Chuyên đề tổ hợp xác suất luyện thi THPT quốc gia

CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Mô tả không gian mẫu, biến cố  Mối liên hệ giữa các biến cố  Tính xác suất bằng định nghĩa  Tính xác suất bằng công thức cộng xác suất  Tính xác suất bằn

I KI ẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Qui t ắc đếm :

 Quy t ắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có

m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động

thứ nhất thì công việc đó có m n+ cách thực hiện

 Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n A( ∪B)=n A( ) ( )+n B

 Quy t ắc nhân: Một công việc được hoành thành bởi hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m n cách hoàn thành công việc

2 Hoán v ị, Chính hợp, tổ hợp

 Hoán v ị :

+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập

hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

+ Số các hoán vị

Kí hiệu P là s n ố các hoán vị của n phần tử Ta có: P n =n n! 1( ≥ )

 Ch ỉnh hợp :

+ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1) Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và sắp

xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho

n C

+ Quy t ắc cộng xác suất :

* Nếu hai biến cố ,A B xung khắc nhau thì P A( ∪B)=P A( )+P B( )

* Nếu các biến cố A A A1, 2, 3, ,A xung kh k ắc nhau thìP A( 1∪A2 ∪ ∪ A k)=P A( )1 +P A( )2 + + P A( )k

+ Công th ức tính xác suất biến cố đối: Xác suất của biến cố A của biến cố A là: P A( )= −1 P A( )

+ Quy t ắc nhân xác suất :

* Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Mô tả không gian mẫu, biến cố

 Mối liên hệ giữa các biến cố

 Tính xác suất bằng định nghĩa

 Tính xác suất bằng công thức cộng xác suất

 Tính xác suất bằng công thức nhân xác suất

 Toán tổng hợp về hai công thức xác suất

…

nhiên 6 học sinh, gồm 3 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính xác suất của biến cố

2 HƯỚNG GIẢI: Do học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp chỗ cho học sinh lớp C trước Lưu ý: Nếu học sinh lớp C ngồi đầu dãy thì chỉ cần 1 học sinh lớp B ngồi bên cạnh, còn nếu học sinh lớp C không ngồi đầu dãy thì ở cả 2 bên học sinh này đều phải là học sinh lớp B

B1: Xét TH1: học sinh lớp C ngồi đầu dãy Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp các học sinh còn lại vào dãy ghế

B2: Xét TH2: học sinh lớp C không ngồi đầu dãy Sử dụng quy tắc nhân để tính số cách xếp các học sinh còn lại vào dãy ghế

B3: Sử dụng quy tắc cộng để tính số cách xếp chỗ cho 6 học sinh thỏa mãn để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B

B4: Sử dụng quy tắc tính xác suất để tính xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B

T ừ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

L ời giải Chọn B

Số cách xếp 6 học sinh vào ngồi ở dãy ghế là: 6! cách

Do học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta xếp chỗ cho học sinh lớp C trước

TH1: học sinh lớp C ngồi ở vị trí đầu dãy ghế: Có 2 cách

+ Chọn 1 học sinh lớp B trong 2 học sinh lớp B xếp cạnh học sinh lớp C: Có 2 cách

+ Xếp 3 học sinh lớp A và 1 học sinh lớp B còn lại vào 4 ghế trống: Có 4! cách

Vậy có 2.2.4! 96= (cách)

TH2: học sinh lớp C không ngồi ở vị trí đầu dãy Vì học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B nên ta

xếp 2 học sinh lớp B ngồi 2 bên của học sinh lớp C: Có 2 cách

Coi 3 học sinh này là 1 nhóm cố định

+ Xếp 3 học sinh lớp A và nhóm học sinh nói trên vào 6 ghế trống: Có 4! cách

Câu 1 Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3,…, 8 Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một thẻ và

nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là

Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω = × =8 7 56

Gọi A là biến cố: “tích nhận được là số lẻ”

Câu 2 Một hộp đựng thẻ được đánh số từ 1, 2, 3,…, 9 Rút ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần một thẻ và

nhân số ghi trên hai thẻ với nhau, xác suất để tích nhận được là số chẵn là:

13

18

L ời Giải Chọn D

Số phần tử không gian mẫu: n( )Ω = × =9 8 72

Gọi A là biến cố: “tích nhận được là số lẻ”

Câu 3 Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ tập X={0;1; 2;3; 4;5; 6; 7 } Rút ngẫu

nhiên một số thuộc tập S Tính xác suất để rút được số mà trong số đó, chữ số đứng sau luôn lớn hơn

Câu 4 Đội thanh niên tình nguyện của một trường THPT gồm 15 HS, trong đó có 4 HS khối 12, 5 HS

khối 11 và 6 HS khối 10 Chọn ngẫu nhiên 6 HS đi thực hiện nhiệm vụ Tính xác suất để 6 HS được chọn có đủ 3 khối

A 4248

757

151

850.1001

L ời giải

ọn D

Số phần tử của không gian mẫu ( ) 6

15 5005

Gọi A là biến cố: “6 HS được chọn có đủ 3 khối”

Xét các trường hợp của biến cố A

+ Số cách chọn được 6 HS bao gồm cả khối 10 và 11: 6 6

Câu 5 Từ một hộp chứa 12 quả cầu, trong đó có 8 quả màu đỏ, 3 quả màu xanh và 1 quả màu vàng,

lấy ngẫu nhiên 3 quả Xác suất để lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu bằng:

Lời giải

Ch ọn C

Số phần tử của không gian mẫu là:

Gọi A là biến cố: “Lấy được 3 quả cầu có đúng hai màu”

- Trường hợp 1: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ có: cách

- Trường hợp 2: Lấy 1 quả màu vàng và 2 quả màu xanh có: cách

- Trường hợp 3: Lấy 1 quả màu đỏ và 2 quả màu xanh có: cách

- Trường hợp 4: Lấy 1 quả màu xanh và 2 quả màu đỏ có: cách

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: cách

Xác suất cần tìm là:

Câu 6 Một trường có 50 em học sinh giỏi trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Cần chọn ra 3 học sinh

trong số 50 học sinh để tham gia trại hè Tính xác suất trong 3 em ấy không có cặp anh em sinh đôi

Số cách chọn ra 3 học sinh mà không có điều kiện gì là 𝐶503 cách ⇒ |𝛺| = 𝐶503

Ta sẽ loại trừ các trường hợp có 1 cặp anh em sinh đôi Đầu tiên ta chọn 1 cặp sinh đôi có

4 cách chọn Sau đó chọn 1 học sinh còn lại từ 48học sinh, có 48 cách chọn

Vậy số cách chọn 3 em học sinh thỏa yêu cầu đề bài là: 𝐶503 − 4.48 = 19408

Vậy xác suất cần tìm là 𝑃 =|𝛺𝐴 |

|𝛺| =19408𝐶

503 =12131225

Câu 7 Một hộp kín có 5 bút bi màu xanh khác nhau và 10 bút bi màu đỏ khác nhau Lấy ngẫu nhiên 3

bút bi Xác suất để lấy được 1 bút bi xanh và 2 bút bi đỏ là

2344

2144

139220

81220

Câu 8 Xếp ngẫu nhiên bốn bạn nam và năm bạn nữ ngồi vào chín ghế kê theo hàng ngang Xác suất

để có được năm bạn nữ ngồi cạnh nhau bằng:

Gọi A là biến cố: “ số tự nhiên 3 chữ số khác nhau, có tổng 3 chữ số bằng9 “

- Số số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể lập được là: 3

Câu 10 Gọi A là tập hợp các số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau Chọn ngẫu nhiên một số

trong tập hợp A. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5

L ời giải

Ch ọn A

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số có dạng abc

Vì abc là số tự nhiên chẵn nên c∈{0, 2, 4, 6,8}

TH1: c= 0 Ta có 2

9 =72

A số tự nhiên chẵn TH2: c = 2, 4, 6,8 Ta có ( 2 1)

9 8

4 A −A =256 số tự nhiên chẵn

Vậy, số phần tử trong tập hợp A là: 328 số tự nhiên chẵn, suy ra Ω = 328

Gọi X là biến cố số lấy ngẫu nhiên ra từ A chia hết cho 5, suy ra Ω =A 72

Vậy, xác suất xảy ra biến cố A là 72 9

328 41

=Ω

A P

Câu 11 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau Xác suất để số

Câu 12 Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5} Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số đôi

một khác nhau được lập thành từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S , tính

xác xuất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10

Câu 14 Một tập thể có 14 người trong đó có hai bạn tên A và B Người ta cần chọn một tổ công tác

gồm 6 người Tính số cách chọn sao cho trong tổ phải có 1 tổ trưởng và 5 tổ viên hơn nữa A

hoặc B phải có mặt nhưng không đồng thời có mặt cả hai người trong tổ

Câu 15 Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0, 4 (không có hòa) Hỏi An

phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0, 95

Ta tìm số nguyên dương n thỏa P A( )≥0.95⇔0.05≥( )0.6 n

Vậy n nhỏ nhất bằng 6 An chơi tối thiểu 6 trận

Câu 16 Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ Chia tổ thành 3 nhóm mỗi nhóm 4 người để làm

3 nhiệm vụ khác nhau Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên nhóm nào cũng có nữ

A 16

8

292

292.34650

Câu 17 Một hộp chứa 12 viên bi kích thước như nhau, trong đó có 5 viên bi màu xanh được đánh

số từ 1 đến 5; có 4 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 4 và 3viên bi màu vàng được đánh số từ 1 đến 3 Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp, tính xác suất để 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số

14.33

29.66

37.66

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 2

12 66

C

Ω = =

Gọi là biến cố 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 16= cách (do số bi đỏ ít hơn nên ta

lấy trước, có 4 cách lấy bi đỏ Tiếp tục lấy bi xanh nhưng không lấy viên trùng với số của bi đỏ nên có 4 cách lấy bi xanh)

● Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 12= cách

Câu 18 Một nhóm gồm 3 học sinh lớp 10, 3 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 được xếp ngồi vào

một hàng có 9 ghế, mỗi em ngồi 1 ghế Xác suất để 3 học sinh lớp 10 không ngồi 3 ghế liền nhau

Số phần tử không gian mẫu là số hoán vị của 9 phần tử : n( )Ω =9!

Gọi A là biến cố “ 3 học sinh lớp 10 ngồi 3 ghế liền nhau”

A

⇒ là biến cố “ 3 học sinh lớp 10 ngồi 3 ghế không liền nhau”

Xem 3 học sinh lớp 10 như một khối đoàn kết, xếp khối này với 6 học sinh còn lại ( lớp 11 và

lớp 12) ta có 7! cách xếp, sau đó hoán đổi vị trí 3 học sinh lớp 10 cho nhau ta lại có 3! cách

xếp Vậy số biến cố thuận lợi n A( )=7!.3!

Xác suất của biến cố A là ( ) ( ) ( ) 1

.12

Câu 19 Đề kiểm tra 15 phút có 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có bốn phương án trả lời, trong đó có một

phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 1,0 điểm Một thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu chọn

một phương án Tính xác suất để thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên

Thí sinh làm cả 10 câu, mỗi câu có 4 cách chọn một phương án nên ta có 10

4 cách để hoàn thành bài kiểm tra ( ) 10

4

n

⇒ Ω =

Gọi A là biến cố thí sinh đó đạt từ 8,0 điểm trở lên

Trường hợp 1: Thí sinh làm sai 2 câu, có 2 2

10.3

C cách

A

Trường hợp 2: Thí sinh làm sai 1 câu, có 1

Câu 20 Cho đa giác đều 20 cạnh Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều Xác suất để 3 đỉnh lấy được là

3 đỉnh của một tam giác vuông không có cạnh nào là cạnh của đa giác đều bằng

Lấy một đường kính qua tâm đường tròn có 10 cách ta được 2 đỉnh

Chọn đỉnh còn lại trong 20 − − = 2 4 14 đỉnh (loại đi 2đỉnh thuộc đường kính và 4 đỉnh gần ngay đường kính đó) cách

Vậy có tất cả 10 14 × = 140 tam giác thoả mãn

Xác suất cần tính bằng 3

20

140 7

.57

 M ức độ 4

Câu 1 Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút

Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là

Ta có ( ) 5

15

n Ω =C

Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp:

TH1: Có đúng hai màu xanh và đen:

- Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có 5

9

- Trong C cách ch95 ọn 5 bút trên, có 5

5

chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh

Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng 5 5

9 5

TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ:

- Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có 5

TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh:

- Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có 5

10

- Trong C cách ch105 ọn 5 bút trên, có 5

6

cả 5 bút đều màu xanh

Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng 5 5

118429

Câu 2 Từ một hộp có 4 bút bi màu xanh, 5 bút bi màu đen và 6 bút bi màu đỏ, chọn ngẫu nhiên 5 bút

Xác suất để 5 bút được chọn chỉ có đúng hai màu là

Vì 5 bút được chọn có đúng hai màu nên có 3 trường hợp:

TH1: Có đúng hai màu xanh và đen:

- Chọn 5 bút trong hai màu xanh, đen (có 9 bút), có 5

9

- Trong C cách ch95 ọn 5 bút trên, có 5

5

chọn nào để cả 5 bút đều màu xanh

Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu xanh và đen bằng 5 5

9 5

TH2: Có đúng hai màu đen và đỏ:

- Chọn 5 bút trong hai màu đen, đỏ (có 11 bút), có 5

TH3: Có đúng hai màu đỏ và xanh:

- Chọn 5 bút trong hai màu đỏ, xanh (có 10 bút), có 5

10

- Trong C cách ch105 ọn 5 bút trên, có 5

6

cả 5 bút đều màu xanh

Số cách chọn 5 bút có đúng hai màu đỏ và xanh bằng 5 5

118429

Câu 3 Một túi đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10 Rút ngẫu nhiên ba tấm thẻ từ túi đó Xác

suất để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 bằng

A 1

3 3 1 1 1

3 4 3 3 4 3

2C C C

+

1 1 1

3 3 4 3 10

- Ba số đều chia hết cho 3

- Ba số đều chia cho 3 dư 1

- Ba số đều chia cho 3 dư 2

- Một số chia hết cho 3, một số chia cho 3 dư 1, một số chia cho 3 dư 2

Do đó số cách rút để tổng số ghi trên ba thẻ rút được là một số chia hết cho 3 là

C

Câu 4 Có 60 tấm thẻ đánh số từ 1đến 50 Rút ngẫu nhiên 3 thẻ Tính xác suất để tổng các số ghi

trên thẻ chia hết cho 3

Câu 5 Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có năm chữ số khác nhau đôi một Xác suất để

số được chọn có ba chữ số chẵn và hai chữ số lẻ còn lại đứng kề nhau?

Ta tính số các số thoả mãn đề mà có số chữ số 0 đứng đầu, ta xét 4 chữ số cuối: Có 2

Câu 8 Cho tập hợp S={1; 2;3; 4; ;17} gồm 17 số Chọn ngẫu nhiên một tập con có ba phần tử của

tập S Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3.

Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 1 là {1; 4; 7;10;13;16 }

Tập hợp các số từ tập S chia cho 3 dư 2 là {2;5;8;11;14;17 }

*) TH1: Ba số lấy từ tập S đều chia hết cho 3: Có 3

Số phần tử không gian mẫu là ( ) 3

P A

C

Câu 9 Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng a a a a a a 1 2 3 4 5 6

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời thỏa

Câu 11 Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ

số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Chọn ngẫu nhiên một số abc từ S Tính xác suất để số được chọn

Gọi biến cố A:“Chọn được một số thỏa mãn a b c≤ ≤ ”

Vì a≤ ≤ mà b c a≠ nên trong các chữ số sẽ không có số 0 0

Trường hợp 1: Số được chọn có 3 chữ số giống nhau có 9 số

Trường hợp 2: Số được chọn tạo bởi hai chữ số khác nhau

Câu 12 Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 8 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9 Lấy ngẫu nhiên một số trong tập hợp X Gọi A là biến cố lấy được số có đúng hai chữ số 1,

có đúng hai chữ số 2, bốn chữ số còn lại đôi một khác nhau, đồng thời các chữ số giống nhau không đứng liền kề nhau Xác suất của biến cố A bằng

.9

Lời giải Chọn D

TH2: Số các cách xếp sao cho không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xếp hai chữ số 1 đứng liền nhau: 2 4

Số các cách xếp thuộc cả hai trường hợp trên:

+ Coi hai chữ số 1 đứng liền nhau là nhóm X, hai chữ số 2 đứng liền nhau là nhóm Y

Câu 13 Cho tập A={0;1; 2;3; 4;5; 6; 7}, gọi S là tập hợp các số có 8 chữ số đôi một khác nhau lập từ

tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , xác suất để số được chọn có tổng 4 chữa số đầu bằng

Số các số có 8 chữ số lập từ tập S là 7.7!

Gọi a a1 2 a là s8 ố có 8 chữ số thỏa mãn đề bài

TH1 a a a a l1 2 3 4 ấy từ các chữ số từ tập C khi đó có: 4.4!.4! số thỏa mãn

TH2 a a a a l1 2 3 4 ấy từ các chữ số từ tập B khi đó có: 4.3.3!.4! số thỏa mãn