Sự ổn định cơ sở của không gian hilbert tuỳ ý

sự ổn định cơ sở của không gian hilbert tuỳ ý ...... lời nói đầu Sự ổn định cơ sở Schauder của không gian Banach đặc biệt là không gian Hilbert khả li đ-ợc N.K.Bary đ-a ra và nghiên cứu

trờng đại học vinh

khoa toán - -

sự ổn định cơ sở của không gian hilbert tuỳ ý

khoá luận tốt nghiệp đại học

ngành s- phạm toán

Ngời hớng dẫn khoa học: th.s kiều phơng chi

Sinh viên thực hiện: nguyễn thị linh

Lớp: 45 a toán

vinh-2008

mục lục

Trang

lời nói đầu 3

Ch-ơng I các kiến thức chuẩn bị 4

i các họ số khả tổng 4

ii Không gian định chuẩn, không gian Banach 8

iii Không gian Hilbert 10

iv Tôpô yếu 16

v Toán tử tuyến tính liên tục 18

ch-ơng ii sự ổn định cơ sở của không gian hilbert tuỳ ý 21

kết luận 31

tài liệu tham khảo 32

lời nói đầu

Sự ổn định cơ sở Schauder của không gian Banach đặc biệt là không gian Hilbert khả li đ-ợc N.K.Bary đ-a ra và nghiên cứu từ những năm 1943 Bài toán

Bài toán này đã đ-ợc rất nhiều nhà toán học quan tâm giải quyết Điều kiện

"gần" đ-ợc nghiên cứu theo nhiều h-ớng khác nhau Retherford (1969,1972) đã

thu đ-ợc nhiều kết quả tốt trên bài toán này cho cơ sở Schauder của không gian Banach và không gian Hilbert Gần đây Kasimov tiếp tục giải quyết bài toán này cho lớp không gian Hilbert khả li Khoá luận này tập trung nghiên cứu theo h-ớng của bài toán này cho lớp không gian Hilbert tuỳ ý Kết quả đã đ-a ra một số điều

minh dựa vào khái niệm họ khả tổng và một số ý t-ởng dựa trên kết quả nghiên cứu của Retherford và Kasimov

Với mục đích đó khoá luận đ-ợc viết thành hai ch-ơng Ch-ơng I trình bày các kiến thức cần cho việc chứng minh ở ch-ơng sau Trong ch-ơng này đã trình bày lại các khái niệm và tính chất trong không gian Banach, Hilbert; họ số khả tổng, họ khả tổng trong không gian định chuẩn; tôpô yếu và lý thuyết toán tử Ch-ơng II trình bày các kết quả chính của khoá luận Khoá luận đã đ-a ra một số

cơ sở của không gian này

gian bận nghiên cứu sinh nh-ng vẫn tận tình giúp đỡ, h-ớng dẫn, giảng dạy em trong quá trình làm khoá luận Xin đ-ợc cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa toán, bạn bè và ng-ời thân đã tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành khoá luận này

Vinh, tháng 5 - 2008

Sinh viên:Nguyễn Thị Linh

Ch-ơng I

các kiến thức chuẩn bị

I các họ số khả tổng

1- L-ới trong không gian tôpô

1.1 Định nghĩa tập định h-ớng Tập D đ-ợc gọi là định h-ớng nếu trên đó đã

xác định một quan hệ " > " thoả mãn tính chất:

Khi đó tập D đ-ợc gọi là định h-ớng bởi quan hệ " > " và ký hiệu là ( D, > ) hoặc viết tắt là D

Khi đó F( )I với quan hệ bao hàm là một tập định h-ớng

1.3 Định nghĩa l-ới Giả sử D là một tập định h-ớng bởi quan hệ " > " Khi đó

hàm S xác định trên D đ-ợc gọi là một l-ới hay dãy suy rộng (sau này ta nói gọn là

dãy)

Ký hiệu là (S, D, >) hoặc vắn tắt là S

Nếu miền giá trị của l-ới là không gian tôpô X thì S đ-ợc gọi là l-ới trong

không gian tô pô X

1.4 Định nghĩa l-ới hội tụ Giả sử D là một tập định h-ớng bởi quan hệ " >",

gian tôpô đến điểm s đối với tôpô  nếu với mọi lân cận U của s đều tồn tại n o  D

lim S n = s, hay S n  s

2- Các họ số khả tổng

1.5 Định nghĩa họ các số khả tổng K là tr-ờng số thực hoặc số phức Cho I là

S J = 

J i i

thoả mãn giả thiết của bổ đề Do vậy

Chøng minh §iÒu kiÖn cÇn NÕu [x i ,iI ] kh¶ tæng vµ cã tæng lµ s th× tån t¹i

1.10 Định nghĩa họ số bị chặn Giả sử [x i ,iI ] là họ các số Ta nói [x i ,iI ] bị

m(I) = { [x i ,iI ] : [x i ,iI ] bị chặn}

là không gian các họ số bị chặn

Trên m(I) ta trang bị các phép toán sau:

Khi đó dễ dàng kiểm tra đ-ợc các phép toán là hoàn toàn xác định và với hai phép

toán này m(I) là một không gian tuyến tính

1.11 Định nghĩa họ các số hội tụ tới 0 Giả sử [ x i ,iI ] là họ các số Ta nói

[x i ,iI ] hội tụ tới 0 nếu với mọi  > 0, tồn tại J o F( )I sao cho x i < ,  i  I

\ J o

Ký hiệu

C o (I) =  [x i ,iI ] : [x i ,iI ] hội tụ tới 0 

là không gian các họ số hội tụ tới 0

1- §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n

1.13 §Þnh nghÜa.[1] Cho E lµ mét K - kh«ng gian Mét chuÈn trªn E lµ mét

1.14 VÝ dô 1) m(I) lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn

1.15 Định nghĩa Giả sử  x n là một dãy trong không gian định chuẩnE Khi đó

 1

n n

dãy các tổng riêng của nó hội tụ

1.16 Định nghĩa Chuỗi 

 1

n n

tuyệt đối nếu chuỗi số d-ơng 

 1

n n

1.17 Định lý Nếu E là không gian Banach và 

 1

n n

x là một chuỗi hội tụ tuyệt đối

trong E thì chuỗi 

 1

n n

x hội tụ và

1

n n x

x

1.18.Định lý Không gian định chuẩn E là không gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong E là hội tụ

2 – ánh xạ tuyến tính liên tục

1.19 Định nghĩa Cho E và F là hai không gian định chuẩn Một ánh xạ

có

f x y = f x  f y

 a

1.20 Định lý.[1] Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn

E vào không gian định chuẩn F Khi đó các mệnh đề sau t-ơng đ-ơng

i f liên tục đều;

ii f liên tục;

iii f liên tục tại 0 E ;

iv f bị chặn tức là tồn tại số k > 0 sao cho f x k x, xE.

1.21 Mệnh đề [1] Giả sử E và F là hai không gian định chuẩn Khi đó,

đặt

L( E, F ):={ f E: F f tuyến tính liên tục }

là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức

  : }

Khi F Kthì L( E, K ) gọi là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục từ E vào

*

E

3 - họ khả tổng trong không gian định chuẩn

1.22 Định nghĩa Cho E là không gian định chuẩn, [x i ,iI ] là một họ trong E

J i i

x , J  F (I) } hội tụ và lim s J =s thì ta nói họ [x i ,iI ] khả tổng và s đ-ợc gọi là tổng của nó Ký hiệu

s = 

I i i

x

1.23 Định nghĩa họ khả tổng tuyệt đối Họ [x i ,iI ] trong không gian định

1.24 Nhận xét Nếu E là không gian Banach thì dễ dàng chứng minh đ-ợc mọi

họ khả tổng tuyệt đối đều khả tổng Ng-ợc lại, nếu mọi họ khả tổng tuyệt đối trong

III không gian Hilbert

Dạng Hermite  trên E đ-ợc gọi là d-ơng nếu  ( , )x x  0, xE.

1.26 Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz

Nếu  là một dạng Hermite d-ơng trên E thì

) , ( ).

, ( ) ,

1.27 Định nghĩa Một dạng Hermite  đ-ợc gọi là xác định d-ơng nếu

) , (x x

Một dạng Hermite xác định d-ơng còn đ-ợc gọi là một tích vô h-ớng

2 / 1



gọi là chuẩn sinh bởi tích vô h-ớng

Một không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô h-ớng

Một không gian tiền Hilbert đầy đủ với chuẩn sinh bởi tích vô h-ớng đ-ợc

gọi là không gian Hilbert

1.28 Ví dụ Cho I là tập chỉ số tuỳ ý Xét

I i i

i y i

x( ) ( ) (2) với mọi x x i iI,y  y i iI  l 2(I)





I i

i y i





I i

i y i





I i

i y i

x i

y i

Mặt khác, x x i iI,y y i iI l 2(I) nên  ( )2

I i i

x và  ( )2

I i i





I i

i y i

hoàn toàn xác định



1 2

) ) (

I i i

i x

I i

k j

) ) ( ) (

1 2

j k k i

x i

I i

k j

) ( )

Nh- vậy, với mỗi i ta có

, ,

) ( )

i

k

k k i

x i





, )

( )

1

1.29 Định lý.[1] Giả sử E là không gian Hilbert Khi đó

i Mọi aE t-ơng ứng x  x a xác định dạng tuyến tính liên tục trên

E với chuẩn là a

ii Ng-ợc lại nếu f là dạng tuyến tính liên tục trên E thì tồn tại duy nhất

E

a để f (x)  x a ,xE.

3 - Cơ sở của không gian Hilbert

1.30 Định nghĩa Cho Hlà không gian Hilbert

e i j  0 ,   và e i  1 , iI.

i e e x

i

i e e x

i e x

i i

i I e

i

i e e x

sinh ra các tập nói trên, tức là tôpô bao gồm tất cả các tập hợp tuỳ ý của các giao

hữu hạn f f1, 2, ,f nE và   0 sao cho U(f1, f2, ,f n,x,  ) W, ở đây

i i

n x U f x f

f f

1 2

1 , , , , , ) ( , , ) (

1.37 Mệnh đề Mọi dãy hội tụ yếu trong E là bị chặn

1.38 Nhận xét Nếu E là không gian Hilbert thì từ định lý Riesz và Định lý 1.36

2- Tính phản xạ

1.39 Định nghĩa Cho E là không gian định chuẩn và *

1.41 Định nghĩa Không gian định chuẩn E đ-ợc gọi là phản xạ nếu **

1.43 Định nghĩa.[2] 1) Giả sử E là không gian định chuẩn và AL E( )là toán tử

1.44 Định lý [2] Giả sử E là không gian Banach, AL E( ) và số  thoả mãn

Khi đó  thuộc tập giải của A và

1

1 0

n

n n

n

n n

1.46 Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian định chuẩn ánh xạ (toán tử)

1.47 Định lý [1] Giả sử A L E( )là toán tử compact,    ( )A và  0 Khi đó

là giá trị riêng của A

Nhận xét Từ định lý suy ra nếu Hlà không gian Hilbert vàAL H( ),A compact và

1.48 Định lý.[1] Giả sử A E: F là toán tử giữa hai không gian Banach E và F Khi đó

1 Nếu A compact thì A chuyển mọi dãy hội tụ yếu trong E thành dãy hội tụ trong F

2 Nếu E phản xạ và A chuyển mọi dãy hội tụ yếu trong E thành dãy hội tụ trong F thì A là compact

Nhận xét Vì không gian Hilbert là phản xạ nên f  L( E ) chuyển mọi dãy hội tụ

3 - Toán tử liên hợp

g x  f Ax

1.49 Định nghĩa Cho X Y, là các không gian định chuẩn và A X: Y là toán tử

:

* (A f)( )x  f Ax( ) : g x( ),  x X

đ-ợc gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

1.52 Hệ quả Cho H là không gian Hilbert và AL H( ) là toán tử compact Khi

đó toán tử liên hợp *

Ch-ơng 2

sự ổn định cơ sở của không gian Hilbert tuỳ ý

không gian Hilbert tuỳ ý là ổn định Các kết quả lấy ý t-ởng từ tr-ờng hợp không gian Hilbert khả li, đã đ-ợc nghiên cứu trong [4] và [5] Trong ch-ơng này nếu

Chúng ta bắt đầu với một số định lý về sự ổn định

2.1 Định lý Cho e i iI là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H và  y i iI

là một họ trong không gian H thoả mãn

i I

i

i

i y e e

y x y

i i i i

i

i y e y e y e e



I i

i

i y e e

i

i y e e

i

i y e e

i

i y e e

Lại có

2 2

i i

i y e e

x x

j I

i

i i

i y e e e

i y e e e

j

j y e x

Kết hợp giả thiết của định lý ta có

j

j y e

i    





), (

i i

i e y e

y

I i

i x e y e

i i

i i i

i i

Vậy T xác định bởi công thức (  ) là toán tử liên hợp của T

S (1H -T)(e i) 1H(e i)-T (e i) iI

I j

j i

2.2.Định lý Cho e i iI là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H và  y i iI

là một họ trong không gian H thoả mãn

i

i y e

x    1, với mọi x mà x  1 Khi đó  y i iI là một cơ sở của H

Chứng minh Ta xét toán tử T: H H đ-ợc xác định bởi công thức

,

)

I i

Chứng minh nh- trong định lý 2.1 ta có T là ánh xạ tuyến tính

Mặt khác, theo giả thiết ta có

i i

i y e e

x x

j I

i

i i

i y e e e

i y e e e

j j I

j

y e x

i    





), (

)

2.3.Nhận xét Từ hai định lý trên cho thấy giả thiết của định lý 2.1 kéo theo giả

i

i y e x

i e

i e

l 2(I) là không gian có số chiều quá đếm đ-ợc nên

Định lý sau cho một kết quả ổn định tốt hơn Định lý 2.2

2.5 Định lý Cho e i iI là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H và  y i iI

là một họ cđộc lập tuyến tính trong không gian H Nếu với mỗi họ  g j jI hội tụ yếu tới 0 ta có họ

I j I

i

i i

j e y g

hội tụ tới 0 thì  y i iI là cơ sở của H

Chứng minh Cũng nh- trong định lý 2.1 ta xét toán tử

H H

đ-ợc xác định bởi công thức

H x e y e x x

I i

i

i y e

i i

x n

n I

i

i i

i i

i i n

y e n

I i

y e x

i i

n e y x

i i

j j I

j

y e x

j

j y e x

x

Từ đó, ta có

x k x

I j I

i

i i

j g e y g

2

) (

) ( )

i i j j

j T g T g g g g e y g

T

i i

j g e y

Hay T(g j) T(g)



T :H H

I i

i    





), (

)



T  x x

i I

i

i e e x

i e y e

i e e x





I i

i e e x



i y e x





I i

i e e x





I i

i y e x

Ta nhận đ-ợc hệ quả sau

2.6 Hệ quả Cho e i iI là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H Giả sử

 y i iI là một họ cđộc lập tuyến tính của H thoả mãn





I i

i

i y

Khi đó y i iI là cơ sở của H

Chứng minh Giả sử  g j jI hội tụ yếu tới 0 suy ra  g j jI là họ các số bị chặn, vì

I j M

\J0e y 2M I

i

i i

i i

j e y



 0

2

J i

i i

j e y



 0

\

2

J I i

i i

j e y g

\ 0 0

0

j e y g

2

M

Suy ra họ

I i

i i

2.7 Hệ quả Cho e i iI là một cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H Giả sử

 y i iI là một họ cđộc lập tuyến tính của H thoả mãn

Do đó theo hệ quả 2.6 ta nhận đ-ợc điều cần chứng minh

Ta xét ví dụ sau cho thấy hệ quả 2.6 chỉ là một tr-ờng hợp riêng thực sự của

) 1

i i

i e

I i i

2

Nh- vậy, họ  y i iI không thoả mãn giả thiết của hệ quả 2.6 nh-ng  y i iI

thoả mãn giả thiết của định lý 2.5

sao cho

M e

g g

I i

i j



2 2

,jI.

M i

\

2

I I i

i i

j e y g

\

2 2

I i

i j

2

i i

i

I y

e

Đặt

:

0

I i i I J

2

I i

i i

i i

j e y



 0

2

I i

i i

j e y



 0

\

2

I i

i i

j e y g

Bài toán nghiên cứu sự ổn định các cơ sở của không gian Banach và không gian Hilbert là bài toán đã có lịch sử lâu dài và có nhiều kết quả tổng quan cho không gian Banach và Hilbert khả li đ-ợc trình bày trong [7] Khoá luận mới chỉ

đạt đ-ợc một số kết quả cho tr-ờng hợp không gian Hilbert tổng quát Việc mở rộng một số kết quả trong không gian Hilbert khả li lên không gian Hilbert không khả li là rất khó khăn bởi vì các kỹ thuật chứng minh đặc biệt nh- quy nạp theo số

tự nhiên và các tính chất về tổng không thể áp dụng trong tr-ờng hợp cơ sở là quá

đếm đ-ợc Sau khoá luận, em hy vọng sẽ có thêm điều kiện để quan tâm nghiên cứu nhiều hơn tới mảng vấn đề này

Mặc dù có nhiều cố gắng nh-ng không tránh khỏi những sai sót, mong sự góp ý của thầy cô và các bạn

tµi liÖu tham kh¶o

[1] NguyÔn V¨n Khuª- Lª MËu H¶i, C¬ së lý thuyÕt hµm vµ gi¶i tÝch hµm, tËp II, NXB Gi¸o dôc, 2001

[2] §ç V¨n L-u, Gi¶i tÝch hµm, NXB Khoa häc vµ kü thuËt Hµ Néi, 1999

[3] Kieu Phuong Chi, Dinh Van Nhan and Nguyen Thi Linh, On the stability of

basse in arbitrary Hilbert spaces, Submited in VNU.Science Journal

[4] J.J Retherford and J.R.Holub, The stability of bases in Hilbert spaces, Jour Ang Math, 135-146 , 1971

[5] Sh.G Kasimov, On the stability of bases in Banach and Hilbert spaces, Uzbek