Chuyên đề thống kê bồi dưỡng toán lớp 10

• Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu.. Gọi x i là một giá trị bất kì trong k giá trị đó, ta có: Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu

Trang 2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

CHƯƠNG V: THỐNG KÊ

I – LÝ THUY ẾT

I.1 – BẢNG PHÂN BỐ TẦN SỐ VÀ TẦN SUẤT

I.1.1 - Một số khái niệm cơ bản:

• Một tập con hữu hạn các đơn vị điều tra được gọi là một mẫu

• Số phần tử của một mẫu được gọi là kích thước mẫu

• Các giá trị của dấu hiệu thu được trên mẫu được gọi là một mẫu số liệu

Chú ý: Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu

Ví dụ: Số liệu thông kê điểm kiểm tra môn toán của lớp 10A

I.1.2 - Định nghĩa:

Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau (k≤n) Gọi x i là một giá trị bất kì trong k

giá trị đó, ta có:

Tần số: số lần xuất hiện giá trị xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là n i

Ví dụ: Trong bảng số liệu trên ta thấy có 7 giá trị khác nhau là

f = hay f1= 5%

I.1.3 - Bảng phân bố tần suất và tần số

x1

x2

xk

n1

n2

nk

f1

f2

fk

Ví dụ: Bảng phân bố tần số và tần suất điểm kiểm tra 15’ môn toán 10CB

20 13,33 15,6 4,4

7 7 6 6 8 6 5 5 9 10 9 10 9 5 4 6 7 5 8

6 7 5 8 7 6 6 9 4 6 8 9 9 5 6 7 7 6 8

4 9 7 7 8 6 5

Trang 3

2

Chú ý : Nếu bỏ cột tầng số thì ta được bảng phân bố tần suất; bỏ cột tần suất thì ta được bảng phân bố

tần số

I.1.4 - Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp

Giả sử p dãy số liệu thông kê đã cho được phân vào k lớp ( k n< ) Xét lớp thứ i trong k lớp

đó, ta có:

Số n i các số liệu thông kê thuộc lớp thứ i được tần số của lớp đó

n

= được gọi là tần số của lớp thứ i

Ví dụ: Theo bảng thông kê trên ta có thể phân thành 3 lớp [4;7), [7;9), [9;10]

[4;7) [7;9) [9;10]

21

15

9

46,67 33,33

- Tính tần số n i của các giá trị x i bằng cách đếm số lần x i xuất hiện

- Tính tần suất f i của x i theo công thức i %,

i

n f N

Trang 4

Trang 5

30

n f N

Tần số của lớp 2: [1.55;1.65 là ) n2 =13; tần suất 2

2

1343.33%

30

n f N

Tần số của lớp 3: [1.65;1.73 là ] n3 =5; tần suất 3

3

516.67%

30

n f N

Bài tập 2: Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau :

Thành tích chạy 500m của học sinh lớp 10A ở trường THPT C ( đơn vị : giây )

6,3 6,2 6,5 6,8 6,9 8,2 8,6 6,6 6,7 7,0 7,1 8,5 7,4 7,3 7,2 7,1 7,0 8,4 8,1 7,1 7,3 7,5 8,7 7,6 7,7 7,8 7,5 7,7 7,8 7,2 7,5 8,3 7,6

Lập bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp với các lớp :

33

n f N

Trang 6

Tấn số của lớp 2: [ 6,5 ; 7,0 ) là n2 =5; tần suất 2

2

515.2%

33

n f N

Tần số của lớp 3: [ 7,0 ; 7,5 ) là n3 =10; tần suất 3

3

1030.4%

33

n f N

4

927.4%

33

n f N

5

412.0%

33

n f N

Tần số của lớp 6: [ 8,5 ; 9,0 ] là n6 =3; tần suất 6

6

39.0%

33

n f N

I.2.2 – Đường gấp khúc tần suất

Cách vẽ: Ta vẽ hai đường thẳng vuông góc ( như hình vễ biểu đồ hình cột) Trên mặt phẳng tọa độ xác định các điểm (c i+1; f i+1),i=1, 2, 3, ,n sau đó vẽ các đoạn thẳng nối các điểm (c f i, i)với các điểm

(c i+1;f i+1),i=1, 2, 3, ,n ta thu được một đường gấp khúc Đường gấp khúc này gọi là đường gấp khúc tần suất

I.2.3 – Biểu đồ hình quạt:

Cách vẽ: vẽ hình tròn, chia hình tròn thành những hình quạt, mỗi lớp tương ứng với một hình quạt mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp đó

I.2.1 – BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: vẽ biểu đồ tần suất hình cột

Phương pháp:

- Vẽ hai đường thẳng vuông góc

- Trên đường thẳng nằm ngang ( dùng làm trục số) ta đánh dấu các khoảng xác định lớp

- Tại mỗi khoảng ta dựng một cột hình chữ nhật với đáy là khoảng đó còn chiều cao bằng tần số hoặc tần suất của lớp mà khoảng đó xác định

- Hình thu được là biểu đồ hình cột tần số hoặc tần suất

Bài tập 1: thống kê điểm toán của 40 học sinh của một lớp người ta thu được mẫu số liệu ban đầu như

Trang 7

Trang 8

- Vẽ hai đường thẳng vuông góc làm hai trục

- Trên trục nằm ngang ta đánh dấu các điểm A A1, 2, ,A m, với A i là trung điểm, của nửa khoảng xác định lớp thứ I ( i=1; 2; 3;…; m)

- Tại mỗi điểm A i ta dựng đoạn thẳng A M i i vuông góc với trục nằm ngang và có tốc độ dài bằng tần số thứ I ( tức n i)

- Vẽ các đoạn thẳng M M M M M M1 2, 2 3, 3 4, ,M m−1M m ta được đường gấp khúc tần số

- Nếu độ dài các đoạn thẳng A M i i được lấy bằng tần suất của lớp thứ I ( tức f i) thì khi vẽ các đoạn thẳng M M M M M M1 2, 2 3, 3 4, ,M m−1M m ta được đường gấp khúc tần suất

Bài tập 1: thống kê điểm toán của 40 học sinh của một lớp người ta thu được mẫu số liệu ban đầu như

Trang 9

Bài tập 2: Để đánh giá kết quả của một đề tài sau khi áp dụng vào thực tiễn dạy học người ta thực

nghiệm bằng cách ra đề kiểm tra một tiết cho hai lớp(gần tương đương về trình độ kiến thức) Trong đó lớp 12A3 đã được dạy áp dụng đề tài(lớp thực nghiệm), lớp 12A4(lớp đối chứng) Kết quả điểm của học sinh hai lớp như sau:

a) Hãy lập bảng phân bố tần suất của hai lớp trên

b) Hãy lập biểu đồ tần suất hình gấp khúc của hai lớp (trong cùng một biểu đồ)

Trang 10

Dạng 3: vẽ biểu đồ hình quạt:

Phương pháp:

- Vẽ hình tròn

- Chia hình tròn thành các hình quạt ứng với các lớp mỗi lớp được vẽ tương ứng với một hình quạt

mà diện tích của nó tỉ lệ với tần suất của lớp đó, hoặc tỉ lệ với tỉ số phần trăm của cơ cấu của mỗi thành phần

Bài tập 1: vẽ biểu đồ hình quạt thống kê chiều cao của 36 học sinh( đv:cm) nam của một trường trung

học phổ thông được cho bởi bảng phân bố tần số - tần suất sau:

Trang 11

I.3 – SỐ TRUNG BÌNH CỘNG, SỐ TRUNG VỊ, MỐT

Để thu được thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc trưng như: số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, dộ lệch chuẩn Các số đạc trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra

I.3.1 - Số trung bình cộng : kí hiệu: x

Bảng phân bố tần suất và tần số

[40;50) [50;60) [60;70) [70;80) [80;90) [90;100)

[40;50) 13% 46, 80 [50;60) 19% 68,40 [60;70) 31% 111,60

N 100%

Trang 12

ci , fi , nilà giá trị đại diện của lớp thứ i

Ý nghĩa của so trung bình:

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu

Ví dụ 1: Một nhà thực vật học đo chiều dài của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu sau ( đơn vị mm)

[5,45 ; 5,85) [5,85 ; 6,25) [6,25 ; 6,65) [6,65 ; 7,05) [7,05 ; 7,45) [7,45 ; 7,85) [7,85 ; 8,25)

5,65 6,05 6,45 6,85 7,25 7,65 8,05

Ví dụ 2: Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp xếp từ

thấp đến cao như sau: (thang điểm 100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ; 85 ; 89

Điểm trung bình là:

11

8985

6300

61,09

Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết (9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm trung bình Như vậy,

điểm trung bình này không phản ứng đúng trình độ trung bình của nhóm

I.3.2 - Số trung vị: kí hiệu: M e

Trang 13

12

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này Đó là số trung

vị

Định nghĩa: Giả sử ta có dãy n số liệu được sắp xếp thành dãy không giảm (hoặc không tăng)

Khi đó, số trung vị (của các số liệu thống kê đã cho) kí hiệu là M là : e

+ số đứng giữa dãy nếu số phần tử N lẻ:

1 2

Mốt của bảng phân bố tần số là giá trị (xi) có tần số (ni ) lớn nhất và được kí hiệu là M 0

Chú ý: Có hai giá trị tần số bằng nhau và lớn hơn tần số các giá trị khác thì ta nói trường hợp này

có hai Mốt, kí hiệu (1) (2)

0 , 0

Ví dụ : Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn đồng) Số quạt

cửa hàng bán ra trong mùa hè vừa qua được thống kê trong bảng tần số sau:

Mốt M0 =300

I.3.4 - Chọn đại diện cho các số liệu thống kê:

a) Trường hợp các số liệu thông kê cùng loại và số lượng thống kê đủ lớn (n ≥ 30) thì ta ưu tiên chọn

số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn)

b) Trường hợp không tính được giá trị trung bình thì ta chọn số trung vị hoặc mốt làm đại diện cho các số liệu thống kê ( về quy mô và độ lớn)

c) Không nên dùng số trung bình để đại diện cho các số liệu thống kê trong các trường hợp sau (có thể dùng số trung vị hoặc mốt):

+ Số các số liệu thống kê quá ít (n ≤ 10)

+ Giữa các số liệu thống kê có sự chênh lệc quá lớn

+ Đường gấp khúc tần suất không đối xứng, (và nhiều trường hợp khác)

Trang 14

Tính điểm trung bình của 10 học sinh đó ( quy tròn đến chữ thập phân thứ nhất)

Giải Điểm trung bình của 10 HS là

220421016

a) Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 1

b) Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 2

c) Hỏi nhóm nào có thu nhập cao hơn

Trang 15

Trang 16

Điểm 30 35 39 41 45 48 50 51 54 58 60 61 65 68 72 75 80 83 87 Tần

I.4 – PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

I.4.1 – Phương sai: Kí hiệu 2

Trong đó , ,n f c i i i lần lượt là tần số, tần suất, giái trị đại diện của lớp thứ i; n là số các số liệu thống kê; x

là số trung bình cộng của các số liệu thống kê đã cho

Chú ý: Có thể tính theo công thức sau: ( )2

(đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp)

Ý nghĩa phương sai

- Phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình)

- Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình bằng nhau hoặc xấp xỉ nhau, dãy có phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với số trung bình) của các số liệu thống kê càng bé

I.4.2 - ĐỘ LỆCH CHUẨN:

Khi chú ý đơn vị đo ta thấy phương sai 2

x

s có đơn vị đo là bình phương của đơn vị đo được nghiên cứu (

đơn vị đo nghiên cứu là cm thì 2

x

s là cm2), để tránh tình trạng này ta dùng căn bậc hai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn

Trang 17

16

Độ lệch chuẩn, kí hiệu là s x

s x = s x2

Ý nghĩa độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn cũng dùng đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so

với số trung bình) Khi cần chú ý đến đơn vị đo ta dùng độ lệch chuẩn để đánh giá vì độ lệch chuẩn có

cùng đơn vị đó với dấu hiệu X được nghiên cứu

Dạng 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn đối với bảng phân bố tần số, tần suất

Bài tập 1: Người ta tiến hành phỏng vấn một số người về chất lượng của một loại sản phẩm mới người

điều tra yêu cầu cho điểm sản phẩm ( thang điểm 100) kết quả như sau:

Nhận xét: mức độ chênh lệch điểm giữa các giá trị là khá lớn

Bài tập 2: sản lượng lúa ( đv tạ) của 40 thửa ruộng thí nghệm có cùng diện tích được trình bày

trong bảng tần số sau đây:

a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng

b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn

Giải

Trang 18

a) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

5.20 8.21 11.22 10.23 6.24 22,140

Trang 19

Bài tập 2: trên 2 con đường A và B, trạm kiểm soát đã ghi lại tần số của 30 chiếc xe ô tô trên mỗi con

đường như sau:

a) tìm số trung bình, số trung vị, phương sai, độ lệch chuẩn của tốc độ trên mỗi con đường A, B

b) theo em thì xe chạy trên con đường nào thì an toàn hơn

Giải a) Số trung bình:

60 65 70 65 73 76

73, 6330

Trang 20

II – CÁCH SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO CHO TOÁN THỐNG KÊ

Sử dụng máy Casio fx-500MS; Casio fx-570MS; Casio fx-570ES; Casio fx-500ES

Ví dụ: Năng suất lúa hè thu của một đơn vị A được thể hiện như sau:

• SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TUI CASIO FX-500MS

Vào chương trình thống kê:

Bước 1: Bấm phím ON MODE 2

Bước 2: Bấm phím:

25 SHIFT ; 5 DT 30 SHIFT ; 5 DT 35 SHIFT ; 4 DT 40 SHIFT ; 3 DT 45 SHIFT ; 7 Dt

Tính độ dài mẫu:

Bấm phím: SHIFT S-SUM 3 = ( kết quả: n= 24)

Chứng tỏ kích thước mẫu bằng 24 (số các giá trị của mẫu là 24)

Bấm phím: SHIFT S-VAR 1 = ( kết quả: x=35.41666)

Vậy tổng giá trị trung bình bằng 31.5

Tính độ lệch chuẩn:

Trang 21

• SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO FX-570MS

Vào chương trình thống kê:

Bước 1: Bấm phím ON MODE MODE 1

Bước 2: Bấm phím

25 SHIFT ; 5 DT 30 SHIFT ; 5 DT 35 SHIFT ; 4 DT 40 SHIFT ; 3 DT 45 SHIFT ; 7 Dt

Tính độ dài mẫu:

Bấm phím: SHIFT S-SUM 3 = ( kết quả: n= 24)

Chứng tỏ kích thước mẫu bằng 24 (số các giá trị của mẫu là 24)

Bấm phím: SHIFT S-VAR 1 = ( kết quả: x=35.41666)

Vậy tổng giá trị trung bình bằng 31.5

• SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO FX-570ES

Bước 1:Bấm phím SHIFT SET UP ∇ 4 , màn hình hiện: Frequeney?

Trang 22

• SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI CASIO FX-500ES

Bước 1:Bấm phím SHIFT SET UP ∇ 4 , màn hình hiện: Frequeney?

Trang 23

III – CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN THỐNG KÊ

DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MẪU SỐ LIỆU

CÁC VÍ DỤ

a) Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì? Kích thước mẫu bao nhiêu?

A Dấu hiệu là 30 lớp, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT A

B Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra 30 lớp

C Dấu hiệu trường THPT A, đơn vị điều tra là 30 lớp

D Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT A

b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

A.0;1; 2; 3; 4; 5 B.0;1; 2; 3; 5;6 C.0; 2; 3; 4; 5;6 D.0;1; 2; 3; 4; 5;6

Lời giải

a) Chọn D:Dấu hiệu là học sinh giỏi, đơn vị điều tra là mỗi lớp của trường THPT A

Kích thước mẫu là 30

b)Chọn D:Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là 0;1; 2; 3; 4; 5;6

5A, thống kê chiều cao của 45 học sinh lớp 5A(tính bằng cm) được ghi lại như sau :

A.Dấu hiệu là chiều cao của mỗi học sinh, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp 45 học sinh Kích thước mẫu là N 45 =

B.Dấu hiệu là trường tiểu học A, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp 5A

Kích thước mẫu là N 45 =

Trang 24

C.Dấu hiệu 45 học sinh, đơn vị điều tra là một học sinh của lớp 5A

Cho biết đơn vị điều tra và kích thước của mẫu số liệu trên?

A Đơn vị điều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu: 42

B Đơn vị điều tra: môn Toán, kích thước của mẫu số liệu: 42

C Đơn vị điều tra: một hsinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 40

D Đơn vị điều tra: một hsinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 42

Lời giải:

Chọn D Đơn vị điều tra: một hsinh lớp 10, kích thước của mẫu số liệu: 42

A Dấu hiệu 40 gia đình, đơn vị điều tra là mỗi gia đình ở huyện A Kích thước mẫu là N=40

B Dấu hiệu huyện A, đơn vị điều tra là mỗi gia đình ở huyện A Kích thước mẫu là N=40

C Dấu hiệu là số con, đơn vị điều tra là mỗi gia đình ở huyện A Kích thước mẫu là N=36

D Dấu hiệu là số con, đơn vị điều tra là mỗi gia đình ở huyện A Kích thước mẫu là N=40 b) Viết các giá trị khác nhau trong mẫu số liệu trên

A.1; 2; 3; 4; 5 B.1; 2; 3; 5;7 C.1; 2; 3; 4; 5;7;9 D.1; 2; 3; 4; 5;7

Lời giải:

a) Chọn D.Dấu hiệu là số con, đơn vị điều tra là mỗi gia đình ở huyện A Kích thước mẫu là N=40 b) Chọn D Các giá trị khác nhau của mẫu số liệu trên là 1; 2; 3; 4; 5;7

Trang 25

24

chọn ngẫu nhiên 30 hs nữ lớp 10 và đề nghị các em cho biết cân nặng của mình Kết quả thu được ghi lại như sau:

Dấu hiệu và đơn vị điều tra ở đây là gì?

B Đơn vị điều tra: Một học sinh nữ Kích thước mẫu: 10

C Đơn vị điều tra: lớp 10 Kích thước mẫu: 30

D Đơn vị điều tra: Một học sinh nữ Kích thước mẫu: 30

Lời giải:

Chọn D Dấu hiệu điều tra: Số cân nặng của mỗi học sinh nữ lớp 10

Đơn vị điều tra: Một học sinh nữ.Kích thước mẫu: 30

gia đình ở tầng 2 và thu được mẫu số liệu sau:

2 4 3 1 2 3 3 5 1 2

1 2 2 3 4 1 1 3 2 4 Dấu hiệu ở đây là gì ?

Lời giải:

Chọn B.

được điểm 7 Hỏi tần suất của giá trị xi= 7 là bao nhiêu?

Lời giải:

Chọn B tần suất bằng 99 100% 22%

cho trong bảng sau:

Trang 26

[15;17) [17;19) [19;21]

[70;80) [80;90) [90;100) [100;110) [110;120)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giải:

Chọn B tần suất của 4 là: 2000 100% 20%

[10;20) [20;30) [30;40) [40;50)

Trang 27

giá trị tần suất của giá trị xi =5 là

Lời giải:

Chọn C 72 100% 18%

2% Hỏi tần số của giá trị xi =9 là bao nhiêu?

đình, người ta đến 15 gia đình và thu được mẫu số liệu sau:

Tiêu đề	Chuyên Đề Thống Kê
Trường học	tailieumontoan.com
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Tài Liệu
Năm xuất bản	2021

Định dạng
Số trang	54
Dung lượng	1,1 MB