Các bài toán về tiếp tuyến và tương giao THPT DTNT vĩnh phúc file word có lời giải chi tiết

Khảo sát hàm số là một phần quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học hàng năm, nay hợp nhất thành kì thi THPT quốc gia, bài toán về tiếp tuyến và tương giao là các chủ

Trang 1

1 https://www.facebook.com/Adoba.com.vn/ – FanPage chuyên đề thi – tài liệu

FANPAGE: ADOBA – TÀI LIỆU LUYỆN THI SỐ 1 VIỆT NAM | SĐT: 0986772288

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

Họ và tên: Đặng Thị Kim Chung

Chức vụ: Tổ trưởng tổ Toán-Lý -Tin

Đơn vị: Trường THPT DTNT tỉnh Vĩnh Phúc Đăng kí http://thichhocchui.xyz/ tại Zalo 0383572270 Thích Học Chui

Trang 2

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khảo sát hàm số là một phần quan trọng trong các đề thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học

hàng năm, nay hợp nhất thành kì thi THPT quốc gia, bài toán về tiếp tuyến và tương giao là các

chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số cơ bản khá điển hình

Trong quá trình dạy học ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học hay bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều

năm tại trường, tôi nhận thấy học sinh trường tôi còn gặp nhiều khó khăn khi giải quyết các bài

toán về tiếp tuyến và tương giao Học sinh chỉ giải quyết được các bài tập cơ bản Các bài tập ở

mức độ vận dụng hoặc nâng cao đều không định hướng được phương pháp giải Do đó cần đưa ra

cho học sinh phương pháp chung và các ví dụ cụ thể minh họa để học sinh có thể vận dụng một

cách linh hoạt và thông minh Vì vậy, tôi viết chuyên đề: " Các bài toán về tiếp tuyến và tương

giao" để hệ thống cho các em các dạng toán cơ bản và phương pháp của các bài toán này

2 Mục đích của đề tài

Chuyên đề giúp cho học sinh có cái nhìn tổng quan hơn, nắm được các dạng bài toán và

phương pháp giải về tiếp tuyến và tương giao đồng thời rèn luyện được các kỹ năng cho học sinh

giải các dạng toán này một cách tốt hơn

Mặt khác, chuyên đề cũng là tài liệu để các thầy cô giáo có thể tham khảo và áp dụng cho

đối tượng học sinh lớp 12

3 Đối tượng nghiên cứu:

Nghiên cứu về các bài toán về tiếp tuyến và tương giao với các phương pháp giải bài tập vận

dụng để giúp học sinh có thể học tốt hơn và hình thành những kiến thức, kĩ năng mới, vận dụng

một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán cũng như trong cuộc sống

Trong khuôn khổ thời gian có hạn, tôi chỉ áp dụng đối với học sinh lớp 12a1 trường THPT DTNT

Vĩnh Phúc trong năm học 2016-2017

4 Thời gian triển khai chuyên đề:

- Thực hiện dạy chuyên đề cho học sinh trong thời gian 10 tiết

Trang 3

B PHẦN NỘI DUNG

1 Chủ đề 1: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( ,x y0 0)( ) :C y= f x( )

1.1.1 Cách giải: * Tính y' = f x'( ) ; tính k = f x'( )0 (hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) tại điểm M x y( 0; 0)có phương trình

b) Tại điểm có hoành độ x = 2

c) Tại điểm có tung độ y =5

Ta có y’(0) = -3

Trang 4

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y− = −5 3(x− hay y = -3x +5 0)

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm (− 3;5)

2

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y− =5 6(x+ 3) hay y=6x+6 3+ 5

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại (− 3;5) là: y=6x−6 3+ 5

y=x − x + x− a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0

Giải:

Ta có y'=3x2−4x+ Gọi 2 M x y là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: ( 0; 0)

x3−2x2+2x− =  = ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình 4 0 x 2

tiếp tuyến: y=6(x− 2)

b) Khi M =( )C Oy thì x0 = 0y0 = y(0)= − và 4 y x'( )0 = y'(0)= , thay các giá trị đã 2

biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y=2x− 4

+

=

− tại các giao điểm của (C) với đường thẳng (d): y=3x− 2

+ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

Trang 5

+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y= − +3x 10

Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y= − − và 3x 2 y= − +3x 10

* Nhận xét:

- Trong ví dụ 1: Phần a) là dạng toán cơ bản cho trước tiếp điểm, còn phần b) và c) cho một

trong các yếu tố của tiếp điểm (hoành độ hoặc tiếp điểm) và cần tìm thêm các yếu tố còn lại

- Trong ví dụ 2, 3: Mức độ cao hơn, tiếp điểm được ẩn qua các giả thiết khác (giao điểm, hay

là nghiệm của PT) và chúng ta phải tìm các yếu tố của tiếp điểm

0 0 0

y= x − x + x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại

Trang 6

điểm có hoành độ x thỏa mãn 0 y x''( )0 = và chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc 0

Khi đó tiếp tuyến tại M có hệ số góc k =0 y x'( )0 = y'(2)= − 1

Vậy tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm 2;2

dẫn học sinh viết PTTT dạng tổng quát để đạt được mục đích của bài toán

Trang 7

y= x − x + ta có x = − thì 0 1 y = − 0 2Phương trình tiếp tuyến có dạng '

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

+ Gọi M x y là tiếp điểm, giải phương trình ( ,0 0) f x'( )0 =  = , k x x0 y0 = f x( )0

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị: y=k x( −x0)+ y0

Lưu ý: Các dạng biểu diễn hệ số góc k:

Trang 8

*) Cho trực tiếp:

7

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a

*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ka 1 k 1

y= x − x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ số góc

của tiếp tuyến k = -3

Giải:

Ta có: y'=3x2−6x

Gọi M x y là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc ( ;0 0) k = f x'( )0 =3x02−6x0

Theo giả thiết, hệ số góc của tiếp tuyến k = - 3 nên: 3x02−6x0 = − 3 x02−2x0+ = 1 0 x0 = 1

Vì x0 = 1 y0 = − 2 M(1; 2)−

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y= −3(x− −  = − + 1) 2 y 3x 1

song song với đường thẳng y = 9x + 6

Giải:

Ta có: y'=3x2−6x

Gọi M x y là tiếp điểm  Tiếp tuyến tại M có hệ số góc ( ;0 0) k = f x'( )0 =3x02−6x0

Theo giả thiết, tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x + +6  tiếp tuyến có hệ số góc k

Trang 9

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y=9(x+ −  =1) 3 y 9x+ (loại) 6

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y=9(x− +  =3) 1 y 9x−26

y=x − x+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến

đó vuông góc với đường thẳng 1

y= x + x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x+5y−2010= 0

Trang 10

Vậy tiếp điểm M có tọa độ là 1;9

+

=+ (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc bằng 450

Vì tiếp tuyến tạo với Ox một góc 450 nên hệ số góc là: k =  1

Khi đó gọi M x y là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có ( 0; 0) y x'( )0 =  1

0 2

0 0

21

1

x x x

Với x = − thì 0 2 y = − lúc đó tiếp tuyến có dạng 0 4 y= − − x 2

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y= − và x y= − − x 2

1

x x

−

− có đồ thị (C)

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại

các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

Giải

Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ;0 0)( )C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho OA=4OB

tan

4

OB A OA

= =  Hệ số góc của d bằng 1

4 hoặc

14

−

Trang 11

1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm

+ Tiếp tuyến qua ( ; )A  nên − f x( )0 = f x'( )(0 −x0) (*)

+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

1.3.2 Các ví dụ:

y=x − x+ , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(-2; -1)

Trang 12

1.4 Dạng 4 Các dạng bài tập khác về tiếp tuyến

y=x − x+ sao cho tiếp

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

Giải:

Ta có: y'=3x2− nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là: 3

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4)− v

1

x y x

−

=+ sao cho tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10

Trang 13

    là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với điều kiện: ab a,  −1,b − 1

đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E

vuông góc với nhau

Trang 14

* (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0, 1), D, E phân biệt:

m m

−

=+ , biết rằng khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Trang 15

+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4x−4y+28=  − + = 0 x y 7 0

Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x− − =y 1 0 ;x− − = y 7 0

x y x

+

=+ Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB

vuông cân tại gốc tọa độ O

0 2

x = − không là nghiệm phương trình)

  Vậy có hai tiếp điểm là: M1(0;1) ,M −2( 1;0)

+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d

+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y= − +x 1 ; y= − − x 1

1

x y x

+

=

− a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Cho điểm M x y thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của (C) tại M o( ;o o) 0 cắt các tiệm cận của (C)

Trang 16

tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của đoạn thẳng AB

+

=

− (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam

giác có diện tích không đổi

+

 , (2B a −1;1) 6

Trang 17

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại

A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại

tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

2

0 0

1

22

x

x x

-

-Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: 0 ( )

0 0

−

− suy ra M là trung điểm của AB

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

11

3

x x

−

=+ Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I −( 1; 2)tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất

Trang 18

Khoảng cách từ ( 1; 2)I − tới tiếp tuyến là

2 0

0

0 2 0

+

=+ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(−4; −2)

Giải

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x  − ) 0 1

0 2

Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả năng: Tiếp

tuyến song song (trùng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB

M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

4

Giải:

Trang 19

( 1)

y x

=+Tiếp tuyến tại M có dạng:

( ,0)

00

Trang 20

−

=+ (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Oy và tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3

6

y= − −x x + Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến

đó vuông góc với đường thẳng d: 1 1

+

=+ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 3)

Bài 7 Cho hàm số: y = 2

2

x x

−

=

− có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C)

b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại

A, B sao cho AB ngắn nhất

Bài 10 Cho hàm số: 1

1

x y x

c) Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó tạo với hai đường tiệm

cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

Trang 21

Bài 11 Cho hàm số 3

y=x + −m x+ ( )C m Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại giao điểm của

nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8

Bài 12 Cho hàm số: 1

2( 1)

x y x

−

=+a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một

tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0

2 Chủ đề 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

2.1 Kiến thức cơ bản

2.1.1 Bài toán tương giao tổng quát:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là

nghiệm của phương trình : f(x, m) = g(x,m) (1)

* Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C)

2.1.2 Bài toán cơ bản:

Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b (1)

+ Nếu (1) dẫn đến một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	907,24 KB