GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II hàm số LUỸ THỪA hàm số mũ hàm số LOGARIT

Một số tính chất của lũy thừa - Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa: - Chú ý:  Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên..  Khi xét lũy t

I – LÝ THUYẾT

a Định nghĩa lũy thừa và căn

- Cho số thực b và số nguyên dương n (n 2) Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu n

b  Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu

là n b, căn có giá trị âm kí hiệu là −n b

1

a =a =

*, ( )

b Một số tính chất của lũy thừa

- Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

- Chú ý:  Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên

 Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

 Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

 n m nm , 0

a = a  a , n,mnguyên dương

 Nếu p q

n = m thì n a p =m a q, a 0, ,m nnguyên dương, p q, nguyên Đặc biệt: n a =m n a m

( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất của lũy thừa.)

d So sánh hai lũy thừa

• So sánh cùng cơ số

- Nếu cơ số a  thì 1   a a

- Nếu cơ số 0  thì a 1   a a

• So sánh cùng số mũ

- Nếu số mũ  thì 0 a b  0 a b

- Nếu số mũ  thì 0 a b  0 a b

II – DẠNG TOÁN

1 Dạng 1: Biến đổi biểu thức liên quan

Phương pháp giải

- Tự luận thuần túy

- Trắc nghiệm (Cách nhận xét bài toán, mẹo mực để lọa trừ)

- Casio, Công thức giải nhanh

Ví dụ 1: Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2a+1)−3 (2a+1)−1

A

1

0 2

1

a

a

−  





 −



0

1

a a

 



  −

 D a  − 1

-

-

Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây đúng: A n a− xác định với mọi  a \ 0 ;    n N B ; m n m n a = a  a C a0 =  1; a D ; ; , m n m n a =a   a m n

-

-

2 Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức 4 2

81a b , ta được:

-

Ví dụ 4: Cho 1 2 1 1 2 2 1 2 −     = −    − +  y y K x y x x vớix0,y0 Biểu thức rút gọn của K là? A x B 2x C x + 1 D x − 1

-

-

Ví dụ 5: Cho hai số thực dương a và b Biểu thức 5 a b a3 b a b được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là A 7 30 a b       B 31 30 a b       C 30 31 a b       D 1 6 a b      

-

-

3 Dạng 3: Dạng khác Ví dụ 6: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0, 7% /tháng Biết rằng nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5 triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó cần gửi số tiền M là: A 3 triệu 600 ngàn đồng B 3 triệu 800 ngàn đồng C 3 triệu 700 ngàn đồng D 3 triệu 900 ngàn đồng

-

-

-

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

Bài 2 HÀM SỐ LŨY THỪA

I – LÝ THUYẾT

1 Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số y x= ,với  được gọi là hàm số lũy thừa

Chú ý: Tập xác định của hàm số y x= tùy thuộc vào giá trị của 

Cụ thể:

• nguyên dương: D = ;

• nguyên âm hoặc bằng 0: D = \ 0 ; 

• không nguyên: D =(0;+)

2 Đạo hàm của hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa y x= ,  có đạo hàm với mọi x  và: 0

•( )x  =x − 1; • ( )u  =u − 1.u

với u là biểu thức chứa x

3 Khảo sát hàm số lũy thừa y=x

d Đồ thị

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm

số đó trên toàn bộ tập xác định của nó Chẳng hạn: Khảo sát các hàm số

Ví dụ 1: Tập xác định của hảm số y= − +( x2 5x−6)−15 là

A \ 2;3   B (−;2) ( 3;+). C ( )2;3 D.(3;+).

-

-

Ví dụ 2: Tập xác định của hảm số sin 2018 ( ) y x=  là A B (0;+) C \ 0   D  +0; ).

-

-

Ví dụ 3: Tập xác định của hảm số ( ) 2019 1 y= + x − là A B (0;+) C \ 0   D  +0; ).

-

-

Ví dụ 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m −( 2018;2018) để hàm số ( 2 ) 5 2 1 y= x − x m− + có tập xác

định là ? A 4036 B 2018 C 2017 D Vô số

-

-

Bài toán 2 Tính đạo hàm của hàm số lũy thừa Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số y= −(1 x2)−14 A 1 1( 2) 54 4 y = − −x − B. 5 1( 2) 54 2 y = − x −x − C 5 1( 2) 54 2 y = x −x − D 1 1( 2) 45 2 y = x −x −

-

-GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

-

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số ( )4 2 3cos2 y= + x A ( )3 24 2 3cos2 sin2 y = − + x x B. ( )3 12 2 3cos2 sin2 y = − + x x C ( )3 24 2 3cos2 sin2 y = + x x D ( )3 12 2 3cos2 sin2 y = + x x

-

-

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số y=(xsinx)23 là A 2 sin( ) 13 3 y = x x − B 2 sin( ) (13 sin cos ) 3 y = x x − x x+ x C 3 2 2 2 sin cos y 3 sin x x x x x +  = D 2 sin( ) 13.cos 3 y = x x − x

-

-

Ví dụ 4: Đạo hàm của hàm số ( ) 2 3 1 y= + x − là A ( ) ( )2 3 1 . 3 3 1 y x x x −  = + + B ( ) 5 3 2 1 . 1 . 3 y x x −  = − + C ( ) ( )2 3 1 . 1 y x x x −  = + + D ( ) 5 3 2 y 1 3 x −  = − +

-

-

Bài toán 3 Khảo sát sự biến thiên và nhận dạng đồ thị của hàm số lũy thừa

đây?

A f x( )=x13 B.f x( )=3 x.

C f x( )=x−13 D. f x( )=x3.

-

-

Ví dụ 2: Cho hàm sốy f x= ( )=x− 2 có đồ thị ( )C Mệnh đề nào sau đây đúng? A Hàm số tăng trên (0;+) B Đồ thị ( )C không có tiệm cận C Tập xác định của hàm số là D Hàm số không có cực trị

-

-

BÀI 3 LÔGARIT I – LÝ THUYẾT 1/ Khái niệm : Cho 2 số dương a,b với a ≠ 1, số 𝛼 thỏa 𝑎𝛼=b đc gọi là logarit cơ số a của b KH: log𝑎𝑏 =loga ba = b II/Công thức : cho 0<a,b,c  1 ,M,N > 0, ,  ta có : R 1/công thức cơ bản log 1 0 ;log 1; log M ; loga M a = a a= a a =M a =M 2/ công thức về lũy thừa 1

loga loga ; log loga ; log loga a a M M  M M  M M       = = = 3/ tính chất

loga M loga N log (a M N ) ; loga M loga N log (a M)

N

4/ Công thức đổi cơ số

c

b

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

III/ Logarit thập phân, logarit tự nhiên

- Logarit thập phân là logarit cơ số 10 Kí hiệu : log10𝑎 = log 𝑎 = 𝑙𝑔𝑎

- Logarit tự nhiên là logarit cơ số e Kí hiệu : log𝑒𝑎 = 𝑙𝑛𝑎 (e = 2,718)

I I– CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Tìm điều kiện xác định của biểu thức logarit:

a) Phương pháp giải:

- Dựa vào định nghĩa logarit: loga b xác định 0, 1

0

b



- Sử dụng máy tính cầm tay, CALC tại các giá trị thuộc các đáp án đề ra để thử

b) Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức ( )2

A= − − x−

A D =(2;+ ) B D =0;+ ) .C D =0;+)  \ 2 D D =(0;+)  \ 2

-

-

Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức B=log (22 x−1) xác định? A. 1; 2 x +     B. 1 ; 2 x −      C. 1 \ 2 x       D.x − +( 1; )

-

-

Ví dụ 3: Với giá trị nào của x thì biểu thức 2 ln(4 ) C= −x xác định? A x  −( 2; 2) B.x  −[ 2; 2] C.x  \ [−2; 2] D.x  \ ( 2; 2)−

-

-

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

a) Phương pháp giải:

Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số

b) Ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức 3 2loga b

P=a− (a0,a1,b0) bằng:

A 3 2

P=ab

-

Ví dụ 2: 2 3 2 5 4 15 7 loga a a a a         bằng: A 3 B 12 5 C 9 5 D 2

-

-

Ví dụ 3: Nếu log 1log 9 log 5 log 2 2 a x = a − a + a (a0,a  thì x bằng: 1) A 2 5 B 3 5 C 6 5 D 3

-

-

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức a) Phương pháp giải: Vận dụng các tính chất, quy tắc tính logarit, đổi cơ số b) Ví dụ điển hình: Ví dụ 1: Cho (a0,a , biểu thức 1) 4log 2 5 a E=a có giá trị bằng bao nhiêu? A 25 B 625 C 5 D.5 8

-

-

Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức 1 9 3

3

1 log 7 2 log 49 log

7

A A =3log 73 B A =log 73 C A =2 log 73 D A =4 log 73

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

-

-

Ví dụ 3: Biểu thức log2 2sin log2 cos 12 12    +           có giá trị bằng: A −1 B −2 C.1 D.log2 3 1−

-

-

Ví dụ 4: Cho lgx=a,ln10= Tính b log10e( )x bằng: A 1 ab b + B 1 b b + C 2 1 ab b + D 1 a b +

-

-

Ví dụ 5: Cho a,b,c,d 0 Rút gọn biểu thức S lna lnb ln c lnd b c d a = + + + ta được A S = 1 B S 0.= C S ln a b c d b c d a   =  + + +    D S=ln(abcd).

-

-

Ví dụ 6: Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a 1, a b và loga b = 3 Biến đổi biểu thức P log b a b a = ta được A P = − +5 3 3. B P = − +1 3. C P = − −1 3 D P = − −5 3 3.

-

-

Ví dụ 7 Cho log 2712 = Khi đó giá trị của a log 16 được tính theo a là 6 A 4 3( ) 3 a a − + B ( ) 4 3 3 a a + − C 4 3 a a − D 2 3 a a +

-

-

Ví dụ 8 Cho lg3=a,lg2=b Khi đó giá trị của log 30 được tính theo a là: 125 A 4 3( ) 3 a b − − B 3 1( )1 . a b + − C 3 a b + D 3 a a +

-

-

Ví dụ 9 Đặt a =log 3,2 b =log 3.5 Biểu diễn log 45 theo a, b ta được 6 A log 456 a 2ab. ab + = B 2 6 2 2 log 45 a ab ab − = C log 456 a 2ab. ab b + = + D 2 6 2 2 log 45 a ab ab b − = +

-

-

BÀI 4 HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT

I – LÝ THUYẾT

1 Hàm số mũ:

• Tập xác định:

• Tập giá trị:

• Tính đơn điệu

• Khi thì hàm số đồng biến trên Khi thì hàm số nghịch biến

• Dạng đồ thị: Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

, 0, 1

x

D =

(0, )

1

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

- Tự luận thuần túy: Tìm điều kiện của hàm số và giải điều kiện ta thu được tập xác định của hàm số

- Casio: Áp dụng cho các hàm số trong đó không chứa hàm số lũy thừa

-

Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số A B C D

-

-

Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho hàm số có tập xác định là A B C D

-

-

Dạng 2: Tính đạo hàm các cấp của hàm số mũ và hàm số logarit; Tìm min, max của hàm số mũ và hàm

số logarit

a) Phương pháp giải:

* Đối với bài toán tính đạo hàm hoặc chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

- Dùng các công thức tính đạo hàm đã học

- Thay vào các đẳng thức chứa đạo hàm ta thu được kết quả

* Đối với bài toán tìm min, max

- Tìm đạo hàm của hàm số

- Tìm các nghiệm thuộc khoảng đang xét

- Tính giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút và các điểm vừa tìm được

- Kết luận

b) các ví dụ

Ví dụ 1: Đạo hàm của hàm số tại bằng bao nhiêu ?

Ví dụ 2: Đạo hàm của hàm số là

ln 1

f x x

x

−

( )

D= −3; e D=( )0;1 D= −( ;1) D=(0;+)

m

2 3

1 log ( 2 3 )

y

=

2

3

 +

2

3

+

2

3

− 

2

3

 

cos 2 x

y=e

6

x= 3

2

e

8

8

2 3 log 3 8

3 8

x y

−

 =

− +

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

-

-

Ví dụ 3: Cho Giá trị bằng A B C D

-

-

Ví dụ 4: Cho hàm số Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau A B C D

-

-

Ví dụ 5 : Đạo hàm của hàm số là A B C D

-

-

Ví dụ 6 : Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên là A 0 B 1-ln 2 C 2-ln 3 D Đáp án khác

-

-2

2 3 ( 3 8) ln 8

x y

−

 =

2 3

ln 8

3 8

x y

−

 =

− +

( ) 2 11

x x

f x

− +

= f ( )0 1

1

ln 1

y x

= +

y= x+ x +

2

1 1

x y

+

 =

1 1

y x

 =

2 1

y x

 =

2 1

x y

x

 =

+

ln( 1)

Ví dụ 7: Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số trên đoạn

-

-

3 Dạng 3: Sự biến thiên của hàm số mũ, logarit a) Phương pháp giải - Tự luận thuần túy: + Nếu là hàm số dạng thì dựa vào cơ số a để xác định tính đơn điệu hàm số + Nếu là các hàm số khác ta xét sự biến thiên của hàm số theo các bước: TXĐ⇒BBT⇒Kết luận - Casio: + Dùng MODE 7 để khảo sát tính tăng giảm, giảm của hàm số để chọn được đáp án b) Ví dụ điển hình Ví dụ 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R? A B C D

-

-

Ví dụ 2: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó? A B C D

-

-

Ví dụ 3: Cho bốn hàm số sau: ; ; ; Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên khoảng

,

3− 5 ln(6 2 5)−

; log

x

a

3

x

x

=  

 

2 x

y e

 

=  

x

=   

log

1

3 log

ln 1

( ) ln

y=g x = x + 2017

( )

2018

x

( ) ln 1

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

-

-

Ví dụ 4: Cho hàm số sau: Tìm tổng các giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên TXĐ là S thì giá trị của S sẽ là: A 15 B -12 C -15 D -10

-

-

4 Dạng 4: Bài toán cực trị của hàm số mũ và hàm số logarit a) Phương pháp: * Đối với bài toán cực trị hàm một biến - Tính đạo hàm của hàm số - Tìm các nghiệm của phương trình - Xét dấu đạo hàm - Suy ra cực đại, cực tiểu của hàm số * Đối với bài toán nhiều biến - Tìm cách biến đổi về biểu thức liên hệ giữa các biến - Khéo léo xét hàm số để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức b) Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số Tìm cực tiểu đại của hàm số A B C D

-

-

Ví dụ 2 : Tìm điểm cực tiểu của hàm số A B C D

-

-

Ví dụ 3: Tìm điểm cực tiểu của hàm số

0

y =

1

x

e y x

= + 0

ln

y=x x

e

1

e

=

-

-

5 Dạng 5: Đồ thị của hàm số mũ, logarit Ví dụ 1: Phát biểu nào sau đây sai? A Hai hàm số và có cùng tình đơn điệu trên TXĐ B Đồ thị hàm số luôn nằm trên trục hoành C Đồ thị hàm số luôn nằm bên phải trục tung D Hai hàm số và đều có đồ thị nằm phía trên trục hoành

-

-

Ví dụ 2: Cho hàm số Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án dưới đây

là đồ thị của hàm số Tìm đồ thị đó

x

y=a y=loga x (a 1)

x

y=a (a0,a1)

loga

y= x (a0,a1)

x

y=a y=loga x (0 a 1)

( ) 2 x

'( )

y= f x

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

-

-

Ví dụ 3: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A B C D Ví dụ 4Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào? A B C D

-

-

-

-

x

y

2 1

2

O

( )2 x

x

y

1 2

1

4

-4

3

O

1 2 log

y= x y=log2x y=log 2 x y=log2( )2x

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH MŨ

I – LÝ THUYẾT

DẠNG 1: BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VỀ CÙNG CƠ SỐ

1 Phương trình mũ x

a = b + Nếu b  thì phương trình có nghiệm duy nhất 0 x=loga b

+ Nếu b  thì phương trình vô nghiệm 0

LOẠI 1 Phương trình có dạng f x( ) g x( ).

+ Nếu a = thì 1 f x( ) g x( )

a =a nghiệm đúng với mọi x

+ Nếu 0  thì a 1 f x( )=g x( )

LOẠI 2 Phương trình có dạng f x( )

a = (vớib 0 a 1,b0)

a f x( ) = b f x( )=log b.a

DẠNG 2: GIẢI PH TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH LẤY LOGARIT HAI VẾ

Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng : af(x) = bg(x) (1)

Bước2: Lấy logarit hai vế theo cơ số c thích hợp thì

f (x).log a g(x).log b









DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN SỐ PHỤ

Bước 1: Đặt t = ax > 0 với a thích hợp , để biến đổi phương trình mũ thành phương trình đại số theo t

Bước 2: Giải và chọn nghiệm t > 0 , rồi sau đó tính x từ ax = t

Chú ý : Các cặp số nghịch đảo với nhau như : 2 1+ và 2 1− ; 2+ 3 và 2− 3 ; 3+ 8 và 3− 8 ;

4+ 15 và 4− 15……

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ BẰNG CÁCH ĐẶC BIỆT Bước 1: Đoán nhận một nghiệm Bước 2: Chứng minh nghiệm đó là duy nhất Chú ý : Nếu A m B m      thì A = B A m B m =    =  DẠNG 5: Phương trình chứa tham số: Trong phương trình có chứa tham số Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn yêu cầu bài toán VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH Ví dụ 1 Tập hợp nghiệm của phương trình 2 4 1 3 81 x − −x = là A  0;4 B  C  2;1 D  0;1

-

-

Ví dụ 2 Phương trình 2 4 3 1

3x + −x =3x+ có nghiệm là

GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG II HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

A 1

4

x

x

= −



 =

1 4

x x

=



 = −

-

-

Ví dụ 3 Nghiệm của phương trình 1 1 2x+2x+ = +3x 3x+ là: A 3 2 3 log 4 x = B x =1 C x =0 D 4 3 2 log 3 x =

-

-

Ví dụ 4 Tìm tập nghiệm S của phương trình x  −2 A S = 1 B S = − 1 C S = − 3 D S = 3

-

-

Ví dụ 5 Nghiệm của phương trình 2 2 2 x−3.2x+ +32=0 là: A x  2;3 B x  4;8 C x  2;8 D x  3;4

-

-

Ví dụ 6 Số nghiệm của phương trình 1 7x−7−x =6 là? A Vô nghiệm B 3 C 2 D 1

-

-

A 3x1−2x2 =log 83 B 2x1−3x2 =log 83

C 2x1+3x2 =log 543 D 3x1+2x2 =log 543

-

-

Ví dụ 8 Phương trình 2 2 3 2 3 4 18 x x x − − = có tất cả bao nhiêu nghiệm? A 0 B 1 C 2 D 4

-

-

Ví dụ 9 Tìm số nghiệm của phương trình 1 2x +2 x = 3 A Có 2 nghiệm B Có vô số nghiệm C Có 1 nghiệm D Không có nghiệm

-

-

Ví dụ 10 Phương trình( 3− 2) (x+ 3+ 2) ( )x = 10 x có tất cả bao nhiêu nghiệm thực A 1 B 2 C 3 D 4

-

-

-

-