Chuyên đề nguyên hàm luyện thi THPT quốc gia

Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K... - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp.. - Tìm nguyên hàm bằng phương pháp

CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM KIẾN THỨC CƠ BẢN

G x =F x + cũng là một nguyên hàm của C f x trên ( ) K

2) Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x trên ( ) K thì mọi nguyên hàm của f x trên ( ) K đều

3 Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x ( ) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp (u=u x( ) )

α +

11

1 Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu ∫ f u du( ) =F u( )+C và u=u x( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp biến đổi trực tiếp

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

- Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm của hàm số F x ( ) ta được kết quả

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

Câu 4 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= x+1)(x+ 2)

Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Câu 6 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=sin 2x

C sin 2∫ xdx=cos 2x C+ D sin 2∫ xdx= −cos 2x C+

Câu 7 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 3

2)=1 t n+

2c

2

x

4

x

x x dx= x d x = +C

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

5 3 5 33

F − = Khi đó F x ( ) là hàm số nào sau đây?

A. F x( )=sinx−xcosx C+ B F x( )=xsinx−cosx C+

C F x( )=sinx+xcosx C+ D F x( )=xsinx+cosx C+

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp trắc nghiệm:

Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập d (F x( )) f x( )

dx − , CALC ngẫu nhiên tại một

số điểm x 0 thuộc tập xác định, kết quả xấp xỉ bằng 0 chọn

+

A. F x( )=(x2 −2) sinx+2 cosx x C+ B F x( )=2x2sinx−xcosx+sinx C+

C F x( )=x2sinx−2 cosx x+2 sinx C+ D F x( )=(2x+x2) cosx−xsinx C+

Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần với u=x dv; =sin 2xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng hoặc sử dụng máy tính: Nhập

Phương pháp tự luận: Tính F x'( ) có kết quả trùng với đáp án chọn

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F x'( )= f x( )⇔F x'( )− f x( )=0

Câu 39 Hàm số F x( )=7 sinx−cosx+1là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. f x( )=sinx+7 cosx B. f x( )= −sinx+7 cosx

C. f x( )=sinx−7 cosx D. f x( )= −sinx−7 cosx

Hướng dẫn giải: F x'( )=7 cosx+sinx

sin xcos x dx

2

3 6 ln 12

1ln

x C x

+

C 2ln 3

3

x

C x

x C

x +

1ln

x C

12

1ln2

C

++

Câu 55 Nếu F x( )là một nguyên hàm của hàm số ( ) 1

F = Giá trị của 2( )

F = nên C=0 Vậy 2( ) 8

9

F e =

12

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2

x

cos sin cos (cos )

ln sincos 2 1 1 2 sin 1 sin sin

( ) sin cos 3 cos sin 3

A ( ) 2 ( )

2

ln 12

x

2

ln 12

Câu 71 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

e

f x

e

=+

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

1

f x

x

=+

34

t x

Câu 80 Tính F x( )=∫2 (3x x−2)6dx= A x(3 −2)8+Bx x(3 −2)7 +C Giá trị của biểu thức 12A+11B là

A 1 B −1 C 12

1211

Hướng dẫn giải:

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng bảng

+ -

+ - +

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

2( 1)

3 x−

2

+

5 2

4( 1)

15 x−

2

8( 1)

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

+

+ -

+

Câu 85 Kết quả của 2

cos

x

e dx x

31

x dx

44

x C

x C

+

x C

−

13

(5 9 )117

x C

− +

C

13

(5 9 )13

x C

− +

D

13

(5 9 )9

x C

Hướng dẫn giải: cos 5 1 cos 5 5 1sin 5

++

−+

Câu 105 Tính ∫sin (2 cos )x + x dx bằng

12

A −cosx+tanx C+ B cosx+tanx C+

Hướng dẫn giải: Ta có '( ) (sin cos ) ' cos sin

Câu 116 Gọi F x ( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 4( )

sin 2

f x = x thoả mãn ( ) 3

08

Câu 119 Gọi F x ( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( )=xcosx thỏa mãn F( )0 =1 Khi đó phát biểu

nào sau đây đúng?

4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

sin cos sin cos sin 1 sin

A. ∫ f x dx( ) =cos2 x−2 cosx C+ B ( ) 1cos2 2 cos

( 2sin ) 2sin ( ) 1 2sin

4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT

Câu 128 Hàm số ( ) ln sinF x = x−cosx là một nguyên hàm của hàm số

Hướng dẫn giải: '( ) (sin cos ) ' cos sin

∫ bằng:

4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC

Câu 134 Biết hàm số ( )F x = −x 1 2− x+2017 là một nguyên hàm của hàm số ( )

32

31

t x

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

u và đạo hàm của u dv và nguyên hàm của v

2

ln(x + 3) x

2

23

x

x +

2

32

x +

1 (Chuyển 22

Hướng dẫn giải

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

C

2

1 1( ) ln

−

20

−

(1 ) (1 )( ) (1 )

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

Kết quả F x( )=∫(2x+1) sinxdx= −2 cosx x−cosx+2 sinx C+ nên a b c+ + = −1

Câu 146 Cho hàm số F x( )=∫xln(x+1)dx có F(1)=0 Khi đó giá trị của F(0) bằng

−

Hướng dẫn giải:

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần vớiu=ln(x+1),dv=xdx

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

1( 3 ) ln

3 3

Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp từng phần

Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng

1( ) ( 3 ) ln

(Chuyển (x+1)e x qua dv)

11

x

−+

f x = x+ x + thỏa mãn F(0)=1 Chọn kết quả đúng

Vì F( )π =2017 nên C=2017 Vậy F x( )=xtanx+ln | cos | 2017x +

Câu 151 Tính F x( )=∫x(1 sin 2 )+ x dx= Ax2+Bxcos 2x C+ sin 2x+D Giá trị của biểu thức A+ +B C

bằng

A. 1

14

34

4.1.6 ÔN TẬP

Câu 153 Một nguyên hàmF x( ) của hàm số ( ) sin 12

A F x( )= −cosx+tanx+ 2 1− B F x( )=cosx+tanx+ 2 1−

C F x( )= −cosx+tanx+ −1 2 D F x( )= −cosx+tanx

  VậyF x( )= −cosx+tanx+ 2 1−

Câu 154 Một nguyên hàm F x( )của hàm số ( ) 2 sin 5 3

Câu 156 Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )= +a bcos 2x thỏa mãn (0)