Chuyên đề khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau

KI ẾN THỨC CẦN NHỚ: Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta dựng mặt phẳng α chứa b và song song với a.. Tính ch ất của tứ diện vuông Giả sử OABC là tứ diện vuô

THẲNG CHÉO NHAU

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:

Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta dựng mặt phẳng ( )α chứa b và

song song với a Chọn một điểm M thích hợp trên a và tính khoảng cách từ M đến ( )α

• Dựng mặt phẳng ( )α chứa b và song song với a

• Chọn điểm M thích hợp trên a, dựng MH ⊥( )α tại H

• Qua H, dựng đường thẳng //a a ′ , cắt b tại B

• Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A

D ẠNG TOÁN 40: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

AB là đoạn vuông góc chung của a và b

Cách 3:

• Dựng mặt phẳng ( )α vuông góc với a tại M

• Dựng hình chiếu b′ của b lên ( )α

• Dựng hình chiếu vuông góc H khác của M lên b′

• Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B

• Qua B, dựng đường thẳng song song với MH, cắt a tại A

AB là đoạn vuông góc chung của a và b

S

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Tứ diện vuông: Tứ diện SABC được gọi là tứ diện vuông nếu tứ diện đó có , , SA SB SC đôi một vuông góc với nhau

Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) Khi đó:

+ H là trực tâm tam giác ABC

B3: Sử dụng tính chất của tứ diện vuông để tính h

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

S

(Do đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SMN) tại điểm M là trung điểm AB)

Tứ diện A SMN vuông tại A có h=d A SMN( ;( ) ) suy ra:

( )2

42

Lưu ý: Ta có thể tính d A SMN( ;( ) ) như sau:

Gọi ,I H lần lượt là hình chiếu của điểm A trên MN SI ,

S

I H

Ta có tọa độ các điểm A(0; 0; 0), B(0; 2; 0), C(4; 0; 0), S(0; 0;1), M(0;1; 0)

( ) , 2

,

3,

II CÁC D ẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

D ẠNG 1 KHO ẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

2 KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

Cho điểm M và một đường thẳng ∆ Trong mặt phẳng (M,∆) gọi H là hình chiếu vuông góc của M

trên ∆ Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến ∆

Lời giải Chọn A

Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng ( )α và M N; ∈ ∆ thì ( ;( ))d M α =d(N; ( ))α

Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng ( )α tại điểm I và M N; ∈ ∆ ( ;M N không trùng với I ) thì

Xác định hình chiếu H của O trên ( )α và tính OH

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ( )α

- Tìm giao tuyến ( )α của (P) và ( )α

Tính ch ất của tứ diện vuông

Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA⊥OB OB; ⊥OC OC; ⊥OA)và Hlà hình chiếu của O trên mặt

phẳng (ABC) Ta có 1 2 12 12 12

BÀI TẬP MẪU

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với BC=a 2,ABC=60° Tam giác SAB nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) bằng:

2.1 Kho ảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:

Cho đường thẳng ∆ song song mặt phẳng ( )α Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng ( )α là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường thẳng ∆ đến mặt phẳng ( )α

( )

d ∆ α =d M α ∀ ∈ ∆M

2.2 Kho ảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Cho hai mặt phẳng song song ( )α và ( )β Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( )α và ( )β là khoảng cách

SH = Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB

Khoảng cách giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABC) bằng:

Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN  AB suy ra MN  (ABC)

Câu 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45° Biết rằng thể tích khối

Đặt cạnh của hình vuông ABCD là x, x> 0

Vì SA⊥(ABCD) nên suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCA

Vậy  45SCA= ° Do đó tam giác SAC vuông cân tại A Suy ra SA=AC=x 2

323

S

Cách 1: Qua B dựng đường thẳng d song song với AC , qua A dựng đường thẳng d′ song

song với BD Gọi K là giao điểm của d và d′ Ta có AC//(SKB)

Do đó d AC SB( , )=d AC SKB( ,( ) )=d A SKB( ,( ) )

Trong mặt phẳng (SAK) dựng AH vuông góc với SK tại H (1)

Vì AC⊥BD nên suy ra AK ⊥KB (2) Mặt khác SA⊥(ABCD) nên SA⊥KB (3)

Từ (2) và (3) suy ra KB⊥(SAK) Do đó ta có KB⊥ AH (4)

Từ (1) và (4) suy ra AH ⊥(SKB) Vậy AH =d A SKB( ,( ) )

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có tứ giác AKBI hình chữ nhật nên AK =BI

2

a a

Câu 2 Cho hình chóp S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a; cạnh bên SA vuông góc với

đáy; SC hợp với đáy góc 45° Khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD là:

Ta có: AC là hình chi ếu vuông góc của SC lên (ABCD) ⇒( SC ABCD,( ) )=SCA=45°

Câu 3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác

đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy Tính theo a khoảng cách giữa hai

Câu 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung

điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với

mặt phẳng (ABCD) và SH =a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC

M

C D

Ta có:

2

25

HC CN

2 319

Câu 5 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2 Tam giác SAD cân tại

S và mặt bên (SAD)vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích của khối chóp S ABCD bằng

Ta có chiều cao của khối chóp S ABCD là SI với I là trung điểm của AD

Suy ra thể tích của khối chóp S ABCD bằng 4 3

433

B A

D

C S

I

A

Câu 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc  120 BAD=  Các mặt

chóp S.ABCD là

333

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt

C

Câu 7 Cho hình tứ diện EFGH có EF EG EH , , đôi một vuông góc EF =6a, EG=8a, EH =12a,

với a>0,a∈ Gọi I , J tương ứng là trung điểm của hai cạnh FG , FH Tính khoảng cách

d từ điểm F đến mặt phẳng (EIJ) theo a

Cách 1: Vì EF vuông góc với EG , EG vuông góc với EH nên EG⊥(EFH) Gọi K là trung

điểm của EF suy ra IK ⊥(EFH) Gọi , M N lần lượt là hình chiếu của K trên EJ và IM ta

có d K( ,(EIJ) )=KN Ta có: d =(F,(EIJ) )=2d K( ,(EIJ) )=2KN

Trong tam giác EKJ vuông tại K và tam giác IKM vuông tại K ta có:

đáy Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là 45°, gọi G là trọng tâm tam giác

8a

12a

6a

K J

Vậy giác SAC vuông cân, suy ra SA= AC=a 2

Tam giác SAN vuông t ại A, đường cao AK suy ra :

a AK

Câu 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B Biết AD=2a,

AB=BC=SA = Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD Tính a

L ời giải Chọn A

A S

Câu 10 Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a OC, =a 3 Cạnh OA

vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA=a 3, gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách h

giữa hai đường thẳng AB và OM

Cách 1 : phương pháp dựng hình

Gọi N là điểm đối xứng của C qua O Khi đó OM BN ( tính ch// ất đường trung bình )

do đó OM//(ABN) Suy ra d OM AB( , )=d OM( ,(ABN) )=d O ABN( ,( ) )

B

C

M

O N

K

Câu 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc  120 BAD= ° Các mặt

phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là 2 3 3

Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) c ắt nhau theo giao tuyến SA

và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA⊥(ABCD)

Dựng đường thẳng d qua B và song song với AC

Câu 12 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Góc

giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 60 Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC 0

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC Gọi H là hình chiếu của G lên đường

thẳng đi qua A và song song với CG GK là đường cao của tam giác GHS

Câu 13 Cho hình chóp tam giác S ABC có SA vuông góc v ới mặt đáy, tam giác ABC vuông cân tại B,

BA=BC= , góc giữa a mp SBC v( ) ới mp ABC b( ) ằng 0

60 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giácSBC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC

Cách 1: Vì tam giác SAC vuông t ại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC là trung điểm I của SC Ta góc giữa mp(SBC) với mp(ABC) là góc SBA, theo bài góc

D E

Chọn hệ trục toạ độ sao cho: A(0; 0; 0); B(0; 0;3); C(0; 4; 0); D(4; 0; 0)

Kẻ AH SC⊥ suy ra d A SC( , )=AH

Do ABCD là hình thoi nên AB=BC, mặt khác  60B= °

Suy ra ∆ABC là tam giác đều cạnh a ⇒AC= a

Câu 16 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có SA=a 3, ABCD là hình vuông c ạnh bằng 2a Gọi

Gọi O là tâm của đáy ABCD

Suy ra SB=SC=SD=SA=a 3, AC=BD=2a 2

S

C B

G

H K

Gọi H là trung điểm của CD′ Do ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ là hình

lập phương nên ACD′∆ là tam giác đều cạnh a 2

Khi đó AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Câu 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AD Hình chiếu vuông góc

của S xuống mặt phẳng (ABCD)trùng với trung điểm của cạnh AD Biết SB=a 2,

Gọi H là trung điểm AD, K là trung điểm BC

Câu 20 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA=2a

Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính khoảng cách từ MN đến (SBD)

Gọi O là giao điểm AC và BD