Chuyên đề NGUYÊN HÀM TRỌN BỘ

Tính tích phân bất định: I sinxdx cosx C Chúng ta cũng có thể tính ngay được nguyên hàm của một tổng mà không cần phải tách nhỏ một cách tỉ mỉ ra thành các nguyên hàm cơ bản như ở t

Gv: Lương Văn Huy (thầy Huy đen)

Chuyên đề

NGUYÊN HÀM

MỤC LỤC

Định nghĩa 01

Định lý 01

Ví dụ minh họa 01

Bảng nguyên hàm cơ bản 02

Tính chất nguyên hàm 03

Ví dụ minh họa 03

Dạng toán 1: Sử dụng định nghĩa tìm nguyên hàm 05

Ví dụ minh họa 05

Bài tập tự luyện 07

Dạng toán 2: Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản 09

Ví dụ minh họa 09

Các trường hợp đặc biệt và bảng nguyên hàm mở rộng 10

Bài tập tự luyện 13

Dạng toán 3: Đưa về dấu vi phân 14

Ví dụ minh họa 14

Bài tập tự luyện 16

Dạng Toán 4: Phương pháp phân tích 17

Ví dụ minh họa 18

Bài tập tự luyện 25

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN 28

I – LÝ THUYẾT 28

II – VÍ DỤ MINH HỌA 28

III – CÁC DẠNG TOÁN 31

A – ĐỔI BIẾN THUÂN 31

Dạng 1: I f cosaxb sinaxb dx

Dạng 2: Tìm nguyên hàm: I f sinaxbcosaxb dx

Dạng 3: Tìm nguyên hàm: 2 2 sin sin 2 cos x I xdx x           36

Dạng 4: Tìm nguyên hàm:     2 1 tan cos I f ax b dx ax b        

Dạng 5: Tìm nguyên hàm:     2 1 cot sin I f ax b dx ax b        

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Dạng 6: Tìm nguyên hàm: I f sinxcosxsinxcosx dx

Dạng 7: Tìm nguyên hàm:  ax b ax b I f e  e  dx đặt ue ax b duae ax b dx

Dạng 8: Tìm nguyên hàm: I f lnax b 1 dx ax b        

Dạng 9: Tìm nguyên hàm: ln ln  1 ln I f x dx x x     

Dạng 10: Tìm nguyên hàm: I  f x n 1x dx n

Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I f x 1 dx x 

Dạng 12: Tìm nguyên hàm: I  f ax b dx

Dạng 13: Tìm nguyên hàm: I f x 1 1 12 dx x x                

B – ĐỔI BIẾN NGHỊCH

Dạng 1: Tìm nguyên hàm:  2 2 , I  f x x a dx

Dạng 2: Tìm nguyên hàm:  2 2 , I  f x x a dx

NGUYÊN HÀM CỦA VÀI LỚP HÀM ĐẶC BIỆT

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ

Dạng 1: Mẫu chỉ gồm nghiệm đơn

Dạng 2: Mẫu gồm nghiệm đơn và nghiệm bội

Dạng 3: Sử dụng biến đổi cơ bản

Loại 1: ( 0) ax dx I a b    

Loại 2: I ax b dx cx d    

Loại 3: 2 2 dx ( 0, 0) I a ax bx c ax bx c        

Loại 4: 2 2 ax bx c I dx ex f      hoặc 2 3 2 ax bx c I dx mx nx p      

Loại 5: I (mx2 n dx) (a 0;m 0) ax bx c       

Loại 6: ( )2 ( )( ) P x dx I x  ax bx c     

Loại 7: Tổng quát: 6 ( )

( )

p x

q x



Ví dụ minh họa

Bài tập rèn luyện có đáp án

NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ

Dạng 1:  2  , R x ax bxc dx 

Dạng 2: 2 dx I ax bx c    

Dạng 3:   2 2 1 t x dx dt x ax bx c t t                 

Dạng 4: ,n ax b R x dx cx d             

Phép thế ơle

Dạng 5: I dx ax b cx d     

Dạng 6: 2 ( ) dx I mx n ax bx c     

Dạng 7: Giả sử tính tích phân của f x dx 

Loại 1: f x( ) f x ,a x,b x,c x 

Loại 2:   ,m ax b,n ax b

f x f x cx d cx d           

Dạng 8: Rnaxbm;qaxbpdx   

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

Dạng 1:     sin sin dx I x a x b    

Dạng 2: sin sin dx I x    

Dạng 3:   tan tan ( ) cot ( ) cot ( ) cot ( ) I x x dx I tg x g x dx I g x g x dx                      

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Dạng 4:

dx I







Dạng 5:   1 1 2 2 2 sin cos sin cos a x b x I dx a x b x    

Dạng 6: sin cos sin cos a x b x I dx c x d x    

Dạng 7: sin cos dx I a x b x c    

Dạng 8: 1 1 1 2 2 2 sin cos sin cos a x b x c I dx a x b x c      

Dạng 9: 2 2 1 1 1 2 2 sin sin cos cos sin cos a x b x x c x I dx a x b x     

Dạng 10: 2 sin sin cos cos dx I a x b x x c x    

Dạng 11:  2 2 2 2  sin cos sin cos x x I dx a x b x    

Dạng 12: sin cos dx I a x b x   

Dạng 13: I sinm x.cosn xdx

Dạng 14: I sinmx.cosnxdx

Dạng 15:

Bài tập tự luyện có đáp án

PHƯƠNG PHÁP DÙNG NGUYÊN HÀM PHỤ, NGUYÊN HÀM LIÊN KẾT

Ví dụ minh họa

Bài tập tự luyện

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN, SƠ ĐỒ CHÉO

A - KIẾN THỨC CẦN NHỚ

B - KỸ NĂNG GIẢI TOÁN

Dạng 1: sin ( ) n ax ax I P x cosax dx e            

Dạng 2: I P x( ) ln(ax dx)   

Dạng 3: sin

cos

ax bx

bx



C - KỸ THUẬT SƠ ĐỒ CHÉO

Bài tập rèn luyện có đáp số

D - KỸ THUẬT THÊM BỚT HẰNG SỐ C

Ví dụ minh họa

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÓ ĐÁP ÁN

NGUYÊN HÀM – HÀM ẨN

A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT

B - CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Ví dụ minh họa

Bài tập rèn luyện có đáp án

BÀI TẬP TỔNG ÔN

ĐÁP ÁN

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

 Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x  nếu F x  f x 

 Một hàm số có thể có nhiều nguyên hàm khác nhau, các nguyên hàm sai khác một hằng số C

 Tập hợp tất cả NH của hàm số f x gọi là họ NH của hàm số f x  kí hiệu

f x dxF x C

  : Được gọi là dấu tích phân

 f x : Hàm số dưới dấu tích phân

G x F x C cũng là một nguyên hàm của f x  trên K

2) Nếu F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  trên K thì mọi nguyên hàm của f x  trên K đều có

dạng F x C, với C là một hằng số

Do đó F x C C,   là họ tất cả các nguyên hàm của f x  trên K Ký hiệu  f x dx  F x C

Ví dụ 1: Ta có sinx cosx , nên ta nói ysinx là một nguyên hàm của hàm số f x cosx và ta viết

2 Sự tồn tại của nguyên hàm

du

C u

du tgu C

a



1sin(ax b dx) cos(ax b) C

2 0,5 1 0,5

Ghi nhớ: Nguyên hàm còn được gọi là tích phân bất định (tích phân không xác định)

Ví dụ 1.2.4 Tính tích phân bất định: I sinxdx cosx C

Chúng ta cũng có thể tính ngay được nguyên hàm của một tổng mà không cần phải tách nhỏ một cách tỉ mỉ

ra thành các nguyên hàm cơ bản như ở trên:

(

2

khix x

x

khix e x F

2

0)

(

khix x

khix e x

2

0)

('

khix x

khix e x F

x

- Với x = 0, ta có:

1lim

0

)0()(lim

lim0

)0()(lim

0

0 2

0 0

F x F F

x

e x

x x

F x F F

x

x x

x x

Nhận xét rằng: F’ 0   F’ 0   1 F’ 0  , có nghĩa là hàm số F(x) có đạo hàm tại điểm x = 0 1

01

2

0)

(

khix x

khix e x

Ví dụ 2: Tìm xem các hàm số sau là nguyên hàm của các hàm số nào ?

a F x  x n x 1 cosx sinx tanx cotx e x a x lnx loga x

x adx x x aa x x a C



Bài 3: Xác định nguyên hàm F(x) của: I (1 2 x3x2  nx n 1)dx biếtF 0 0

Bài 4: Xác định nguyên hàm F(x) của hàm số f x   sinx1 sin x biết rằng 1

x x

Áp dụng: tính

3 2

dx I

11

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính bằng

phương pháp đổi biến số đặt u  ax b   du  ? dx  dx  ? du

HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT TRỜI

 6.sinudu cosuC

cotudu ln cosu C

46.cot2udu cotu u C 47. 3 1 2 

58.ucosuducosuusinuC 59.u nsinudu u ncosun u n 1cosuduC

60.u ncosuduu nsinun u n1sinudu

y  c ysin3x.cos 3xcos3x.sin 3x

d yloga xlnx e ysinmx.cosnx(m, n là hằng số)

Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau:

- Cho hàm số xác định trên và có đạo hàm trên đoạn đó ta có

Dạng toán 3: Đưa về dấu vi phân

Ví dụ minh họa

d e e

x y

x



1.ln ln(ln )

tancos

xdx y

Bài 2: Thôi nhìn bài 1 là không muốn làm bài 2 rồi =))

Bài 3: Khiếp! bài 2 còn không có thì các em mơ ước gì ở bài 3

()

5 Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp của hàm lượng giác

Với mục đích biến đổi tích thành tổng (với hàm phân thức phải có tử là tổng và mẫu là tích)

Thực chất là việc sử dụng đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân

thành tổng các hạng tử mà nguyên hàm có thể tính được dựa vào bảng nguyên hàm cơ

bản.

Dạng toán 4: Pp phân tích

x dx B

x dx B

4 I4 tan2xdx(1 tan 2x1)dxtanx x C

5.I5tan4xdx(tan4xtan2xtan2x 1 1)dx

tan

tancos

x

2tan

ln cos2

x

x C

Bài 6: Tìm các nguyên hàm sau:

a Itan2xdx b I2 sin 3 cos 2x xdx c I 2a x 3xdx

e.Đs: I cot – tan x x  C f.Đs: I 2e xtanxC

Bài 7: Tìm các nguyên hàm sau:

f x dx φ t φ t dt

Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau:

  u    

I f u x   x dx f t dt đơn giản hơn

     

I f x dx f u u t dt đơn giản hơn

Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định cũng có hai dạng cơ bản dựa trên định lý sau:

Định lý 2: (Áp dụng cho tích phân)

a Nếu  f x dx  F x Cvà uφ t  là hàm số có đạo hàm trong khoảng [a,b]

thì:

) (

) (

)

)

(

)()

b Nếu f(x) là hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a,b], hàm số xφ t  xác định và liên tục trên đoạn

[, ] và thoả mãn các điều kiện sau:

i Tồn tại đạo hàm ’(t) liên tục trên đoạn [, ]







( ) '( ) )

hay u = (x) sao cho phù hợp với từng bài toán cụ thể

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 2.1.1 Tích nguyên hàm: I x2xdx

Lời giải

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

hủ đề

x x I

19

d1

x x D

A - đổi biến thuận u x t

Dạng 1 Tìm nguyên hàm:I  f cosaxb sinaxb dx

Phương pháp giải: đặt u cosax b du 1sinax b dx

a

TQ: I  fcosn x sinxdx với nR

Câu 1: Tìm các nguyên hàm sau:

x dx x

 ta được kết quả nào sau đây?

A

3 2

x





Đặt 3 2 cos x   t 3 2 cosxt2sinxdxtdt

Dạng 2 Tìm nguyên hàm: I  f sinaxbcosaxb dx

Phương pháp giải: đặt usinaxbduacosaxb dx

π π

sinsin 2cos

sin 2cos

x x

4 sin cosx x sin x cos x dx 2tdt

x

x C

Lời giải Chọn D

Ta có

2

2

1cos

2

x

x x

1cos2

2

x dx x

ln sin2

Dạng 6 Tìm nguyên hàm: I  fsinxcosxsinxcosx dx

Phương pháp giải: đặt usinxcosxdu sinxcosx dx

Câu 1 Tìm F x là một nguyên hàm của hàm số     2sin cos  

Khi đó F 0  eC e C0

Vậy F x  e2sinxcosx

Câu 2 Nguyên hàm của hàm số  

3 2

213

trình F x   2 thuộc khoảng nào sau đây?

 thỏa mãn F 0  ln 2 Tìm tập nghiệm S của phương trình F x lne x1 3

2 16

t C

7

1 29

13

C   34 3

14

5 5

13

0

5 52

3

F

C C F

C x

x

C x

C x

2 2

Đặt t x2 1 t td x xd

dx T

1 1

1

111

n n

Ví dụ minh họa (dạng này các em cũng không nên đi quá sâu)

Bài tập giải mẫu:

Bài 1: Tìm nguyên hàm:

 2 3

dx I





cos3

2

1

x t x

Ix x dx, Đs: 1 252

15

I  x C d

1

dx I

Để xác định tích phân các hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau:

- Phương pháp tam thức bậc hai

Q x

 với P(x) và Q(x) là đa thức của x

- Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

- Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp

1 Q(x) chỉ gồm toàn nghiệm đơn thức 1, 2, , n

3 Sử dụng các phép biến đổi cơ bản để tính tích phân các hàm hữu tỉ

Dùng thuật thêm, bớt để đưa về dạng cơ bản

x  ax bx c



Bài tập minh họa

Câu 1: Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) 2

1

x

f x x

21

12

20192020

a b c

x x

x x

x x

x x

4 31

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ VÔ TỈ ĐẶC BIỆT

Để xác định tích phân của các hàm số vô tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp sau:

- Phương pháp tam thức bậc hai

- Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến

- Phương pháp tích phân từng phần

- Sử dụng các phép biến đổi

- Kết hợp các phương pháp khác: có thể kết hợp việc dùng công thức đổi biến số với kĩ thuật phân tích ra

số hạng đơn giản hoặc tích phân từng phần

Tuy nhiên: Chọn cách sử dụng phương pháp nào cần phải căn cứ vào dạng của từng bài toán cụ thể

Dạng 1: R x , ax2bxc dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ

TH 1:

2 2

Dạng 2:

2

dx I

cos3

2

1

x t x

4 2

2

4 2

36 ln4

2

4 2

x x

xdx I

xdx I

Thực hiện phép đổi biến:

Đặt: t  1  x2  t2  x2  1

Suy ra: tdt xdx và

t

dt t

t

tdt x

121

21

2

C x C

t t

11

dx t

2 2

2142

t x

t

tdt x



NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

Để xác định tích phân của các hàm số lượng giác, ta thường sử dụng các phương pháp sau:

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản

- Các hàm phân thức hữu tỉ đối với các hàm lượng giác

- Sử dụng các phép biến đổi lượng giác đưa về các nguyên hàm cơ bản

- Phương pháp đổi biến

Đối với các dạng tích phân:I Rsin , cosx x dx , ta giải bằng cách đổi biến lựa chọn một trong các hướng sau:

Hướng 1: Nếu Rsin , cosx x Rsin , cosx x thì sử dụng phép đổi biến tcos x

Hướng 2: Nếu R sinx, cosx   R sinx, cosx  thì sử dụng phép đổi biến tsin x

Hướng 3: Nếu Rsin , cosx  x Rsin , cosx x thì sử dụng phép đổi biến ttan x

Hướng 4: Mọi trường hợp đều có thể đưa về tích phân các hàm hữu tỉ bằng phép đổi biến tan

x x

ln6

sin4

C x

x dx

Sử dụng đồng nhất thức: a1sinxb1cosx A a 2sinxb2cosxB a 2cosxb2sinx

Ta có 4 sin 3cos 2 sin 2 cos  cos 2 sin 

cos

1

t x

t

t x t

Biến đổi: a1sinxb1cosxc1  A a 2sinxb2cosxc2B a 2cosxb2sinxc

Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải

Hoặc: sin cos

x t

x tg

x tg



Bài 2: Tìm nguyên hàm:

2 0

26

40

14

Ha bâc nâng cung

Trường hợp 4:R(sin ;cos )x x dx

2

sin2

2sin



dx x x I

Từ nhận xét đó giúp ta định hướng được phép biến đổi

Đặt:tsinx, khi đó dt cosxdx



Dạng 15:Tìm nguyên hàm: Isinmx.cosnxdx

Dạng 16: Tìm nguyên hàm của các hàm lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng giác và các

phép biến đổi lượng giác

- Công thức nhân đôi

a sin 2x2sin cosx x

1 cotsin x   x e



Giải:

khi b c b

Phương pháp xác định nguyên hàm của hàm số f x bằng kỹ thuật dùng hàm phụ xuất phát từ ý tưởng chủ

đạo là tìm kiếm một hàm g x sao cho nguyên hàm của các hàm số f x g x dễ xác định hơn,

từ đó suy ra nguyên hàm F(x) của hàm số f x  Để xác định nguyên hàm của hàm số f x 

theo phương pháp này, ta tiến hành thực hiện theo các bước sau:

)()()(

C x B x G x F

C x A x G x F

Bước 3: Từ hệ trên ta nhận được: F x A x B x C

Đối với phương pháp này, điều khó là cách tìm hàm số g x như thế nào để sao cho việc giải bài toán là

x x

G

x

F

C x x x

G

x

F

C x dx x

G

x

F

x x

x x x

g

x

f

C x x x

x

x x d dx x x

x x

ln2

1)('

)(

)

(

cossin

ln)(

)

(

')

(

)

(

1cossin

cossin

lncos

sin

)cos(sin

cossin

cossin

x x

x dx

x x

x dx

( ln cos s inx )2

- Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

- Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I

- Thứ tự chọn u -“ Nhất log – Nhì đa – Tam Lượng – Tứ Mũ”

Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng

Tích phân vdu được xác định một cách dễ dàng hơn so với I.

Thứ tự chọn u -“ Nhất log – Nhì đa – Tam Lượng – Tứ Mũ”

Dạng 1:

sin( )

n ax

thành phần hằng số C vào, trừ một số tích phân nâng cao sau này

1tan

Đặt

2

dduln

d2

Đặt

3

dduln

1

d4

2ln ddu

d2

2

dx x

x x x

1ln(

2 2

dx x

x x

1

1ln

2

2 2

2

2 2

x v

x

dx dx

x x x

x du

dx x

x dv

x x u

- Tính e axsinbxdx Đặt ax

ue sau khi tính tích phân từng phần ta lại có tích phân e axcosbxdx Ta lại

áp dụng tích phân từng phần với u như trên

- Từ hai lần tích phân từng phần ta có mối quan hệ giữa hai tích phân này

Cách 2: (Sử dụng nguyên hàm liên kết – xem phần sau)

Xét hai nguyên hàm Ie xcosxdx và Je xsinxdx Suy ra IJ e xsinxcosx dx

Suy ra IJ e xsinxcosxe xcosxsinx dx e  xsinxcosx  IJ