Câu 28: Một chiếc bút chì có dạng có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3 mm chiều cao bằng 200 mm thân bút chì làm bằng gỗ và phần lõi làm bằng than chì.. Phần lõi là khối[r]
Trang 1Dé thi toan Quéc Gia 2018 — Ma dé 111
Câu1: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào dưới đây
A y=-x'+x°-1
B.y=-x -3x-—]
C.y=x*-3x -—]
¬
Nw
Câu 2: Cho hàm số y= ax’ + bx? +e (a,b,c € R) cé đô thị như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Câu 3: Trong không gian Oxyz, mặt phăng (/?):2x + 3+ z—]l=0
Có một vectơ pháp tuyến là
A fl, = (— 15352) B nl, = (4,23—1) C rt, = (1; 2 2)
Câu 4: Cho hàm số y = f (xX) có bảng biên thiên như sau:
of SOON
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây
Cau 5: Nguyén ham cia ham sé f(x) = x°+x là
Câu 6: Tập nghiệm của phương trình ÏOE, (x? —7)=2 la
Câu 7: lim
bang
2n+ 7
|
A.— B C —
Câu 8: Thê tích của khới trụ tròn xoay có bán kinh r, và chiêu cao h băng
D (1;+œ)
Dx +x’ +e
p |-Vi5;-vi5}
D +00
> ah
Cau 9: Trong khéng gian Oxyz, cho mat cau (S') : (x + 3) + (y+ 1)” +(Z— 1)” = 2 Tâm của (S) có tọa độ là
Trang 2A (-3;-11) B (3;-1:1) C (3;1;—l]) D (—3;1;—l)
Câu 10: Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao 4a Thể tích của khối lăng tỷu đã cho bằng
Cau 11: V6i ala sé thuc duong tuy y, In(7a) — In(3a) bang
Câu 12: Từ các chữ số Ï;2; 3; 4; Š;Ó; 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau?
x+2_ y-Ìl z+2
Câu 14: Cho hình phẳng (H) giới han béi cc duong y = x° +3; y=0; O=0; x =2 Gọi V là thể tích của khới tròn y Đó
Câu 13: Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thắng đ :
xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox Mệnh đề nào dưới đây đúng 2
A.V=z|@Ì+3)d B.V=[@7+3d ©
2
D.V = [0x +3)dx
0
Câu 15: Số phức Š + Ó7 có phần thực bằng
Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a3 SA vuông góc với mặt phẳng đáy và '%⁄4 = đ
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
6 Câu 17 Cho hàm số Jy y= ƒ() liên tục trên đoạn |—2;2| và có đồ thị như hình vẽ bên
S6 nghiém thuc cia phuong trinh 3 f(x) — 4 =0 trén doan [-2: 2| la
HD : đồ thị đã cho là của hàm số bậc 3 có y = 0 tai hai gia tri đối nhau
Của x suy ra hệ số b= 0 lại có tung độ điểm uốn bằng l tại x = 0 suy ra hệ số y{)=3axˆ+e=0€3a+ec=0; y()=—-l€Ằa+c+l=-l=
c© —>3/(z)-4=0<>3x -9x+3—-4=0<>3x -9x-]=0
có 3 nghiệm thuộc đoạn |-2: 2|
Trang 34 Cách 2: tacó 3/(x)—4=0<> ƒ(x)= 3 suy ra số nghiệm của pt đã cho là số giao điểm của đô thị hàm sé y = f(x)
và đường thăng 1 = 3 nên từ øt suy ra pt đã cho cơ ba nghiệm
2
Câu 18: | bang
, 3X — 2
Cau 19: Trong khong gian Oxyz, cho 3 diém 4(—T;1;1) ; B(2;1;0), C(1;—1;2) Mặt phẳng đi qua A vuông góc với
đường thắng BC có phương trình là
1" p.3x-+2e-1=0
Câu 20: Tìm hai số thực x, y thỏa mãn (3x + y7) +(4— 21)=Šx+2I
Vx+25—5
Câu 21: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y= 5
xX +X
Câu 22: Một người gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 6,6% trên năm biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân
hàng thì cứ sau mỗi năm số tiên lãi sẽ nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được cả vốn và lãi gấp đôi số tiền gửi ban đầu giả định rằng trong thời gian đó lãi suât không thay đổi và người đó không rút tiền ra ?
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông tại C, AC =a, BC = a2 ,„SA vuông góc đáy SA=a
Góc giữa SB và day bang
Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x "` +3xŸ trên đoạn |-4 -]] bằng
Câu 25: Từ một hộp chưa 9 quả cầu màu đỏ , 6 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả Xác suất dé lay duoc
3 quả câu màu xanh là
Câu 26 : Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m sao cho phuong trinh: 4° + m.2**' + 2m — 5 = Öcó hai nghiệm phân biệt Hỏi § có bao nhiêu phân tử 2
Trang 4Câu 27: Một chất điểm A xuất phát từ O chuyển động thắng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi qui luật
13 V(t) = 100 /?+ 30! (m/s) trong dé t giây là khoảng thời gian từ lúc A bắt đầu chuyên động Từ trạng thái nghỉ
một chất điểm B cũng xuất phát từ O cùng hướng với A nhưng chậm hon 10 giây so với A và có gia tốc bang a (m/s’) (a
là hằng số ) Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
Bài giải : từ gt thi thời gian chất điểm A chuyển động đên khi gặp B là 10 +15 = 25 (s) suy ra quãng đường A đi được
trong khoảng thời gian đó là S A= | 100 + 30 dt = 5 (m) Do B chuyên động với gia toc a (m/s“) với a
0
không đổi nên vận tốc của B bằng | adt = at +c vi xuat phát từ trạng thái nghi > v,(0)=a.0+c>c=0 vay
1 fs = 2258 _ _„ 375 _ 225a _,
° 2 4 2 2
15
vg(15) = 15a ta còn phải tìm a ta lại có $„ = | „ưa = bu
0
a= 225 = zis s ) Vậy vận tôc cua B tai thoi diém t = 15 giây là
Câu 28: Một chiếc bút chì có dạng có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằng 3 mm chiều cao bằng 200 mm
= 25(m/ s) suya ra Đáp án 4
thân bút chì làm bằng gỗ và phần lõi làm bằng than chì Phần lõi là khói trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút đáy là
hình tròn có bán kính đáy bằng 1 mm Giả định 1 mỶ gỗ có giá là a triệu đồng, 1 mỉ than chì có giá 9a triệu đồng Khi đó
giá nguyên liệu làm một chiếc bút chì như trên gần nhất với số nào sau đây ?
A 10,33 a(đồng) B 97,03 a(đồng) C 103,3 a(đồng) D 9,7 a(đồng)
In? go=10 mm’ => lmm co gia = —4 10° = —-(dong)
Im? chi=10’ mm’? => lmm co gia = io 10° = Top (đong)
Khối lượng than chì làm mottj chiếc bút là : ZrˆÙ= 7.200 — giá thành than chì để làm một chiếc bút là : 7r.200.9a
10: (dong) Tuong tự khối lượng gỗ làm một chiếc bút chì bằng : „ —Đ_= đïƒ tru day* h -r h> giá
(2700^/3 — 200z).a
10°
(27003 - 200z).a
10°
thành gỗ để làm một chiếc bút chì là : (đong) suy giá nguyên vật liệu để làm một chiếc bút chì
Zr.200.9a
là ——————
10°
Câu 29: Cho | (1+ xInx)dx = ae’ +be+c (a,b,c la cac so huu ti) Mệnh đề nào dưới đây đúng
1
nghĩch bien tren khoang (6;+œ)
Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y=
x+3m
Trang 5A Vô số B.3 C.6 D.0
Cầu 31: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc OA = OB = a, OC = 2a Goi M là trung điểm AB
Khoảng cách giữa hai đường thăng OM và AC băng
D
HD : Vẽ hình hộp Nhận OA,OB.,OC là ba cạnh cùng xuất phát từ O như hình vẽ dễ thây
mf(ODB”) song song với AC nén d(AC,OM) = d(A,(ODB”)) do øt suy ra OADB là hình vuông 4
nên mf(BMB’) L OM ve BH L M'— BH | (ODB') => d(B,(ODB’)) = BH
dé thay M là trung điểm AB => d(A,(ODB’')) = d(B, DB')) = BH do tứ diện BDOB'°có BO,BD,BB'đôi một
vuông góc nên H là trực tâm tam giác ODB'
=> = > + > + 5 = ata = > BH = — Dap én D
Cách 2: Xét hệ tọa độ Oxyz sao cho A,B,C lần lượt thuộcOx, Oy, Oz => A(a,0,0); B(O, a, 0); C(O, 0, 2a)
Khi dé > MẸ: — 5:0) & NOS ;a) là trung điểm BC > AC //(OMN)
—> d(AC,OM) = on mn) từ gf ta có
a a a’ — (⁄⁄/ —(~›;—~;U), \7IN —\U,——,(/¡J) —> | t2/VI,\JIN | — | TT 5S
2
suy ra mf(OMN) có pt là: x-2+z=0= HALOMN))= 7 2 a 2 -= 2° +2° +1
Câu 32: Ông A dự định sử dụng 5 m” kính để làm một hồ cá băng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp chiều dài
gấp đôi chiều rộng Bê cá có dung tích lớn nhất băng bao nhiêu (các mỗi ghép nối không đáng kể) làm tròn kết quả đến phan hang trim ?
Goi x, 2x, h lần lượt là rộng dai cao của bề theo bài ra ta có
2x2 +2xh+2/2xh=6xh+2x2=57>p= 2” _—““ (0<x< 5)=FV= 2x⁄2| 1=“ |=1x| 2=“
max
=V'=1(-60+3)=0<9 x= + Plapbbuiren 0:2 —)>V_ 1.01
x+l yp z+2
Câu 33: Trong không gian Oxyz cho đường thăng Z4:——— = —— =
thăng nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với A có phương trình là
& mf (P):x+ y—z+1=0 Duong
Trang 612
HD: AR (P) — M(®;—2;2) vtpt cua mf(Q) qua A vuông góc (P) là trọ — pas | — ú 1_—Ị JEcssa
Suy ra AT là hình chiếu _L của 4Â trên (P) có vtep là HAI — non | — lu 1 , = (—7;2;—5) —> víicp của đg
thg (d) thuộc (P) đông thời cắt và vuông góc với 44 là tra — wan | — [ 1) 4 = (3;-12;-9) Đáp án C
Câu 34: hệ số của x` trong khai triển x(2x — l)” +(x—3)” bằng
Câu 35: Xét các số phức z thỏa mãn (z + 2¡ (z — 2) là số thuần ảo Trên mặt phăng tọa độ tập hợp tất cả các điểm
biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kinh băng
HD:
z=atbi=>z=a-bi=>(z+2i)(z-2)=(a+(2-b)i)(a—2+bi)=a° +b’ — 2a 2b + (2a + 2b)i
là số thuan do & a’ +b° —2a—2b=0<(a—-1) + (b—1)° = 2 xay ra khi và chỉ khi các điểm biểu diễn số phức z thuộc dg tron tam O ban kinh R = 2
i
25
A B -— C —— D -——
HD Tt gt taco:
Câu 36: Cho hàm số ƒ(x) thỏa mãn ƒ(2)=———& ƒ (x)= 4x [ƒ(œ)Ÿ Vx € R Gia tri (1) bằng
SPS = 20-8 F FS I= 75
Câu 37: Cho khdi lang tru ABC.A’B’C’, khoang cach tir C đến đường thắng BB’ bangf 2, khoang cách từ A đến các đường thắng BB' và CC' lân lượt là 1 và A3 hình chiếu vuông góc của A lên mặt phăng (A’B’C’) 1a trung diém M cua BˆC và A'M =2 Thể tích của khối trụ đã cho bằng
HD: Thể tích khối lăng trụ xiên băng diện tích thiết thăng nhân với độ dài cạnh bên
Goi E.F lần lượt là hình chiếu của A trén CC’, BB’ AA’ _L (AEF) => HF | BB',EF LCC'=>
EF =2vi AE =\3, AF =1=> AAEF woing tai A goi H
Trang 71
Là trung điểm BC và [ là giao của EF với MH suy ra A/ = 21h =]
Do gt thì ta cũng có AM vuông góc (ABC) —> 4⁄4A⁄H vuông tại A có
IT tT
=> AM? =< => AA'= VAM? + AM = ar gi
AEF bang 5 ABAP =" 29 V jy = AA dep = -
AT 1 MỸ >
= 2 Đáp ún C Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y= x” +(#— 4)x` — (w” —16)x” +1 đạt cực tiểu
tạ x=0 2
Giải : ycbt là y'(0) =O va déi dấu từ (-) sang (+) từ gtta có '=§x” +50m— 4)x” — (m —16)xÌ
= x°[8x* + 5(m~ 4)x— („ — 16)]= 0 tại x =0 với mọi m nên ta xét các TH sau
mm 4
TH, f(x) =8x* + 5(m—4)x — (nr — 16) =0 tại x=0 khi 7ø —16=0 Km
Với m=4tacó y=x”+l— y'=§x” =0 <©x=0 và đổi dấu từ (—) —> (+) = m =4 thỏa mãn
Voim=-4tacd y=x° —8x° +1> y'=8x” - 40x” = xˆ(xÌ — 40) không đổi đấu khi qua x = 0 nên loại
TH;: #(x)=§x” +5(m—4)x — (mˆ — 16) # Ö tại moi x khác 0 khi d6 do x? duong khi x > 0 nên ycbt thỏa mãn
thì lim Z{x)= lim (8x? + 5(m~4)x~ (Œø” —16)}=—(m”~— 16)=16— m” >0 © |ø|< 4 ()
Tương tự khi x < 0 thi x° < 0 nên ycbt thỏa mãn thì
lim Z(x) = lim (8x* + 5(m— 4)x — (in? =16))==(mÌ~16)= 16= mỶ > 0 |m|< 4 2)
Từ một và hai kết hợp với m = 4 thỏa thì các giá trị nguyên thoa ycbt là : —3;—2; 3;4 có § giá tri nguyén DA C
Câu 39:Cho hai ham s6._ f(x) = ax? + bx”+cx— 1 & g(x) = &7 tex +5 (a,b,c,d,ec R) Biết rằng đô thị
của hai hàm số y= ƒ(x)& y= @(%) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là —3;—Ï;2 Như hình vẽ Hình phăng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số có diện tich bằng
125
125 253
A — B — C D —
12 12 48
HD: trén hinh vé ta thay trén |—3;—1] dé thi cua y = f(x) nam trén dé thi y = g(x) , trén [—1;2] dé thi y = g(x) lai nim
trén dé thi y = f(x)
Trang 8—] —] 2
3
f(x)- 2(x) =ax’+(b-—d)x° t(e—e)x~> =0 làpt bậc ba có ba nghiệm Xị =—3.x, =—Ì,x, =2>
4 X,X,X, =6=— xu =6= CC =4đd4—-b=——— OPQ) BQ) = 78 + 5x Ix 5 ƒ(x)- ø(x)=—x`+—xˆ-—x——
XX, + X,X3 + XX; =—5 = C(—=e=——
`
Atay = fj phy? -Ÿyng dc laa phy? ~31-3 |ar-4-(-3)- 73 =
Câu 40: Cho hàm sô y = 3 x - 3 X” có đồ thị (C) Có bao nhiêu điêm A thuộc (C) sao cho tiêp tuyên của (C) tại A
cắt (C) tại hai điểm phân biệt Ä⁄(x;; y¡)„ N(x,; y„ ) (M,N khác A) thỏa mãn 1, — ÿ; =8(%, — Xx,)
HD: Gia str A(a,b) la diém thuéc (C) thoa dk dau bai thi tiép tuyén tai A nhan
1V — (Ai — X55, — Vy) = (%, — X,38(%, — x, )) lam vtep suy ra tiép tuyén dé c6 hé sé gée
j= 8D) 8g gy -g tg — 8 a-8 Sa -Ta-6=0 Sa, =-2:a, =—la, =3
Voi a, =-2>5, —x suy ra tiép tuyên tại ⁄4(a,;b,) có pt y=B(wx+2)—=_ =8x +>
= ptax' 2x8 8x2 = 0.69 x4 14x" — 2x8 = 0.69 (4+ 2)(0" = 24° —10x—4) = 006
40
nghiém phan biét nén A(—2; —3? thỏa dk
Voi a, =-1> 5, =5 tiếp tuyên tại A(a,;b,) cd pt y=8(x41)-S=8r4—
= ptax! 2x8 8x = 0 x! 14x? 24x11 = 0 (x + 2)(0" = 2x? —13x=11) = 006 ba
40
nghiém phan biét nén A(—2; —3? thỏa dk
Véi a, =3 > 5b, =—-15> tiép tuyentai A(a,;b,) cd pt y=8(x—-3)-15 =8x—39
Trang 9= ptox’ =x —8x—39=0<> x' —14xˆ -24x—117=0‹«©(x—3)(x° +3xˆ -5x—39)= 0có
nghiệm duy nhất x = 3 không thỏa đk Tóm lại chỉ có hai điểm thuộc (C) thỏa đk suy ra Đáp án A
Câu 41: Cho phương trình 7” + 7= ÌOg„(x — ?) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc
(—25;25) đề phương trình đã cho có nghiệm ?
HD: dat = log, (x-—m)=> 7 =x-—m= pt da cho tro thanh: 7” + x— 7 =tf<> 7 +x=7 +
Xét hàm số #{() = 7” + ƑF'{w) = 7“Ìn7+1> — pf © x=f <© 7” =x— m<> m= x— 7”
Xét hàm số: ƒ(x)=x— 7" = ƒ'(x)=I—7'ln7=0<>7! = Ke x=tog,{ 2 \-034— 0b
Vay pt đã cho có nghiệm khi m nguyên và m thuộc (—25;0) we, =)
~œ I7 +o
Suy racé O—(—25) —1= 24 gia tri nguyén cia m thoa dk P(x) + 0 -
0.34
Cu 42: Cho a> 0,5 > 0 thoa man log,,.s,,,16a° +b° +1) + log,.,,,,(4a+ 5b +1) = 2 Giá trị của
at 2b bang
HD: bdt cési
l6a° + b° > 8ab vi 4a+ 5b+1>1=> log,, ,.,,,(16a° + 5° +1) > log,.,<,,,(8ab + 1)
= 2 =log,.,,;,,,(16a° + 5° +1) + log,.,,, (4a +55 +1) > log,,,;,,,(8ab + 1) + log,.,,,(4a + 5b +1)
1 1 1
Dat t= lO8sap41 (48 +99 + I > 0 & 108 44,5541(8A0 += 7 > 221+ 22 t+" = 2 Xay khi t=1
Tom lai log,,,5,,, 16a’ + b° +1) + log,,,,,(4a+5b +1) =2 xay ra khi
16a? = B => 4a =b => mm 3> g3 4>a+2b=—+6=— 3.27
logs„.¡(4a +Š5ô+]) =] 8ab+1=4a+55+1 a=— b=3 4 4
Câu 43: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (5): (x — 1) +(y— 2) +(Z— 3) =l& 4(2;3;4) Xét các điểm thuộc (S) sao cho đường thắng AM tiếp xúc với (S), M luôn thuộc mặt phăng có phương trình là
Trang 10HD: Tir et > IM =1,/4=3 > 1H =
| x-1=—(2-1 2=
——> — ]
> 11 =—-1A gti yy —2=-(3-l1)> 3 | )> yy
l Z-3=-(4_-3 2-3)
A
M
-—10
3
vita nines (x= ]41[x-2]41[x-2]-0e 44 y+2-7=0
Cach 2: Tr st — IM | MA doIA = V3:MI =1=> AM =VIA& — IM? =V2 = M thuộc vào giao của hai
mat cau (S) va mat cau (S’) tam A bán kính AM nên có phương trình
(x—2)+(y—3)+(z—-4)=2<©x +y`+zˆ—-4x—6y—8z +29 =2 (1) pt của (S) viết lại như sau (x— Đˆ“+(y-2) +(—3)“ =1<©x” + y+zˆ-2x—4y—6z+14=1 (2) lấy (2) trừ (1) theo về ta có
2x+2y+2z—lIŠ5=—Ï<©=x+y+z—7=Ô Q3) suy ra tập hợp các điểm M(x.y.z ) thỏa mẫn (3) chính là pt mặt
phăng chứa các điểm M thỏa đk bài ra
, XxX
Câu 44: Cho hàm sô y = có đồ thị (C) Gor I là giao điểm của hai tiệm cận Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh
x+
A,B thuộc (C), đoạn AB có độ dài băng
giao của hai tiệm cận gọi A,B là hai điểm thuộc (C) thỏa đk đâu bài và J 1a
trung điểm AB thì IA, IB đỗi xứng nhau qua IJ Nêu A,B lâ lượt nằm vào hai nhánh của (C) thì góc AIB luôn là góc tù
nên yêu câu bai toán thỏa mãn khi khi và chỉ khi A,B thuộc cung một nhánh như hình vẽ nên tam giác AIB đều thì hai góc AIA’ va góc BIB' bằng nhau và đều bằng 15 (A',B' lần luọt là hình chiếu của A,B trên trục hoành trục
¬ 4 |
tung của hệ tọa độ mới ) Gọi A(a ›— —) là tọa độ của A trong hệ tọa độ mới
a
2
a
4
_4
a
IA' — A'A
= tan AJA'=