Bài tập ví dụ vi tích phân 1b chương tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TP.HCM

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BTC ÔN THI HỌC KỲ 1 KHÓA 2016

BÀI TẬP VÍ DỤ

VI TÍCH PHÂN 1B

CHƯƠNG: TÍCH PHÂN

 Lâm Cương Đạt

Cập nhật: 02/02/2017 cuu duong than cong com

Bài tập tích phân suy rộng

Bài 1: Tính tích phân suy rộng sau 3

3

1 dx

x 2







Đây là tích phân suy rộng loại 1

t t

3 t

t t

dx lim dx lim

x 2

x 2 x 2

2 2

lim

t 2 3 2

khi t 0 lim 0

t 2 t 2

2 2

lim 2

t 2 3 2











 

   



 

 

 

   

 

 

   

      

   

 

  

   

 

Vậy tích phân hội tụ về 2

Bài 2: Tính tích phân suy rộng sau 2 2

0

x.arctanx

dx (1 x )







Dễ thấy đây là tích phân suy rộng loại 1

t

x.arctanx x.arctanx

dx lim dx

(1 x ) (1 x )







Ta tìm (arctan x)’, đặt 2 2

ytan x  y' 1 tan x  1 y

Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x là hàm ngược của tanx x ( , )

2 2

 

   )

2

1 1 arctan(tan x) ' arctan(y) '

y ' 1 y

  



cuu duong than cong com

Hay 1 2

arctan(x) '

1 x





Đặt u arctan x du dx2

1 x

  

 và xtan u

Tích phân trở thành

2

u.tan u 1

lim du lim u.sin u cos u du lim u.sin 2u du

1 tan u 2



Ta có cách tìm b  

a x.sin 2x dx



Đặt

du dx

u x

1

dv sin 2x dx chon v cos 2x

2









    

 

Ta có b ba b

a u.dvu.v  a v.du

       

b

a

x.sin x dx cos 2x x cos 2x dx

cos 2x x sin 2x sin 2x 2 cos 2x

 

     

 

      

Vậy arctan t  

arctan 0

t

1

lim u.sin 2u du

2 

arctan t

t

arctan 0 t

1

lim sin(2u) 2x cos(2u)

8

1

lim sin(2 arctan t) 2.arctan t.cos(2 arctan t) sin 0 2.0.cos 0

8





   

t

Do khi t arctan t

2 1

lim sin(2arctan t) 2.arctan t.cos(2arctan t) sin 0 2.0.cos 0





   



Vậy tích phân hội tụ về

8



cuu duong than cong com

Bài 3: Tính tích phân suy rộng sau 14

4 2

dx

x 2



Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại 2

dx dx

lim

x 2 x 2

 

14

t

lim x 2 lim 14 2 t 2

 

        

 

Bài 4: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ 5

0

xdx

x2



Ta thấy hàm số x

f (x)

x 2



 không xác định tại x=2 Vậy đây là tích phân suy rộng loại 2

Ta có đặt t x 2 dt dx

x t 2





     



b 2

b a

t 2 x.dx 2

dt 1 dt t 2ln t

x 2 t t

x 2 2.ln x 2



    

       

    

xdx xdx xdx xdx xdx

lim lim

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

lim x 2 2 ln (x 2) lim x 2 2 ln(x 2)

lim t 2 ln t 2 2 ln 2 lim 5 2 ln 3 t 2 ln t 2

   

    

       

        

Ta có t 2

t 2

lim t 2

t 2

khi t 2 0

t 2 lim t 2

 

 

  



 

      

     

  *xem thêm đồ thị hàm số y = lnx

cuu duong than cong com

Bài 5: Tính tích phân suy rộng sau

1 x 0 2

e dx x





Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận tại 0 mà tại đó hàm số

1 x 2

e

f (x)

x

 không xác định, vậy đây là sự kết hợp của tích phân loại 1 và tích phân loại 2

Đặt t 1 dt dx2

x x

  

Vậy  

1

b 1 2

a

a

e

dx e dt e

x  

Tích phân trở thành

k 1

x

t

dx lim lim dx lim lim e

lim lim e e





 

     

   

    

 

     

 

  

    

 

 

Khi

1 0 t

1

t 0 e e 1

t

      

Khi

1 k

1

k 0 e e 0

k



        *xem thêm đồ thị x

y e Vậy tích phân hội tụ về 1

cuu duong than cong com