Về các tập đóng nửa suy rộng trong không gian tôpô

Khoá luận tập trung nghiên cứu về các tập -đóng nửa-suy rộng, qua đó mở rộng những khái niệm thông th-ờng trong không gian tôpô cho lớp mới gồm các tập đó.. Phần này giới thiệu một số k

Tr-êng §¹i häc Vinh

Tr-êng §¹i häc Vinh

Sinh viªn thùc hiÖn

Lª ThÞ NguyÖt

Líp: 44E2 - To¸n

Vinh - 2008

Mục lục

Trang Lời mở đầu 1

Đ1 Các kiến thức chuẩn bị 3

Đ2 Tập *-nửa mở 7

Đ3 Tập *-đóng nửa-suy rộng 12

Đ4 Tích các tập *-đóng nửa-suy rộng 22

Kết luận 24

Tài liệu tham khảo 25

T-ơng tự nh- h-ớng đi của N Levine các nhà toán học G.B Gavalagi đã dựa ttên cơ sở các ánh xạ và trên các lớp tập mới trên các tác giả đã đ-a ra các khái niệm sg-liên tục, sg-mở, và đã có những kết quả dựa trên khái niệm toán tử bao

đóng C* về ánh xạ trong tôpô đại c-ơng cùng những tài liệu tham khảo khác D-ới

sự hương dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân chúng tôi đã lựa chọn đề t¯i “Về các tập N Levine -đóng nửa-suy rộng trong không gian tôpô”

Khoá luận tập trung nghiên cứu về các tập -đóng nửa-suy rộng, qua đó mở rộng những khái niệm thông th-ờng trong không gian tôpô cho lớp mới gồm các tập đó Với mục đích nh- thế khoá luận đ-ợc trình bầy theo bố cục sau

Tập -đóng nửa-suy rộng

Đ1 Các kiến thức chuẩn bị Phần này nhằm giới thiệu lại một cách có hệ

thống một số khái niệm và tính chất cơ bản của tôpô đại c-ơng làm cơ sở cho phần trình bày sau

Đ2 Tập -nửa mở Phần này giới thiệu một số kiến thức về tập -nửa mở, tập

-đóng nửa để làm cơ sở cho việc trình bày các kiến thức về tập tập -đóng nửa-suy rộng ở Đ2

Đ3 Tập -đóng nửa-suy rộng Phần này giới thiệu khái niệm và tính chất

của tập -đóng nửa-suy rộng (-sg-đóng), xét mối liên hệ giữa tập đóng và tập sg-đóng trong một số điều kiện nhất định Sau đó xét ảnh và nghịch ảnh của các tập

-đó qua các ánh xạ mới định nghĩa

Đ4 Tích các tập -đóng nửa-suy rộng Phần này xét các tập tập -sg-đóng trong không gian tích và sự mở rộng của không gian compact theo h-ớng trên

Nhân dịp này cho phép tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS Trần Văn Ân ng-ời thầy trực tiếp h-ớng dẫn tôi hoàn thành khoá luận này Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán Tr-ờng Đại Học Vinh đã quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, làm việc tại tr-ờng

Mặc dù rất cố gắng nh-ng do điều kiện thời gian và những hạn chế về năng lực nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận

đ-ợc những ý kiến đóng góp của quý thầy cô cùng các bạn

Vinh, tháng 04 năm 2008

Tác giả

các tập  - đóng nửa - suy rộng

Đ1 Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Định nghĩa Không gian tôpô là một cặp (X, ﺡ) trong đó X là một tập

hợp và là môt họ những tập con của X thoả mãn các điều kiện sau

i)  ﺡ, X  ﺡ;

ii) Nếu X1 ﺡ và X2  ﺡ thì X1  X2  ﺡ;

iii) Nếu XiiI là một họ những tập hợp con của X và Xi  ﺡ với mọi i  I thì

 Xi ﺡ;

Tập hợp X gọi là không gian, họ ﺡ gọi là một tôpô trên tập hợp X Mỗi phần

tử của ﺡ gọi là một tập mở trong không gian X, phần bù của một tập mở gọi là tập

đóng

1.2 Nhận xét Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau

(i) Tập hợp rỗng là toàn bộ không gian là các tập mở;

(ii) Giao của một số hữu han các tập mở là tập mở;

(iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở

1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô X và một điểm x  X Khi đó

(i) Tập U đ-ợc gọi là lân cận của điểm x nếu U chứa x

(ii) Họ B(x) những lân cận của điểm x gọi là một cơ sở taị điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại tập U  B(x) sao cho U  V

1.4 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô và tập A  X Giao của họ tất

cả các tập đóng chứa A gọi là bao đóng của tập hợp Avà ký hiệu là cl(A) hay A

1.5 Nhận xét Từ định nghĩa ta có các nhận xét sau

(i) cl(A) là tập đóng nhỏ nhất chứa A;

(ii) Tập A  X là đóng khi và chỉ khi cl(A) = A;

(iii) Nếu A, B là các tập con của X và A  X thì cl(A)  cl(B)

i  I

1.6 Đinh nghĩa Cho không gian tôpô (X, ﺡ) Tập con A đ-ợc gọi là tập đếm

1.7 Nhận xét Mỗi tập đóng là tập g-đóng

1.8 Định lý Giả sử X là không gian tôpô Khi đó với mỗi x  X hoặc x là

là X Vì thế bao đóng của c x đ-ợc chứa trong X Vậy c x là g-đóng

1.9 Định lý Hợp của hai tập g-đóng là tập g-đóng

Chứng minh Giả sử A, B là hai tập g-đóng trong X Với bất kỳ tập mở O

trong X mà A  B  O, ta cần chứng minh cl(A  B)  O Thật vậy, từ giả thiết do

A, B là g-đóng nên cl(A)  O, cl(B)  O suy ra cl(A)  cl(B)  O, mà

(c) cl(A) \ A không chứa tập con đóng khác rỗng nào

cl(x)  A =  Khi đó A  X \ cl(A) là tập đóng nên X \ cl(x) là tập mở Do

A là tập g-đóng nên cl(A)  X \ cl(x) Suy cl(x)  A =  Do đó cl(x) = 

Điều này mâu thuẫn với x  cl(A)

Vậy với mỗi x  cl(A), cl(x)  A 

(b)  (c) Giả sử với mỗi x  cl(A), cl(x)  A  Ta cần chứng minh cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng nào

Thật vậy, giả sử F  cl(A) \ A với F là tập đóng khác rỗng Khi đó tồn tại một

điểm x  F  cl(A) \ A Từ đó ta có cl(x)  F  cl(A) \ A Suy ra

 cl(x)  A  F  A  (cl(A) \ A)  A = 

Điều mâu thuẩn này chứng tỏ rằng cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng

nào cả

(c)  (a) Giả sử cl(A) \ A không chứa tập con đóng khác rỗng nào và O là

tập mở trong X sao cho A  O Khi đó cl(A)  (X \ O) là tập đóng và cl(A)  (X \ O)  cl(A)\A Nhờ (c) ta suy ra cl(A)  (X \ O) =  Do đó cl(A)  O

Vậy A là tập g-đóng 

1.11 Hệ quả Tập con A của không gian tôpô X là tập g-đóng nếu và chỉ nếu

A = F \ N trong đó F là tập đóng và N không chứa tập đóng khác rỗng nào

Chứng minh Giả sử A là tập g-đóng trong không gian tôpô X Khi đó theo

Định lý 1.10 (c) thì cl(A) \ A không chứa tập đóng khác rỗng nào Đặt F = cl(A),

N = cl(A) \ A Ta có A = F \ N, F là tập đóng và N không chứa tập đóng khác rỗng

nào cả

Ng-ợc lại, nếu A = F \ N trong đó F là tập đóng, N không chứa tập đóng khác

rỗng nào và O là tập mở trong X sao cho A  O Khi đó ta có

(F \ N)  (X \ O) =  Suy ra F  (X \ N)  (X \ O) =  Từ đó ta có

F  (X \ O)  N

Vì (X \ O)  F là tập đóng và N không chứa tập đóng khác rỗng nào nên ta

suy ra (X \ O)  F =  Vì thế cl(A)  F O

Vậy A là tập g-đóng

1.12 Định nghĩa Cho không gian tôpô (X, ﺡ) Ký hiệu D = A: A  X và A

1.13 Bổ đề Nếu E  X thì E  C*(E)  cl(E)

Chứng minh Vì mỗi tập đóng là tập g-đóng, nên C*(E)  cl(E) Hiển nhiên

ta có E  C*(E) Vì vậy E  C*(E)  cl(E)

1.14 Chú ý Cả hai bao hàm thức trong bổ đề tr-ớc có thể là thực sự Thật

vậy xét X =a, b, c Với tôpô ﺡ= , a, a, b, X thì C*(a) = a,c, vì chỉ

có hai tập g-đóng chứa nó là a, c và X Trong khi cl(a) = X có nghĩa là

a (A)  cl(a), tức là C*(a) là tập con thực sự của cl(a)

1.15 Định lý Giả sử X là không gian tôpô C* là toán tử bao đóng

Kuratowski trong X

(ii) Từ Bổ đề 1.13 ta suy ra nếu E  X thì E  C*(E)

(iii) Giả sử A D mà E  F  A Khi đó

và A1  A2 là tập g-đóng Điều này mâu thuẫn với x  C*(E  F)

Vậy C*(E)  C*(F) = C*(E  F)

(iv) Nếu E  A  D thì C*(E)  A và C*(C*(E))  A, nhờ định nghĩa C* ta

suy ra C*(C*(E))   A: E  A  D = C*(E) Vì hiển nhiên ta có C*(E)  C*(C*(E)) nên ta có C*(C*(E)) = C*(E)

Vậy C* là toán tử Kuratowski

1.16 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, ﺡ) đ-ợc gọi là tập nửa

Đ2 Tập -nửa mở 2.1 Định nghĩa Tập con A của không gian tôpô (X, ﺡ) đ-ợc gọi là -nửa

Tập tất cả cá tập -nửa mở đ-ợc ký hiệu là -SO(X)

2.2 Mệnh đề Một tập -nửa mở là tập -nửa mở

Chứnh minh Giả sử A là tập -nửa mở khi đó tồn tại tập mở O sao cho

O  A  C*(O)  cl(O) Suy ra A là tập nửa mở

1.3 Ví dụ Tập nửa mở nh-ng không phải là tập -nửa mở

Cho X = a, b, c, ﺡ = , X, a, a, b, b Ta thấy cla = a, c

Mặt khác a a, c cl(a) = a, c Suy ra a, c là nửa mở

Nh-ng a, c không phải là tập -nửa mở vì các tập g-đóng có chứa a là

a, b, a, c và X suy ra C*(a) = a Do

aa, c C*(a) = a Ta có điều phải chứng minh

2.4 Mệnh đề Giả sử (X, ﺡ) là một không gian tôpô và A, B  X Khi đó

Chứng minh (i) Giả sử A là tập mở bất kỳ trong X Khi đó ta luôn có

(iv) Giả sử Ai , iI là các tập -nửa mở Ta cần chứng minh rằng Ai là tập

- nửa mở Thật vậy, do Ai là tập - nửa mở, với mỗi iI, nên tồn tại tập mở Uisao cho Ui Ai  C*(Ui) Suy ra

 Ui Ai  C*(Ui)  C*(  Ui ) Vậy Ui là tập -nửa mở

(v) Cho X = a, b, c, ﺡ = , a, c, a, c, X Khi đó (X, ﺡ) là một không gian tôpô

Ta có hai tập g-đóng chứa a là a, b và X nên

C*(a) = a, b  X = a, b Suy ra

aa, b C*(a) = a, b Vậy a, b là tập -nửa mở

T-ơng tự, hai tập g-đóng chứa c là b, c và X nên

C*(c) = b, c  X = b, c Suy ra

cb, c C*(c) = b, c Vậy b, c là tập -nửa mở

Nh-ng a, b b, c = b không phải là tập -nửa mở

2.5 Định nghĩa Cho (X, ﺡ) là không gian tôpô Tập con A  X đ-ợc gọi là

Tập tất cả các tập -nửa đóng trong X đ-ợc ký hiệu là -SC(X)

Giao của tất cả các tập -nửa đóng chứa A đ-ợc gọi là  - nửa bao đóng của

2.6 Định lý Giả sử A là một tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) và x X

Chứng minh. Đặt F1 =  y X UA , với mọi tập -nửa mở U chứa y

Để chứng minh định lý ta chứng minh rằng F1 = -sclA

Điều kiện đủ Lấy bất kì x -sclA, nếu x F1 thì tồn tại tập -nửa mở V chứa x sao cho V A =  Vì X \ V là tập - nửa đóng chứa A, nên -sclA  X \ V

Do x X \ V nên x -sclA Điều này mâu thuẫn với cách lấy x Suy ra x F1 hay

-sclA  F1

Điều kiện cần Giả sử F là tập -nửa đóng bất kỳ trong X sao cho F X và

A  F Khi đó, (X \ F)  A =  Lấy bất kỳ x X mà x  F, khi đó X \ F là tập

-nửa mở chứa x Mà (X \ F)  A =  nên x F1 Do đó F1  F, với mọi F là tập

- đóng chứa A Suy ra F1  -sclA

Vậy F1 = -sclA

2.7 Mệnh đề Nếu tập con A của không gian tôpô (X, ﺡ) là -nửa đóng thì

là tập - nửa mở Theo Định nghĩa 2.1, tồn tại tập mở U trong X sao cho

U  X \ A  C*(U)  cl(U)

Do đó X \ C*(U)  A  X \ U Vì C*(U)  cl(U) suy ra

X\ cl(U) = int(X \ U)  X \ C*(U) nên int(X\ U)  X \ C*(U)  A  X \ U

Do đó ta có int(X \ U)  A  X \ U Đặt F = X \ U thì F là tập đóng Vậy intF  A F 

2.8 Mệnh đề Giả sử (X, ﺡ) là không gian tôpô Khi đó - sclA là tập - nửa

đóng bé nhất chứa A

Chứng minh. Từ Định nhĩa 2.5 ta chỉ cần chứng minh -sclA là tập -nửa

đóng Thật vậy ta có

-sclA = F, F là -nửa đóng chứa A nên

X \ -sclA = X \  F, F là -nửa đóng chứa A

= X \ F, F là -nửa đóng chứa A là tập -nửa mở Vì thế ta suy ra X \ -sclA là tập -nửa mở

Vậy -sclA là tập -nửa đóng

2.9 Mệnh đề Giả sử (X, ﺡ) là một không gian tôpô Khi đó

-nửa đóng bé nhất chứa A nên -sclA -sclB

(iv) Điều kiện cần Giả sử A là tập -nửa đóng Để chứng minh A = -sclA

ta chứng minh rằng A -sclA và -sclA  A

 A -sclA là hiển nhiên

 -sclA  A Vì A là tập -nửa đóng và chứa A , -sclA là tập -nửa đóng

bé nhất chứa A trong X nên -sclA  A

2.11 Mệnh đề Cho (X, ﺡ) là không gian tôpô và A, B  X Khi đó

Chứng minh Từ Định nghĩa 2.10 và Mệnh đề 2.4(iv) ta có (i )

(ii) Vì A  B, suy ra -sintA  B mặt khác -sintB là tập -nửa mở lớn nhất

đ-ợc chứa trong B nên ta có -sintA -sintB

(iii) Ta có -sclA =  {F, F là tập -nửa đóng chứa A}, suy ra

X \ - sclA = X \  F, F là tập -nửa đóng chứa A

= X \ F, F là tập -nửa đóng chứa A

Vì F là tập -nửa đóng chứa A nên X \ F là tập -nửa mở đ-ợc chứa trong

X \ A Vậy X \ F, F là tập -nửa đóng chứa A

Vậy X \ -sclA = -scl(X \ A)

2.12 Mệnh đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) Khi đó A là

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A là tập nửa mở trong không gian tôpô

(X, ﺡ) Ta có -sintA  -scl(-sintA) Vì -sintA = A nên

A -scl(-sintA)

Điều kiện đủ Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) và

A  - scl(-sintA) Vì -sintA là tập - nửa mở nên tồn tại tập mở U sao cho

U  - sintA  C*(U) Do C* là toán tử Kuratowski nên ta có

C*(-SintA)  C*(C*U)) = C*(U) suy ra

U -sintA  A  C*(-sintA)  C*(U)

Vậy A là tập - nửa mở

Đ3 Các tập  - đóng nửa suy rộng

3.1 Định nghĩa Tập A đ-ợc gọi là tập - đóng nửa suy rộng và đ-ợc viết là

mà A  U

Tập tất cả các tập - sg - đóng trong X ký hiệu là -SGC(X)

3.2 Mệnh đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) Khi đó

(i) Nếu A là tập - nửa đóng thì A là tập -sg- đóng Điều ng-ợc lại không

đúng

U -SO (X, ﺡ) mà A  U ta có -sclA = A  U Vậy A là tập -sg-đóng

Điều ng-ợc lại không đúng vì nếu lấy X = a, b, c, ﺡ = , a, a, b, X

Khi đó ta có C*(a,c) = X Suy ra a, c không là tập -nửa đóng Vì các tập

- nửa mở -SO (X, ﺡ) = , X, a,b Do đó các tập -nửa đóng

-SC (X, ﺡ) = , c, X

Do đó ta có tập

- SGC (X, ﺡ) = , c, a, c, b, c Vậy ta có a, c là tập -sg-đóng nh-ng không phải là tập -nửa đóng

(ii) Giả sử x không là tập - nửa đóng suy ra tập X \ x không là tập

- nửa mở Do đó chỉ có X là tập -nửa mở duy nhất chứa X \ x Vì vậy

- scl (X \ x)  X nên X \ {x} là tập -sg- đóng Vậy tập x là -nửa đóng

hoặc tập X \ x là tập -sg-đóng

3.3 Định nghĩa Giả sử (X, ﺡ) là không gian tôpô A  X, A đ-ợc gọi là tập

sao cho A  U ta có -sclA  U

Tập tất cả các tập -gs-đóng trong X đ-ợc kí hiệu là -GSC(X, ﺡ)

3.4 Mệnh đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) Khi đó nếu A

3.5 Định nghĩa Tập A của không gian tôpô (X, ﺡ) đ-ợc gọi là - mở nửa -

Tập tất cả các tập -sg-mở của X và đ-ợc ký hiệu là -SGO(X)

3.6 Bổ đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) Khi đó A là tập

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử A là tập -sg-đóng trong không gian

tôpô (X, ﺡ) Giả sử tồn tại x -sclA mà

-scl (x)  A =  Khi đó A  X \ - scl (x) Vì - scl(x) là tập - nửa đóng nên

X \ scl(x) là tập -nửa mở Lại vì A là tập -sg-đóng từ điều này suy ra

-sclA  X \ -scl(x)

Do đó ta có -sclA -scl(x) =  Vì thế x -sclA Điều này mâu thuẫn

Vậy -scl(x) A ≠  với mỗi x -sclA

Điều kiện đủ Giả sử U là tập -nửa mở bất kì chứa A Lấy bất kỳ x -sclA

từ giả thiết điều kiện đủ ta suy ra -scl(x) A ≠  Do đó tồn tại z -scl(x)

và z  A Vì A  U nên U là tập -nửa mở chứa z Nhờ Định lý 2.6 ta có

U x ≠  Suy ra xU Do đó -sclA  U

Vậy A là tập -sg-đóng

3.7 Định lý Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) Khi đó nếu A là

Chứng minh Giả sử A là tập con -sg-đóng của X Khi đó với mỗi

x -sclA nhờ Bổ đề 3.6 ta có -scl(x)  A  Giả sử tồn tại tập -nửa đóng F

sao cho F   và F  -scl(A) \ A Lấy x F, suy ra x - sclA vì F là tập -nửa

3.8 Mệnh đề Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) khi đó A là

cho F A Vì A là tập -sg-mở và F -SC(X, ﺡ), suy ra X \ A là tập -sg-đóng

và X \ F là tập -nửa mở và X \ A  X \ F Từ Định nghĩa 3.1 ta có -scl(X \ A)  X \ F

Từ X \ -sclA = -sint(X \ A) kéo theo F  X \ -scl(X \ A) = -sintA

Điều kiện đủ Để chứng minh A là tập -sg-mở ta sẽ chứng minh X \ A là tập

-sg-đóng Giả sử U là tập - nửa mở bất kỳ trong (X, ﺡ) sao cho X \ A  U Khi

đó X \ A là tập -nửa đóng và X \ U  A Nhờ giả thiết điều kiện đủ ta có

X \ U  -sintA Suy ra

X \ -sint A = -scl(X \ A)  U

Do đó X \ A là tập -sg-đóng Suy ra A là tập -sg-mở Điều phải chứng

minh

3.9 Hệ quả Giả sử A là một tập con của không gian tôpô (X, ﺡ) Khi đó A là