: 2.(x+17) (km)

Theo bài ra ta có phương trình:

102(x 17) 10

3

  

6(x 17) 10x 304x 72

x = 18 (thoả mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của ca nô là 18 km/h

Cách 2: Gọi quãng đường sông dài là: x (km), x > 0

Ta có bảng sau:

Đại lượng

Phương tiện

Vận tốc (km/h)

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

(thoả mãn điều kiện)

Vậy vận tốc của ca nô là: 3.60 18

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

- Từ đó có hệ phương trình:

y x 17102y x 103

- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời

Bài toán 2: (Bài 47 SGK Toán 9/Trang 58)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe cô Liên là 3km nên bác Hiệp đến sớm hơn cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của mỗi người?

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x(km/h), x > 3

Khi đó, vận tốc xe của cô Liên là: x – 3 (km/h)

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là: 30

x (giờ) Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là: 30

Vậy: Vận tốc xe của bác Hiệp là 15km/h

Vận tốc xe của cô Liên là 15 – 3 = 12 (km/h)

tai lieu, document10 of 66.

Cách 2: Lập hệ phương trình:

- Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x > 3

- Vận tốc xe của cô Liên là y(km/h), y > 0

- Ta hướng dẫn học sinh theo bảng sau:

Đại lượng

Đối tượng

Vận tốc (km/h)

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

- Giải hệ phương trình và chọn câu trả lời

Bài toán 3: (Bài 3 Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán/Tr62 – Trần Lưu Thịnh)

Một ô tô đi quãng đường AB dài 80km trong một thời gian đã dự định, ba phần

tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh hơn dự định 10km/h, quãng đường còn lại ô tô chạy chậm hơn 15km/h Biết rằng ô tô đến B đúng giờ quy định Tính thời gian ô tô

đi hết quãng đường AB?

* Hướng dẫn giải

Cách 1: Chọn ẩn gián tiếp

+ Nếu gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h)

- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau :

Đại lượng

Đối tượng

Vận tốc (km/h)

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h), x > 15

Thời gian ô tô dự định đi là: 80

x (giờ) Đoạn đường ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 80.3 60

4 (km)

tai lieu, document11 of 66.

Thời gian ô tô đi với vận tốc x + 10 (km/h) là: 60

x = 40 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc dự định của ô tô là: 40 (km/h)

Do đó thời gian để ô tô đi hết quãng đường là: 80 2

40  (giờ)

Cách 2: Chọn ẩn trực tiếp

+ Nếu gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ)

Thì thời gian của ô tô dự định đi hết quãng đường AB là t (giờ)

- GV hướng dẫn học sinh phân tích bài toán theo bảng sau:

Đại lượng

Đối tượng

Vận tốc (km/h)

Thời gian (h)

Quãng đường (km)

¼ quãng đường 80

t – 15

208015

* Giải:

Gọi thời gian của ô tô đi hết quãng đường AB là t (giờ), t >0

Khi đó, thời gian ô tô dự định đi là: t (giờ)

Vận tốc ô tô dự định đi là: 80

t (km/h) Đoạn đường ô tô đi với vận tốc 80

t + 10 (km/h) là:

3

80 60

4  (km) Thời gian ô tô đi với vận tốc 80

t + 10 (km/h) là:

608010

t 

(giờ)

tai lieu, document12 of 66.

Đoạn đường còn lại ô tô đi với vận tốc 80

t – 15 (km/h) là: 80 – 60 = 20 (km) Thời gian ô tô đi với vận tốc 80

t – 15 (km/h) là:

208015

4800 900t 1600 200t 6400 12000t 800t 150t150t 300t 0

Với t = 0 (không thỏa mãn điều kiện); t = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian để ô tô đi hết quãng đường là 2 giờ

* Như vậy, qua bài toán trên ta thấy: Khi giải bài toán bằng cách lập phương

trình - hệ phương trình đa số chúng ta thường chọn trực tiếp đại lượng chưa biết làm

ẩn Nhưng đôi khi việc chọn đại lượng chưa biết làm ẩn làm cho việc giải bài toán trở nên phức tạp hơn Vì vậy, tùy theo bài toán đưa ra ta có thể chọn ẩn một cách gián tiếp thông qua một đại lượng khác

2.2.3.2 Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng:

“ làm chung - làm riêng ”, “vòi nước chảy” (toán quy về đơn vị)

a/ Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:

- Hướng dẫn học sinh có thể lập bảng như sau:

Đại lượng

Đối tượng

Thời gian làm xong 1 công việc Năng suất Công việc Đội I (Vòi 1)

Đội II (Vòi 2)

Cả 2 đội (2 vòi)

tai lieu, document13 of 66.