Chuyên đề ứng dụng của tích phân luyện thi THPT quốc gia

Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức... Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ysinx

CHỦ ĐỀ 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn  a b ; , trục hoành và

hai đường thẳng x a , xb được xác định: ( )

b a

Sf x dx

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), y g x( ) liên tục trên đoạn  a b và ;hai đường thẳng x a , xb được xác định: ( ) ( )

b a

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường xg y( ), xh y( ) và hai đường thẳng yc,

yd được xác định: ( ) ( )

d c

S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ,

(a x b) Giả sử S x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]a b

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

b a

y f x

y 0 H

= ( )

y f x y

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Những điểm cần lưu ý:

Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường y f x( ), ( ), , yg x xa xb là ( ) ( )

b a

S  f x g x dx +) Nếu (1) có nghiệm thuộc  a b; giả sử  thì

 ( ) ( )  ( ) ( )

b a

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình f x( )g x( ) tìm các giá trị   ,

Bước 2 Tính S f x( ) g x dx( )





  như trường hợp 1

Câu 1 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x( ),yg x( ) liên tục

trên [ ; ]a b và hai đường thẳng xa, xb (ab) là:

Câu 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ; ]a b trục hoành

và hai đường thẳng xa x, b a b cho bởi công thức:

b a

S f x dx B  

b a

S f x dx C  

b a

S f x dx D 2 

b a

S f x dx

11 6, 6

yx  x y x , x0, 2x (Đơn vị diện tích)

, 4

yx y x là:

Câu 5 Cho hàm số y f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]a b Diện tích hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị củay f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

A ( )

b a

S f x dx B ( )

b a

S  f x dx C 2( )

b a

S  f x dx D 2( )

b a

S f x dx

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b ,

trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

b a

S f x dx B ( )

b a

S f x dx C ( )2

b a

S f x dx D ( )

b a

S f x dx

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x( ), y g x( ) liên tục trên

đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

A ( ) ( )2

b a

S f x g x dx B [ ( ) ( )]

b a

S f x g x dx

b a

S f x g x dx D ( ) ( )2

b a

y x , trục hoành và hai đường thẳng 1

y x , trục hoành và hai đường thẳng 1

Câu 12 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ysinx , trục hoành và hai đường thẳng

Câu 13 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ytanx , trục hoành và hai đường

3ln3

3



ye , trục hoành và hai đường thẳng 0

x  , x 3 là

A

61

2 2

61

2 2

61

3 3

61

2

x y x





 , trục hoành và đường thẳng 2

Câu 19 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ycos 2x , trục hoành và hai đường





 , trục hoành và đường thẳng 2

Câu 23 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số ycos 2x , trục hoành và hai đường

Câu 24 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x và 3

Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xlnx, trục hoành và đường thẳng

xe là

A

212

e 

B

212

e 

C

214

e 

D

214

e 

Câu 29 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

yx  x y x và hai đường thẳng x 2; x3 Diện tích của (H) bằng

Câu 30 Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y  1 e x x y,   1 e x Diện tích

e 

C 22

e 

D 12

y x  x y x Diện tích của (H) bằng

( ) :P yx 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ 2

Câu 34 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 2 27

Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng

V   f (x)dx

Trường hợp 2 Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f(x), y  g(x),

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

π + π

Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x Ox x( ), , , = a x = b quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

b a

V =π ∫ f x dx B 2( )

b a

V =π∫ f x dx C 2 2( )

b a

V =∫π f x dx D 2( )

b a

V =∫ f x dx

Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x − ; trục Ox và đường thẳng 1 x=3 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

y=x +1, y=0, x=0, x= 1 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 79

63

π

B 2314

π

C 54

π

D 9π

y =x x=a x=b < < a b quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y= − +x 2x, y= quay xung quanh trục Ox Thể tích 0của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 496

15

π

B 43

π

C 6415

π

D 1615π

y= 1 x , y− = 0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

2

π

B 23

Câu 49 Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0;x=π và có

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ; 0; 0)x bất kỳ là đường tròn bán kính

sin x là:

Câu 50 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y tan x, y 0, x 0, x

3

π

= = = = quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +1 x , Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 52 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường

tròn x2+y2 =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

y x và đường thẳng x=4 Thể tích của khối

tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln ,x y=0, x=2 quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y=a.x , y=bx (a, b≠0) quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A

3 3

1 1

3 5

b V

.5π

V

5 3

.3π

V

5 3

1 1

3 5

b V

Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y=x x, =0, x=1 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 58 Gọi ( )H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong ( )C : y1 =f x( ), ( )C2 : y=g x( ), hai

đường thẳng x a= , x b= , a b< Giả sử rằng ( )C và 1 ( )C2 không có điểm chung trên [ ]a, b

và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay ( )H quanh Ox là

Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln ,x y=0, x=e quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A

34e 1.9

+

34e 1.9

−

32e 1.9

+

32e 1.9

−π

Câu 61 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường

trònx2+y2 =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

x O

A 256 3

.3

=

.3

=

.3

=

.3

.70

.3

.5

a

S= D

343

Câu 70 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 0

Câu 71 Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0 Tính diện tích của miền D

Câu 72 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0,

Câu 73 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:



C 1715



D 4815



;8

y=x x= y quay quanh trục Oy là:

A 21

15



B 2315



C 2415



D 485

e

B

2( 1)4

e

C

2( 1)2

e

D  2

112

e

C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x( ),yg x( ) liên tục

trên [ ; ]a b và hai đường thẳng xa, xb (ab) là:

Câu 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ; ]a b trục hoành

và hai đường thẳng xa x, b a b cho bởi công thức:

b a

S f x dx B  

b a

S f x dx C  

b a

S f x dx D 2 

b a

S f x dx

11 6, 6

yx  x y x , x0, 2x (Đơn vị diện tích)

0

h(x) x

Câu 5 Cho hàm số y f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]a b Diện tích hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị củay f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

b a

S f x dx B ( )

b a

S  f x dx C 2( )

b a

S  f x dx D 2( )

b a

S f x dx

Hướng dẫn giải

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( )

b a

Sf x dx

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b ,

trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

b a

S f x dx B ( )

b a

S f x dx C ( )2

b a

S f x dx D ( )

b a

S f x dx

Hướng dẫn giải

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( )

b a

Sf x dx

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x( ), y g x( ) liên tục trên

đoạn [ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a , xb được tính theo công thức

A ( ) ( )2

b a

S f x g x dx B [ ( ) ( )]

b a

S f x g x dx

b a

S f x g x dx D ( ) ( )2

b a

S f x g x dx

Hướng dẫn giải

Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( ) ( )

b a

S f x dx

y x , trục hoành và hai đường thẳng 1

204

Hướng dẫn giải

Ta có x 0trên đoạn [1; 4] nên

4 3

y x , trục hoành và hai đường thẳng 1

3ln3

Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 x

ye , trục hoành và hai đường thẳng 0

x  , x 3 là

A

61

2 2

61

2 2

61

3 3

61





 , trục hoành và đường thẳng 2

Nên

2

2 3 2

4 4





 , trục hoành và đường thẳng 2

4 4

Hướng dẫn giải

Xét pt x34x0 trên đoạn  3; 4 có nghiệm x 2; x0; x2

e 

B

212

e 

C

214

e 

D

214

Hướng dẫn giải

(x            x 2) (x 2) 0 x 4 0 x 2Suy ra

e 

D 12

x 0 1 3 2

( ) :P yx 3, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ 2

II- Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn bởi các đường:

NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU

quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= f x Ox x( ), , , = a x = b quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

b a

V =π ∫ f x dx B 2( )

b a

V =π∫ f x dx C 2 2( )

b a

V =∫π f x dx D 2( )

b a

V =π∫ f x dx

Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x − ; trục Ox và đường thẳng 1 x=3 quay xung

quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y=x +1, y=0, x=0, x= 1 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y =x x=a x=b < < quay xung a b quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y= − +x 2x, y= 0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 496

15

π

B 43

π

C 6415

y= 1 x , y− = 0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 3

2

π

B 23

−

Câu 49 Thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0;x=π và có

thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm ( ; 0; 0)x bất kỳ là đường tròn bán kính

= = = = quay xung quanh trục

Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Theo công thức ta có thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 3 2

Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +1 x , Ox, x = 0, x = 4 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 52 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường

tròn x2+y2 =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:

y x và đường thẳng x=4 Thể tích của khối

tròn xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:

Hướng dẫn giải

Giao điểm của hai đường y2 = 4x và x =4 là D(4; 4)− và E(4;4) Phần phía trên Ox của đường y2 = 4x có phương trình y =2 x Từ hình vẽ suy ra thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

4

2 0

.(2 ) 32

Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln ,x y=0, x=2 quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

y=a.x , y=bx (a, b≠0) quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A

3 3

1 1

3 5

b V

.5π

V

5 3

.3π

V

5 3

1 1

3 5

b V

A

a a Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là: 2 2 2 4 5

Câu 56 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2

Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y=x x, =0, x=1 quay xung quanh trục Ox

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Câu 58 Gọi ( )H là hình phẳng được tạo bởi hai đường cong ( )C : y1 =f x( ), ( )C2 : y=g x( ), hai

đường thẳng x a= , x b= , a b< Giả sử rằng ( )C và 1 ( )C2 không có điểm chung trên [ ]a, b

và thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay ( )H quanh Ox là

Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln ,x y=0, x=e quay xung quanh trục Ox Thể

tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A

34e 1.9

+

34e 1.9

−

32e 1.9

+

32e 1.9

−π

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của đường x =e với y =x lnx là điểm C(3;3) Tọa độ giao điểm của đường y =x lnx với y = là 0 A(1;0) Vậy thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

3 2

Tọa độ giao điểm của đường 3 2

x +y =16(nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox

ta được thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

y

x O

A 256 3

.3

=

.3

=

.3

=

.3

.70

.3

.5

=

Hướng dẫn giải

Với x ∈  0;2 thì y2 = 4x ⇔ =y 4x

Tọa độ giao điểm của đường 2

a

S= D

343

Câu 71 Cho D là miền kín giới hạn bởi các đường y = 1, y = 2 – x và x = 0 Tính diện tích của miền D

Câu 72 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = cosx , y = 0, x=0,

Câu 73 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi:

A 14

15



B 1615



C 1715



D 4815



;8

y=x x= y quay quanh trục Oy là:

A 21

15



B 2315



C 2415



D 485

e

B

2( 1)4

e

C

2( 1)2

e

D  2

112

e