Chuyên đề tìm số nghiệm nguyên của phương trình

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f ex =m có nghiệm thuộc khoảng 0; ln 2... Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2Vậy có 5 giá trị

PHẦN I

 f (x ) = m là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f (x ), y = m Số nghiệm của phương

trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f (x), y = m.

 f (x) = g (x) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y = f (x), y = g (x) Số nghiệm của

phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị y = f (x), y = g (x)

( )

c f g x + =d m, với g(x) là hàm số lượng giác

( )

c f g x + =d m, với g(x) là hàm số căn thức, đa thức, …

HÀM HỢP KHI BIẾT BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán sử dụng BBT hoặc đồ thị của hàm số f x( ) để tìm số nghiệm thuộc đoạn [ ]a b; của PT c f g x ( ( ) )+ =d m.

đoạn [a b′ ′; ] của phương trình f t( )=k

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Đặt t=sin , 1;1x t∈ −[ ] thì PT f (sinx)=1 1( )trở thành f t( )=1 2( )

BBT hàm số y= f t( ), t∈ −[ 1;1]:

Dựa vào BBT ta có số nghiệm t∈ −[ 1;1] của PT ( )1 là 2 nghiệm phân biệt t1∈ −( 1; 0 ,) t2∈( )0;1

Quan sát đồ thị y=sinx và hai đường thẳng y= với t1 t1∈ −( 1; 0) và y= với t2 t2∈( )0;1

+ Với t1∈ −( 1; 0) thì PT sin x= có 2 nghiệm t1 0;5

2

x  π

∈  

+ Với t2∈( )0;1 thì PT sin x= có 3 nghiệm t2 0;5

  của phương trình f(sinx)=1là 2 3+ = nghiệm 5

Bài t ập tương tự và phát triển:

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình dưới đây:

Số nghiệm thuộc khoảng (0;π của phương trình ) f (sinx)= −4 là

Lời giải Chọn C

αβ

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:

Với một nghiệm t∈( )0;1 , thay vào phép đặt ta được phương trình cosx t= có hai nghiệm

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ sau:

Số nghiệm của phương trình f (2 sinx)= trên đoạn 1 [0; 2π] là

Lời giải

Đặt t =2 sinx, t∈ −[ 2; 2]

Xét phương trình f t( )= , dựa vào đồ thị ta thấy: 1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

26

π

Vậy phương trình f (2 sinx)= có 3 nghiệm trên đoạn 1 [0; 2π]

Câu 4 Cho hàm số f x ( ) có đồ thị như hình vẽ như sau:

-2

-1

O

1 -1

Phương trình cosx= ∈ −b ( 1; 0) có 4 nghiệm phân biệt

Câu 5. Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [−π π; ] của phương trình 3f (2 sinx)+ =1 0 là

Câu 6. Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

2

ππ

d y =

Bảng biến thiên hàm số y= f t( ) trên đoạn [−2; 2]:

Câu 7. Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm trên đoạn [−2 ; 2π π]của phương trình 4f (cosx)+ =5 0 là

Xét hàm số h x( )=cosx ; x∈ −[ 2 ; 2π π], ta có BBT:

Với t= −1 thì phương trình có 2 nghiệm

Với − < <1 t 1 thì phương trình có 4 nghiệm

Với t= thì phương trình có 1 3 nghiệm

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các giá

Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên mỗi khoảng (−∞;1); (1;+∞) và có đồ thị như hình vẽ dưới

trình f t( )=m có nghiệm thuộc khoảng (2;+ ∞ )

Quan sát đồ thị ta suy ra f t( )=m có nghiệm thuộc khoảng (2;+ ∞ khi ) m∈[0;1)

Câu 10 Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây:

Câu 11 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các

Do đó phương trình f ( 2−x2)= có nghiệm khi và chỉ khi phương trình m f t( )=m có

nghiệm thuộc đoạn 0; 2 

Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m∈[ ]0;2

Câu 12 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tìm tập hợp tất cả

các giá trị thực của tham số m để phương trình f ( )ex =m có nghiệm thuộc khoảng (0; ln 2 )

có nghiệm t trên đoạn [ ]0;1 Dựa vào đồ thị hàm số ta suy ra m∈ −[ 1;1]

Câu 14. Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

để phương trình f (log2x)=2m+ có nghiệm thuộc 1 [ ]1; 2 ?

1

Câu 15 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Có bao nhiêu giá trị

nguyên của m để phương trình f (2 log2x)= có nghiệm duy nhất trên m 1; 2

x∈ ⇒ ∈ −t



2



 

Phương trình f (2 log2x)= có nghiệm duy nhất thuộc đoạn m 1; 2

2



6

m m

− ≤ ≤





Câu 16. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên

Từ đồ thị ta thấy f t( )= có một nghiệm thuộc m (−1;1)⇒ ∈ −m ( 3;1)

Vậy tập hợp số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán là S= − −{ 2; 1; 0}

Câu 17 Cho hàm số y= f x( )có đồ thị như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3

(2f x −6x+2)=mcó 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [ 1; 2]− ?

nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−1; 2] khi và chỉ khi phương trình f t( )=m có 3 nghiệm phân

biệt trên nửa khoảng (−2; 6]

Suy ra 0< < m 2 Vậy một giá trị nguyên m= thỏa mãn 1

Câu 18 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ( 2)

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 19. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ sau:

108

f t = −

Ta có mỗi t> cho duy nhất một giá trị 0 x=lnt

Phương trình ( )* có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình ( )1 có hai nghiệm dương phân biệt

⇒ m∈ − −{ 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2}⇒ có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 20. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  có bảng biến thiên như hình dưới đây

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y= f x( ) cắt đường thẳng y= −3 tại hai điểm

 M ức độ 4

Câu 1 Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ sau:

Hỏi phương trình f (f x( ) )=2 có bao nhiêu nghiệm?

Vậy phương trình f(f x( ) )=2 có 5 nghiệm phân biệt

Câu 2 Cho hàm số f x liên t( ) ục trên  có đồ thị y= f x( ) như hình vẽ bên Phương trình

2

-2 1 -1

 a∈ − − ⇒ − ∈( 2; 1) 2 a ( )3; 4 suy ra phương trình (1) có đúng 1 nghiệm

 b∈( )0;1 ⇒ − ∈2 b ( )1; 2 suy ra phương trình (2) có đúng 1 nghiệm

 c∈( )1; 2 ⇒ − ∈2 c ( )0;1 suy ra phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt

Kết luận: Có tất cả 5 nghiệm phân biệt

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Dựa vào đồ thị ta thấy khi x∈ −[ 1;1] thì y∈[ ]0;1

Do đó nếu đặt t =cos 2x thì t∈ −[ 1;1 ,] khi đó f (cos 2x)∈[ ]0;1

Câu 4 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ sau:

Ta thấy đồ thị y= f x( ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình f x( )= có 4 0nghiệm phân biệt: x1∈ −( 1,5; 1− , ) x2∈ − −( 1; 0,5), x3∈(0;0,5), x4∈(1,5; 2)

Với m= ∈ −x1 ( 1,5; 1− có 2 giao điểm nên phương trình ) f x( )= có 2 nghiệm x1

Với m= ∈ − −x2 ( 1; 0,5) có 4 giao điểm nên phương trình f x( )= có 4 nghiệm x2

Với m= ∈x3 (0;0,5) có 4 giao điểm nên phương trình f x( )= có 4 nghiệm x3

Với m= ∈x4 (1, 5; 2) có 2 giao điểm nên phương trình f x( )= có 2 nghiệm x4

Câu 6 Cho hàm số f x liên t( ) ục trên  có đồ thị y= f x( ) như hình vẽ bên Số nghiệm thực của

Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  thỏa mãn điều kiện lim ( )

→−∞ = lim ( )

đồ thị như hình dưới đây:

1

Dễ thấy phương trình ( )1 luôn có nghiệm duy nhất ∀ ∈ −∞t ( ;1]

Vậy m=2,n= ⇒ + =1 m n 3

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Gọi S là tập các giá trị nguyên

của m để cho phương trình f (sinx)=3sinx+ có nghiệm thuộc khoảng m ( )0;π Tổng các

Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ),ta có: ∀ ∈t (0;1 :] f t'( )< 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∀ ∈t (0;1 : '( )] g t < 0

Do đó hàm số g t( ) nghịch biến trên khoảng ( )0;1

PT (*) có nghiệm t∈(0;1]⇔min ( )[ ]0;1 g t ≤ <m max ( )[ ]0;1 g t ⇔g(1)≤ <m g(0)

⇔ − ≤ < ⇔ − ≤ <

Vậy m nguyên là: m∈ − − − −{ 4; 3; 2; 1; 0}⇒ = −S 10

Câu 9 Cho hàm số y= f x( )liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ sau:

2

m

=    có đúng 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π; 2 ]?

Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) suy ra phương trình ( )

Do m nguyên nên m∈{ }1; 2 Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn bài toán

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Vậy phương trình đã vô nghiệm trên đoạn [0; 2π]

Câu 11 Cho hàm số f x có b( ) ảng biến thiên như sau

Số nghiệm thuộc đoạn 2 ;

2

ππ

Xét phương trình 3f (sinx+cosx)+ = 4 0

Đặt sin cos 2 sin

− 

2

ππ

− 

 

Câu 12 Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [−π π; ] của phương trình 3f (2 cosx)+ = là2 0

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình ( ) 2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn [−π π; ]

Câu 13 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ dưới đây Tập hợp tất cả các

giá trị thực của tham số m để phương trình 2f (2 sinx + =1) m có nghiệm thuộc khoảng

−

3

−

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f (2 sinx+ =1) f m( ) có nghiệm thực?

Do m nguyên dương nên m∈{1, 2, 3}

Câu 15 Cho hàm số f x có b( ) ảng biến thiên như sau:

2

ππ

Dựa vào bảng biến thiên, số nghiệm t∈ −[ 2; 0] của ( )2 là 1 nghiệm t∈ −( 2; 0)

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình sinx = ∈t2 ( )0;1 có 3 nghiệm phân biệt

Câu 16 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Tổng tất cả giá trị nguyên của

Quan sát đồ thị ta thấy rằng với u∈[0; 2) thì f u( )∈ −[ 2; 2)⇒ − ≤ < 2 m 2

Vì m∈ ⇒ ∈ − − m { 2; 1; 0;1 } Vậy có 4 giá trị của m

Tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là −2

Câu 17 Cho hàm số f x( ) có đồ thị như sau:

1 1

1

− 2

−

Số nghiệm thuộc đoạn [0;3 ]π của phương trình 2 (cos ) 1 0f x − = là:

Với t= ∈ −t1 ( 1; 0)⇒cosx=t1 có 3 nghiệm thuộc [0;3 ]π

Với t= ∈ −t2 ( 1; 0)⇒cosx=t2 có 3 nghiệm thuộc [0;3 ]π

Với t= ∈t3 (0;1)⇒cosx=t3 có 3 nghiệm thuộc [0;3 ]π

Với t= ∈t4 (0;1)⇒cosx=t4 có 3 nghiệm thuộc [0;3 ]π

Dựa vào đồ thị suy ra 1≤ ≤ m 2

Câu 19 Cho hàm số ( )f x có bảng biến thiên sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(2 sinx+m)+ = 2 0 có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc [0;3π]?

1

21

2

m x

m x

12

Vậy có 2 giá trị nguyên của m là m=0;m= − để phương trình 1 f (2 sinx+m)+ = 2 0 có đúng

6 nghiệm phân biệt thuộc [0;3π]

Câu 20 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  có đồ thị như hình vẽ bên dưới đây:

PH ẦN II

Số nghiệm thuộc đoạn [a b′ ′; ] của PT f t( )=k là số giao điểm của đồ thị y= f t( ) với đường thẳng

y= với k t∈[a b′ ′; ] (k là tham số)

 …

BÀI TẬP MẪU

Phân tích hướng dẫn giải

(Tìm số nghiệm của phương trình liên quan đến sinx khi biết bảng biến thiên)

B3: Từ BBT của hàm số y= f x( ) suy ra BBT của hàm số y= f t( ) để giải bài toán số nghiệm thuộc đoạn [a b′ ′; ] của PT f t( )=k

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn C

Đặt t=sin ,x t∈ −[ 1;1] thì PT f (sinx)=1 1( )trở thành f t( )=1 2( )

BBT hàm số y= f t( ),t∈ −[ 1;1]:

Dựa vào BBT ta thấy trên đoạn [−1;1], PT ( )2 có 2 nghiệm phân biệt t1∈ −( 1; 0 ,) t2∈( )0;1

Quan sát đồ thị y=sinx và hai đường thẳng y= vt1 ới t1∈ −( 1; 0) và y= vt2 ới t2∈( )0;1

+ Với t1∈ −( 1; 0) thì PT sin x= có 2 nghit1 ệm 0;5

  của phương trình f (sinx)=1 là 2 3+ = 5

Bài t ập tương tự và phát triển:

Câu 1 Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (sinx)=m có nghiệm là

Đặt t=sin ,x t∈ −[ 1;1] thì PT f (sinx)=m ( )1 trở thành f t( )=m ( )2

hoành độ giao điểm thuộc đoạn [−1; 1]

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra m∈[ ]0; 2

Mặt khác m∈ nên ta có các giá trị của m thỏa mãn là m∈{0; 1; 2}

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên Tập hợp tất cả các giá trị

thực của tham số m để phương trình f (cosx)= có nghiệm thuộc khoảng m (0;π là )

hoành độ giao điểm thuộc khoảng (−1;1)

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra m∈ −( 1; 3 )

Câu 3 Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π của phương trình ] f (cosx)= là 1

+ Với t1∈ −( 1; 0) thì PT cos x= có 2 nghit1 ệm x∈[0; 2π]

+ Với t2∈( )0;1 thì PT cos x= có 2 nghit2 ệm x∈[0; 2π]

Vậy số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] của phương trình f (cosx)=1 là 2+ =2 4

Câu 4 Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên Hỏi phương trình f f (sinx)− =1 0 có bao

nhiêu nghiệm thuộc đoạn [0; 3π]?

( )

y= f x

A 2 B 4 C 5 D 6

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có: f f (sinx)− =1 0

Xét ( )1 : Đặt t=sin ,x t∈ −[ 1; 1], được phương trình f t( )=m1 là phương trình hoành độ giao

Dựa vào đồ thị ta thấy có nghiệm t∈ −( 1; 0), khi đó có giá trị của sin x⇒

tương ứng cho ra nghiệm x∈[0; 3π]

Tương tự ( )2 có 4 nghiệm x∈[0; 3π]; phương trình ( )3 vô nghiệm Vậy phương trình đã cho

có 6 nghiệm

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên các khoảng (−∞; 0), (0;+∞) và có bảng biến thiên như sau

Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra phương trình f x( )= có nghiệm phân 0biệt Khi đó phương trình f x m( + )= có ba nghiệm phân biệt 0

cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương)

Câu 6 Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình bên Hỏi có bao nhiêu điểm trên đường tròn lượng

giác biểu diễn nghiệm của phương trình f (f (sin 2x) )=0?

Câu 7 Cho hàm số f x( )có bảng biến thiên như sau :

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Vậy, có 9 giá trị của m

Câu 9 Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ Với m là tham số thực bất kì thuộc khoảng

Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng y=k với k∈( )1; 5 cắt đồ thị f t ( ) tại 3 điểm phân biệt

Câu 10 Cho hàm số y f x= ( ) có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f t( )= −1 có 2 nghiệm t1∈ −( 2;0) và t2∈( )0;2

Suy ra: sin = ∈ −1 ( 1;0)