11 chủ đề về hàm số (lý thuyết + ví dụ có lời giải) thầy hùng file word

LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.. Nhận xét: Từ địn

PRO S

TOÁN HỌC

Tập 2: Hàm số & Mũ – Logarit

✓ Nội dung bám sát cấu trúc đề thi THPT

✓ Phân loại kiến trúc từ nhận biết tới vận dụng cao

✓ 20 video bài giảng online kèm theo sách miễn phí

✓ 30 đề thi online kèm theo sách

✓ 100% bài tập có lời giải tiết

CHƯƠNG 1: HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 1) 3

CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (Phần 1-2-3) 51

CHỦ ĐỀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ 103

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 136

CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3 176

CHỦ ĐỀ 6: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 197

CHỦ ĐỀ 7: NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC 1 214

CHỦ ĐỀ 8: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA 231

CHỦ ĐỀ 9: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG 249

CHỦ ĐỀ 10: TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC 261

CHỦ ĐỀ 11: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SÔ 278

Chương I HÀM SỐ

Chủ Đề 1: TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 1)

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA

HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

c) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải, nếu hàm số nghịch biến trên

K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số ( ) 2

Vậy A= +  (vì x1 x2 0 x x  −1, 2 ( ;0)) Vậy hàm số y= f x( ) nghịch biến trên (−; 0)

Vậy A= +  (vì x1 x2 0 x x 1, 2 (0;+ ) Vậy hàm số ) y= f x( ) nghịch biến trên (0; + )

ĐỊNH LÝ: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K

a) Nếu f x  với mọi ( ) 0 x thuộc K thì hàm số f x đồng biến trên K ( )

b) Nếu f '( )x  với mọi 0 x thuộc K thì hàm số f x nghịch trên K ( )

Tóm lại xét trên K : f '( )x  0 f x( ) đồng biến; f '( )x  0 f x( ) nghịch biến

Chú ý: Nếu f '( ) (x =  0 x K) thì y= f x( ) là hàm số không đổi trên K

0

0 0

Bước 3: Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y=2x4+ 1

y +

1

+

Vậy hàm số y=2x4+ nghịch biến trên khoảng 1 (−; 0), đồng biến trên khoảng (0; + )

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y=2sinx+1 trên khoảng (0; 2)

Lời giải:

32

Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên K Nếu f '( )x 0(f '( )x 0 ,)   và x K f '( )x = 0

chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến ) trên K

Ví dụ 3: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y= +x3 3x2+3x− trên 4

Chú ý: Các em có thể lập bảng biến thiên để xét dấu y’

Bước 1: Tìm tất cả các nghiệm của g x và sắp xếp theo thứ tự tăng dần và điền vào trục số ( )

Bước 2: Cho x → + để xác định dấu của g x khi ( ) x → +

Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại

Ghi nhớ: Qua nghiệm bội lẻ thì g x đổi dấu còn qua nghiệm bội chẵn thì ( ) g x không đổi ( )

dấu ( chẵn giữ nguyên, lẻ đổi dấu)

Ví dụ 4: Xét dấu của biểu thức ( ) ( ) (2 ) (3 ) ( )4

f x = x− x− x− x−

Bước 1: Ta thấy nghiệm của biểu thức trên là 1;2;4;5 sắp xép theo thứ tự tăng dần trên trục số

Bước 2: Khi x → + ta thấy f x  ( ) 0

Bước 3: Xác định dấu của các khoảng còn lại Do( )4

5

4

Ta được bảng xét dấu f x như sau: ( )

số đã cho nghịch biến trên khoảng (2;4)

A. Nghịch biến trên khoảng (−; 2)

B. Đồng biến trên khoảng (−; 2) và nghịch biến trên(2; + )

C. Đồng biến trên khoảng (2; + )

D. Nghịch biến trên \ 2  

Lời giải:

Ngoài phương pháp sừ dụng bàng biến thiên hoặc xét dấu cho y ', các bạn có thê sử dụng CASIO

cho ví dụ trên bằng cách như sau:

Sử dụng máy tính Casio kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến

Bước 2: Thay các giá trị trong khoảng cân chọn vào ( Ấn CALC nhập X = 3)

CALC 3= ta được kết quả 1( ( ) )

Dựa vào kết quả trên suy ra B là đáp án đúng

Chú ý: Không viết hàm số nghịch biến trên \ 2  Trong chương trình toán THPT chúng ta chỉ

học khái niệm hàm số đồng biến trên một khoảng, một đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn

II VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( ) có f x'( )  0( x ) và f x ='( ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

Khẳng định nào sau đây là đúng

Hàm số f x( ) có f x'( )  0( x ) và f '( )x = chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 0 nên hàm

số đã cho nghịch biến trên suy ra với mọi x x 1; 2 và x1  ta có: x2

Như vậy dễ thấy hàm số đồng biến trên các khoảng (− − và ; 1) (2; + )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 2 )

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−2; 0)

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( )0; 2 và nghịch biến trên khoảng ( )2; 4

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2 và đồng biến trên các khoảng ( )2; 4

Lời giải:

TXĐ: D = 0; 4 Ta có

2

4 2'

2 4

x y

x x

−

=

−

Do y'   0 0 x 2 nên hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2

Do y'   0 2 x 4 nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( )2; 4

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho hàm số y= −x3 6x2+12x+ Khẳng định nào dưới đây là đúng? 1

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−; 2) và nghịch biến trên khoảng (2; + )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 2) và đồng biến trên các khoảng (2; + )

Lời giải

Ta có: 2 ( )2

Ví dụ 6: Cho hàm số y= − 2x− Khẳng định nào sau đây là sai: 1

A. Hàm số nghịch biến trong khoảng (−1;1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + )

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên (−; 0)

D. Hàm số nghịch biến trong khoảng (0; + )

Ví dụ 8: Hàm số y=2 sin 2x x đồng biến trên khoảng nào:

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−1;1) và nghịch biến trên khoảng (− − và ; 1) (1; + )

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1;1) và đồng biến trên khoảng (− − và ; 1) (1; + )

Ví dụ 12: Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

A. y=x4−2x2− 5 B. y= − +x 1 C. 1

1

x y x

A. Đồng biến trên (− + và nghịch biến trên 1; ) (− − ; 1)

B. Đồng biến trên (1; + và nghịch biến trên ) (− ;1)

C. Đồng biến trên (− − và nghịch biến trên ; 1) (− + 1; )

D. Đồng biến trên (− − và nghịch biến trên ; 2) (− + 2; )

Ví dụ 14: Hàm số y= + −x3 x cosx− 4

B. Nghịch biến trên

C. Đồng biến trên (− − và nghịch biến trên ; 1) (− + 1; )

D. Đồng biến trên (0; + và nghịch biến trên ) (−; 0)

C. Đồng biến trên (−; 0) và nghịch biến trên (0; + )

D. Đồng biến trên (0; + và nghịch biến trên ) (−; 0)

Lời giải

Ta có: y'= −2sin 2x− = −2 2 1 sin 2( + x) x0   Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm nên

−

=

A. Đồng biến trên các khoảng (−; 0) và (1; + và nghịch biến trên khoảng ) ( )0,1

B. Đồng biến trên khoảng ( )0;1 và nghịch biến trên các khoảng (−; 0) và (1; + )

C. Đồng biến trên khoảng (−; 0) và nghịch biến trên khoảng (1; + )

D. Đồng biến trên khoảng (1; + và nghịch biến trên khoảng ) (−; 0)

Lời giải

Ta có TXĐ: D = \ 1  và

( )3

2'

1

x y

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;1 và nghịch biến trên các khoảng (−; 0) và (1; + )

+

=

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ;1)

B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (− và ;1) (1; + )

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (−  ;1) (1; + )

=

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( )1; 2 và ( )2;3

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( )1;3

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )1; 2  ( )2;3

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− và ;1) (3; + )

Câu 5: Cho hàm số y= 3x2−x3 Phát biểu nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịc biến trên các khoảng (−; 0) và ( )2;3

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0; 2

C. Hàm số nghịc biến trên khoảng (−; 2) và ( )2;3

Câu 6: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng K Điều kiện đủ để hàm số y= f x( )

D. f '( )x  với mọi x0  K

Câu 7: Hàm số y= 1−x2

Câu 8: Cho hàm số y= f x( ) xác định trên đoạn  a b Điều kiện đủ để hàm số nghịch biến ;

Câu 9: Cho hàm số y=x4−2x2− Kết luận nào sau đây đúng?5

A. Hàm số đồng biến với mọi x

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (− − ; 1)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1; + )

Câu 10: Cho hàm số y x 4

x

= + Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−; 2) B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; + )

x x y

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−; 0) và (2; + )

x x y

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và ( )0;1

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (− −; 3) và ( 3; + )

Câu 19: Hàm số y=6x5−15x4+10x3−22

B. Nghịch biến trên

C. Đồng biến trên khoảng (−; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; + )

D. Nghịch biến trên khoảng ( )0;1

Câu 20: Cho hàm số sau: 2

8

y= − +x x + chọn câu phát biểu đúng nhất:

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (− + 8; )

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (− + 8; )

Câu 21: Cho hàm số 2

9

Câu 22: Cho hàm số y= − +x3 3x2−3x+ , mệnh đề nào sau đây là đúng:1

Câu 23: Trong các khẳng định sau về hàm số 2 4

1

x y x

−

=

Câu 24: Hàm số ?

25

y= −x

A. Đồng biến trên khoảng (−5; 0) và ( )0;5

B. Đồng biến trên khoảng (−5; 0) và nghịch biến trên khoảng ( )0;5

C. Nghịch biến trên khoảng (−5; 0) và đồng biến trên khoảng ( )0;5

D. Nghịch biến trên khoảng (−6; 6)

Câu 25: Hàm số

2

2

37

x x y

x x

− −

=+ +

A. Đồng biến trên khoảng (−5; 0) và ( )0;5 B. Đồng biến trên khoảng (−1; 0) và (1; + )

Câu 26: Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− − và ; 1) (− + 1; )

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (− − và ; 1) (− + 1; )

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− và ;1) (1; + )

D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (− và ;1) (1; + )

Câu 27: Cho hàm số 2 7

2

x y x

+

=+ có đồ thị ( )C Hãy tìm mệnh đề sai:

2

y x

−

=

Câu 28: Cho hàm số y=x4−2x2+ Tìm khẳng định đúng.3

A. Nghịch biến trên các khoảng (− − và ; 1) ( )0;1

B. Đồng biến trên các khoảng (− − và ; 1) ( )0;1

C. Nghịch biến trên các khoảng (−1; 0) và (1; + )

Câu 29: Hàm số 2 5

3

x y x

Câu 30: Hàm số

2

21

A. Nghịch biến trên các khoảng (− và ;1) (1; + )

B. Đồng biến trên các khoảng (− và ;1) (1; + )

=+

A. Nghịch biến trên các khoảng (− − và ; 1) (1; + )

B. Đồng biến trên các khoảng (− − và ; 1) (1; + )

C. Nghịch biến trên (−1;1)

D. Đồng biến trên

Câu 32: Cho các hàm số y= f x( );y=g x( ) là các hàm số dương trên ( )a b ,; f '( )x  trên 0

( )a b; Khi đó, hàm số nào sau đây đồng biến trên ( )a b ?;

g x

f x D. f x( ) ( )+g x

Câu 33: Cho các hàm số y= f x( );y=g x( ) là các hàm số dương trên ( )a b ,; f '( )x  trên 0

( )a b , ; g x  trên '( ) 0 ( )a b Khi đó, hàm số nào sau đây đồng biến trên ; ( )a b ? ;

=

A. Hàm số đồng biến trên (−1;1) và nghịch biến trên (− −  + ; 1) (1; )

01.D 02.A 03.D 04.A 05.C 06.C 07.A 08.C 09.D 10.B

31.A 32.B 33.A 34.D

TÍNH DÒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

(Phần 2-3)

I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHẤP GIẢI

TÍNH DƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ

Kiên thức lượng giác:

+) Ta có: − 1 cos ( );sin ( ) 1;u x u x  Do đó − a asinu a;− a acosu a

+) − a2+b2 asinx b+ cosx a2+b2 hay asinx b+ cosx  a2+b2

Hàm số nghịch biến biến trên

Chú ý: Trong trường hợp hệ số a chứa tham số m ta cần xét hệ số a = trước 0

Đối với hàm số phân thức y ax b

;

ad bc

i j c

m m

m để hàm số nghịch biến trên khoảng (− + ; )

Ta có: y'= − +x2 4x+(2m+ Hàm số nghịch biến trên 1)  y'  0 x ( 'y =0 tại hữu hạn

Xét m = − ta có 2 y= −10x+3 (hàm số này luôn nghịch biến trên )

Với m=  =0 y 2x+1 ( hàm số luôn đồng biến trên )

Với m= −  =1 y x2+2x+ hàm số đồng biến trên 1 (− + 1; )

m m

m m

Với m=  = − +0 y 2x 1 ( hàm số luôn nghịch biến trên )

Với m=  = −1 y (x 1)2 hàm số nghịch biến trên (− ;1)

Ví dụ 18: Cho hàm số y= − +x3 3x2+3mx − Xác định tất cả các giá trị của tham số m đê 1

hàm sô đã cho nghịch biến trên khoảng (0; + )

m m

m y

m m

2

m y

biến trên từng khoảng xác định

2

m m

m m

A. 1  m 4 B. 4

1

m m

m m

2

m y

m y

1

m y

Với m=  = −0 y x (không thỏa mãn YCBT)

Với m  Ta có 0

( )2

1 2'

1

m y

2

m y

Chọn C.

Ví dụ 16: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số tan

x m y

x x

m y

1

04

m m

m m

m y

0;12

0

m m

m y

2

10;1

0

m m

m m

m m

m m

m m

m m

y x

Chú ý: Bài toán này các em có thể lấy dấu bằng vì khi m= 1 y' 1 0=   ( x D)

( Hàm số đã cho không phải hàm hàng trên D )

Ví dụ 24: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

2

x mx y

Hàm số nghịch biến trên khoảng xác định 6 2 6 4 0 1

biến trên khoảng (2; + )

1

m m

m m

Ví dụ 27: Cho hàm số 3 ( ) 2

đồng biến trên khoảng (3; + )

1

m m

m m

biến trên khoảng (0; + )

Do vậy hàm sổ đồng biến trên (−;m− và 1 m + + 1; )

Để hàm số đã cho đồng biến trên (0;+  +    − ) m 1 0 m 1

Chọn D.

PHẦN 3: HÀM SỐ LƯỢ NG GIÁC CHỨA THAM SỐ

Ví dụ 1: Tìm mđể hàm số y= +x mcos 2x luôn đồng biến trên

Ví dụ 2 : Tìm mđể hàm số y=(m+1 cos) x−2x+ luôn nghịch biến trên 1

3

m m

m m

Câu 8: Tìm GTNN của m để hàm số

3 2

43

43

Câu 13: Tìm m để hàm số y=(2m+1 sin) x+ −(3 m x) đồng biến trên ?

Câu 21: Với giá trị nào của m, hàm số y =x3 −3x2 −mx+ đồng biến trên 2 (0; + )

Câu 24: Hàm số nào trong các hàm số sau chỉ có 1 chiều biến thiên trên tập xác định của nó?

Câu 25: Tất cả các giá trị của m để hàm số ( ) 3 2

43

x

−

=

− đồng biến trên các khoảng (−; 4) và (4; + khi: )

m m

Câu 6: Cho hàm số y= x3 −3x2 −mx + Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho 2

đồng biến trên khoảng (0; + là: )

Khi đó f x( )0 là giá trị cực đại của hàm số f

b) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 f nếu tồn tại một khoảng ( )a b chứa điểm ; x 0

Khi đó f x( )0 là giá trị cực tiểu của hàm số f

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x là một điểm cực trị của hàm số 0 f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0

Nhấn mạnh: x0 ( )a b;  nghĩa là D x là một điểm trong của D 0

Ví dụ: Xét hàm số f x( )= x xác định trên nửa khoảng 0; + Ta thấy rằng ) f x( ) f ( )0

với mọi x  nhưng 0 x = không phải là điểm cực tiểu của hàm số vì tập hợp 0 0; + không )

chứa bất kỳ một lân cận nào của điểm 0

Định lý 1: Giả sử hàm số đạt cực trị tại điểm x Khi đó nếu có đạo hàm tại điểm thì 0 f '( )x =0

Chú ý:

 Đạo hàm f ' có thể bằng tại điểmx nhưng hàm số 0 f không đạt cực trị tại điểm x 0

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm sổ chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc

tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số đạt cực trị tại x và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm 0 (x0;f x( )0 )thì tiếp

tuyến đó song song với trục hoành

nếu đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0 x 0

nếu f '( )x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x thì hàm số đạt cực đại tại điểm 0 x 0

Định lý 3: giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng ( )a b chứa điểm ; x , 0 f '( )x0 = và 0

f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

 Nếu f ''( )x0  thì hàm số 0 f đạt cực đại tại điểm x 0

 Nếu f ''( )x0  thì hàm số 0 f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Chú ý: Không cần xét hàm số có hay không có đạo hàm tại điểm x= nhưng không thể bỏ qua x0

điều kiện “hàm số liên tục tại điểm x ” 0

Ví dụ 2: Hàm số

2

11

x x y

x x y

Ví dụ 3: [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2017]: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như

hình vẽ dưới đây Mệnh đề nào dưới đây sai?

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng:

 Hàm số đã cho có ba điểm cực trị và x= −1,x=1 là hai điểm cực tiểu

 Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0, có giá trị cực đại bằng 3

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: