Chuyên đề hệ trục tọa độ bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 10

Hệ trục tọa độ a Định nghĩa.. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.. Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là m

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

Tài liệu sưu tầm, ngày 21 tháng 9 năm 2021

• Điểm O gọi là gốc tọa độ

• Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục

• Ta kí hiệu trục đó là (O;e )

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O;e ) Khi đó có duy nhất một số k sao cho

OM=k e.

Ta gọi

số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho

c) Cho hai điểm A và B trên trục (O;e ) Khi đó có duy nhất số a sao cho

AB=a e.

 

Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB

đối với trục đã cho và kí hiệu a= AB.

Nhận xét

 Nếu AB

cùng hướng với e thì AB AB,= còn nếu AB

ngược hướng với e thì AB= −AB.

 Nếu hai điểm A và B trên trục (O;e) có tọa độ lần lượt là a và b thì

AB= −b a.

2 Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa Hệ trục tọa độ (O;i , j ) gồm hai trục ( )O;i

và ( )O; j vuông góc với nhau Điểm gốc

O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ Trục ( )O;i được gọi là trục hoành và kí hiệu là

còn được kí hiệu là Oxy

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý Vẽ OA u = và gọi

u x; y  Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai

y gọi là tung độ của vectơ u.Như vậy

i

O

Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng

nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng

Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý Tọa độ của vectơ OM

đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó

Như vậy, cặp số (x; y ) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM=(x; y )

Khi đó ta viết M x; y ( )

hoặc M x; y ( ) Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M Hoành độ của

điểm M còn được kí hiệu là x , M tung độ của điểm M còn được kí hiệu là y M

M =(x; y)⇔OM=x i+y j

Chú ý rằng, nếu MM1⊥Ox, MM2 ⊥Oy thì x=OM , y1 =OM 2

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A x ; y( A A) và B x y B; B Ta có

Nhận xét Hai vectơ u u u1 ; 2,v v v1 ; 2 với v 0 

cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho

u k v và u2k v2.

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A x y A; A ,B x y B; B. Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm

 I; I

I x y của đoạn thẳng AB là

O ij

b) Cho tam giác ABC có A x ; y( A A) (, B x ; y B B) (, C x ; y C C) Khi đó tọa độ của trọng tâm G x ; y( G G)

của tam giác ABC được tính theo công thức

thức liên quan trên trục ( )O;i

• Nếu a,b lần lượt là tọa độ của A,B thì AB= −b a

• Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là:

Ví d ụ 1: Trên trục tọa độ ( )O;i

cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt là 2 1− ; Tọa độ của vecto AB

Ví d ụ 2: Trên trục tọa độ ( )O;i

cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt3 và 5− Tọa độ trung điểm I của

Gọi điểm M có tọa độ là x

Câu 1: Trên trục ( )O;i

, cho ba điểm A,B lần lượt có tọa độ là 2 6 ;− Tìm tọa độ điểm I sao cho

Câu 2: Trên trục ( )O;i

, cho ba điểm M , N lần lượt có tọa độ là 2 3− ; Độ dài đại số của MN

Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy Khi đó

( 1 2)

a a ; a



với a1=OH , a2 =OK

• Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA

• Nếu biết tọa độ hai điểm A( x ; y ), B( x ; y ) A A B B suy ra tọa độ AB

được xác định theo công thức AB=(x B −x ; y A B−y A)

Chú ý: OH =OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH  OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox

(hoặc Oy )

M1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M1(x; y− )

Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt

phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên

Vì điểm 1 3A( ; ) suy ra AB=3, OB= 1

Do đó B ;( ) ( ) ( )1 0 , C 4 0; , D 4 3;

Vậy AC=(3;−3).

Ví d ụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD cạnh a

và BAD=600 Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox và x B ≥0, y B ≥ Tìm tọa độ các đỉnh 0

B và C của hình thoi ABCD

A D

B

Lời giải Chọn A

Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ

Oxy

302

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ (O,i, j )

, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i

Câu 5: Trong hệ trục tọa độ (O,i, j )

, cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i

Câu 6: Trong hệ trục tọa độ (O,i, j )

, cho hình thoi ABCD tâm O có AC=8, BD=6 Biết OC

Câu 8: Cho lục giác đều ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O,i, j )

, trong đó O là tâm lục giác đều , i

B

D

 DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u   +v, u−v, k u

y y

Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức

+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra

Ví dụ 1 :Trong hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A( ) ( ) ( )3 5; , B ;1 2 , C 5 2; Tìm tọa độ trọng tâm G

của tam giác ABC?

Ta có ( )

3 1 5

33

3 3

5 2 2

33

G

G

x

G ; y

03

x

x

Ta có: P thuộc trục Oy⇒P( )0;y , G nằm trên trục Ox⇒G x( ); 0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

23

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(3;−1) (, B −1 2; ) và I(1 1;− ) Xác định tọa độ các điểm C ,

D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC Tìm tọa tâm O của hình

O ;− 

 

522

O− −; 

 

522

O ; 

 

 

Lời giải Chọn B

Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên

D A

Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A(−2; 2);

Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(− −2; 4), trọng tâm G( )0 4; và trung điểm cạnh

BC là M( )2 0; Tổng hoành độ của điểm A và B là

Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi ', '' B B và B''' lần lượt là điểm đối xứng của B(−2; 7)qua trục Ox ,

Oy và qua gốc tọa độ O Tọa độ của các điểm ', '' B B và B''' là:

A B'(− −2; 7 , B" 2; 7 ) ( ) và B"' 2; 7( − ) B B'(−7; 2 , B" 2; 7 ) ( ) và B"' 2; 7( − )

C B'(− −2; 7 , B" 2; 7 ) ( ) và B"'(− − 7; 2) D B'(− −2; 7 , B" 7; 2 ) ( ) và B"' 2; 7( − )

Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A( )0 3; , D( )2 1; và I(−1 0; ) là tâm của

hình chữ nhật Tìm tọa độ trung điểm của cạnh BC

qua hai vectơ a =(a ; a1 2), b=(b ;b1 2)

không cùng phương, ta giả sử

Ví dụ 1: Cho A( ) (1; 2 ,B −2; 6) Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm , ,A B M thẳng hàng thì tọa độ điểm M là:

Lời giải Chọn A

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm 6 3 A( ; ), B(−3 6; ), C( ;1 2− ) Xác định điểm D trên

trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng

Vì E thuộc đoạn BC và BE  2EC suy ra BE 2EC

Gọi E x; y ( ) khi đó BE x( +3; y−6), EC(1− − −x; 2 y)

 − 

 

  C

233

Gọi I x; y ( ) là giao điểm AC và BD suy ra  AI ; AC

cùng phương và BI ; BD 

cùng phương Mặt khác

Câu 24: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?

A Hai vec tơ u =( )4; 2

Câu 29: Cho tam giác ABC có A( ; ), B( ; ), C(3 4 2 1 − −1 2; ) Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao

cho S ABC =3S ABM

A M1( )0 1; , M2( )3 2; B.M1( )1 0; , M2( )3 2;

C M1( )1 0; , M2( )2 3; D M1( )0 1; , M2( )2 3;

Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A 2 3 và tâm  ;  I 1 1 ;  Biết điểm K 1 2  ;  nằm trên

đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ Tìm các đỉnh B,D của hình bình

hành

A B( ) ( )2 1; , D 0 1; B.B( )0 1; ; D( ;4 − 1).

C B( ) ( )0 1; ; D 2 1; , D.B( ) (2 1; , D 4;− 1)

C HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN

Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC và BE  2EC suy ra BE 2EC

Câu 29: Ta cóS ABC =3S ABM ⇔BC=3BM ⇒BC= ±3BM

Câu 30: I là trung điểm AC nên C(4;− 1)

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x( A;y A) và B(x B;y B) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

Câu 2: Cho các vectơ u =(u u1; 2), ;v=(v v1 2)

Điều kiện để vectơ u =v

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x( A;y A) và B x( B;y B) Tọa độ của vectơ AB

Theo công thức tọa độ vectơ AB=(x B−x A;y B −y A)

Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho A x( A;y A) (, ;B x B y B)và C x ;( C y C) Tọa độ trọng tâm G của tam

Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC⇒OA OB  + +OC=3OG

Ta có: AC = AC= AB2+BC2 = 32+42 =5

Câu 9: Cho hai điểm A( )1; 0 và B(0; 2− ) Vec tơ đối của vectơ AB

có tọa độ là:

A (−1; 2) B (− − 1; 2) C ( )1; 2 D (1; 2− )

Lời giải Chọn B

Ta có vectơ đối của AB

Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3; 2 ,− ) ( ) ( ) (B 7;1 ,C 0;1 ,D − −8; 5) Khẳng định

nào sau đây là đúng?

Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho A( ) (2; 4 ,B −1; 4 ,) (C −5;1) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là

hình bình hành là:

A D(−8;1) B D( )6; 7 C D(−2;1) D D( )8;1

Lời giải Chọn C

y y

Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành ⇒B( )2;1

Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a =(2;1), (3; 4), (7; 2)b= c=

Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM

83

22

Ta có: A Ox B∈ , ∈Oy⇒ A x( ) ( ); 0 ,B 0;y

A là trung điểm

1 0

12

23

30

2

x

x KB

y y

Câu 30: Các điểm M( )2;3 , N(0; 4− , ) P(−1; 6) lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam

giác ABC Tọa độ đỉnh A của tam giác là:

A (1; 10− ) B ( )1;5 C (− − 3; 1) D (− − 2; 7)

Lời giải Chọn C

Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M(1; 1 ,− ) (N 5; 3− và ) P thuộc trục Oy

,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox Toạ độ của điểm P là

Lời giải Chọn A

Ta có: P thuộc trục Oy⇒P( )0;y , G nằm trên trục Ox⇒G x( ); 0

G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:

1 5 0

23

y y