Điểm hội tụ không có định nên chuỗi không hội tụ.
Trang 1BÀI TẬP VÍ DỤ CŨNG CỐ KIẾN THỨC CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI TÍCH PHÂN
*Các bạn theo dõi phân tóm tắt lý thuyết để nắm lý thuyết trọng tâm nhé
Dạng bài ôm sát đề thi
Chương: Đạo hàm
*Quy tắc Lopitan
Bài 1: Tính 2
x 0
ln(1 x) x lim
tan x
2
x ln(1 x) x [ln(1 x) x]' 1 x
1 tan x (tan x)' 2 tan x
cos x
x cos x ( x cos x)' 3cos x.sin x cos x
2(1 x)sin x (2(1 x)sin x)' 2sin x 2cos x.(1 x)
1
2
Bài 2: Tính
x 4
ln(tan x) lim
cot 2x
2
2
x
4
ln(tan x) [ln(tan x)]' tan x cos x
1 1 cot 2x (cot 2x)' .
sin 2x 2 sin x
2sin 2x.cos x
Bài 3: Tính
x 0
lim
x arcsin x
Ta tìm (arcsin x)’
arcsin x là hàm ngược của sinx x ( , ) nên theo lý thuyết ta tìm đạo hàm của nó như
2 2
sau
Đặt y = sin x
2
y sin x y' cos x 1 sin x 1 y
arcsin(sin x)' arcsin y'
y' 1 y
2
1 arcsin x '
1 x
1 1 arcsin x x (arcsin x x)'
x arcsin x x.arcsin x (x.arcsin x)'
2 2
1
1
1 x
1 x
arcsin x arcsin x '
cuu duong than cong com
Trang 2x 0 2
2
2x
2 1 x
2x
1 x x
1
2 1 x
*Chuỗi lũy thừa
Bài 4: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của
2n
n
n 1
x n.9
Đặt t x 2
Chuỗi trở thành n với
n
n 1
1 (t 0) n.9
1 c
9 n
n
n 1
n
n
c 9.9 (n 1) 9(n 1) 9
Vậy bán kính hội tụ R 1 1 9
1 L 9
Xét sự hội tụ tại hai đầu mút x a 3 3
Tại x a 3 3 chuỗi trở thành là chuỗi điều hòa nên phân kỳ
n 1
1 n
Vậy miền hội tụ là (-3,3)
Bài 5: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của
n n
n 1
( 1) 1 x 2n 1 1 x
Đặt t 1 x
1 x
Chuỗi trở thành n n với
n 1
( 1) t 0 2n 1
( 1) c
2n 1
n 1
n
Vậy bán kính hội tụ R 1 1 1
L 1
Miền hội tụ của chuỗi là a 1 t a 1 1 t 1 1 1 x 1 x 0
1 x
Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0
cuu duong than cong com
Trang 3Chuỗi trở thành là chuỗi Lebnizt hội tụ do là chuỗi đan dấu và dãy
n
n 1
( 1) 2n 1
n 1
( 1) 2n 1
là dãy dương giảm
n
1
a
2n 1
Vậy miền hội tụ là [0,)
Bài 6: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của 1 2n n
n 1
n 1
4 x 3 4
Chuỗi là chuỗi lũy thừa với
1 2n
n n 1
4
4
2n 2 n
n 1
2n n 1
n
Vậy bán kính hội tụ R 1 1
L 4
Ta xét sự hội tụ tại 2 đầu mút x a R 3 1
4
Tại x 3 1, chuỗi trở thành không hội tụ do với n lẻ, chuỗi hội tụ về -1, với n
4
n 1 ( 1)
chẵn, chuỗi hội tụ về 0 Điểm hội tụ không có định nên chuỗi không hội tụ
Tại x 3 1, chuỗi trở thành là chuỗi phân kỳ
4
n 1 1
Vậy miền hội tụ là ( 3 1, 3 1)
Chương: TÍCH PHÂN
Bài 7: Tính tích phân suy rộng sau 3
3
1 dx
x 2
Đây là tích phân suy rộng loại 1
t t
3
t
t
t
dx lim dx lim
x 2
lim
t 2 3 2
t 2 3 2
Vậy tích phân hội tụ về 2
Bài 8: Tính tích phân suy rộng sau 2 2
0
x.arctanx
dx (1 x )
Dễ thấy đây là tích phân suy rộng loại 1
cuu duong than cong com
Trang 4x.arctanx x.arctanx
(1 x ) (1 x )
Ta tìm (arctan x)’, đặt y tan x y' 1 tan x 1 y 2 2
Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x là hàm ngược của tanx x ( , ))
2 2
2
arctan(tan x)' arctan(y)'
y' 1 y
Hay arctan(x)' 1 2
1 x
Đặt u arctan x du dx2 và
1 x
x tan u
Tích phân trở thành arctan t arctan t
2 arctan 0
arctan 0
u.tan u 1 lim du lim sin(2x) 2x cos(2x)
1 tan u 8
t
1
lim sin(2arctan t) 2.arctan t.cos(2arctan t) sin 0 2.0.cos 0
8
t
Do khi t arctan t
2 1
lim sin(2arctan t) 2.arctan t.cos(2arctan t) sin 0 2.0.cos 0
Vậy tích phân hội tụ về
8
Bài 9: Tính tích phân suy rộng sau 14
4 2
dx
x 2
Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại 2
lim
14
t
lim x 2 lim 14 2 t 2
Bài 10: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ 5
0
xdx
x 2
Ta thấy hàm số f (x) x không xác định tại x=2
x 2
Vậy đây là tích phân suy rộng loại 2
lim x 2ln (x 2) lim x 2 ln(x 2)
lim t 2ln t 2 2ln 2 lim 5 2ln 3 t 2ln t 2
cuu duong than cong com
Trang 5Ta có t 2 *xem thêm đồ thị hàm số y = lnx
t 2
lim t 2
t 2
Vậy tích phân suy rộng phân kỳ
Bài 11: Tính tích phân suy rộng sau
1 x 0 2
e dx x
Ta thấy tích phân vừa có cận từ vừa có cận tại 0 mà tại đó hàm số không xác
1 x 2
e
f (x)
x
định, vậy đây là sự kết hợp của tích phân loại 1 và tích phân loại 2
Tích phân trở thành
1
x
2 t k 0 t 2 t k 0
t
1 1
t k
t k 0
dx lim lim dx lim lim e
lim lim e e
Khi
1 0 t 1
t
1 k 1
k
Vậy tích phân hội tụ về 1
cuu duong than cong com