TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN, CÔNG THỨC đạo hàm, NGUYÊN hàm

Tài liệu CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN gồm I. Bảng công thức đạo hàm. II. Bảng công thức nguyên hàm III. Tích phân: công thức tích phân, các phương pháp tính tích phân IV. Ứng dụng tích phân: tính diện tích, thể tích vật thể tròn xoay.

I Bảng các đạo hàm

Đổi x thành u , nhớ nhân thêm u’

3. ' 1

x x 3. ' 1 '

u u u

4  ' 1

2

x

x

'

1 2

u

 5

'

2

   

 

'

' 2

.u

   

 

6. ' 1

ln x

x

 ,  ' 1

ln x

x

ln u u

u

 ,  ' 1 '

lnu u

u



7  ' ln ' 1 1

log

a

x x

  

  ,0 < a 1 7  ' ln ' 1 1 '

a

u

  

  , 0 < a 1

8. x ' x

.

u

u

e  e u

 '

.ln

x

x

a a a , 0 < a 1  ' '

.ln

u

u

a a a u 0 < a1

9. '

sinu cos u u

10  '

cosu  sin u u

11. ' 2

2

1 1

cos

tgx tg x

x

2

1

cos

u

2

1

sin

cotgx cotg x

x

2

1

sin

u

    

II Bảng các nguyên hàm

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp

thường gặp

Nguyên hàm của các hàm số hợp

(u = u(x))

1.dx1dx x C 1.du 1du u C

2

1

x

















3 1dx ln x C



4.e dx x e x C 4.e du u e u C

5

ln

x

x a

a

ln

u

u a

a

7.sinxdx cosxC 7.sinudu cosuC

8 (1 tan2 ) 12 tan x

os

c x

os

c u

sin

x

sin

u

10 sinkxdx coskx C

k

k

k0

11 coskxdx sinkx C

k

k

k0

12

kx

kx e

k

k

ln

kx b k  



Công thức NEWTON-LEIBNITZ: ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx  F x  F b  F a



Chú ý: ( )

b

a

f x dx

 chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân Vì vậy ta có thể viết

b a

F b F a F x  f x dx f t dt  f u du

Các qui tắc tính tích phân

a/ Đặt thừa số chung ra ngoài dấu tích phân , Đặt thừa số chung ra ngoài

b/ Tích phân của tổng 2 hàm số bằng tổng 2 tích phân, có cùng cận, do đó

có xu hướng phân tích thành tổng các tích phân nếu được

b

a

cdxc ba

a

a

f x dx



f x dx  f x dx

f x dx  f u du

g/ Phân chia cận lấy tích phân : ( ) ( ) ( )

f x dx  f x dx  f x dx

h/ Nếu f(x)  g(x), với mọi x thuộc [a; b], thì ( ) ( )

f x dx g x dx

dấu  còn được bảo toàn sau khi lấy tích phân 2 hàm số

Các phương pháp tính tích phân

III.1 Tra bảng nguyên hàm để tìm 1 nguyên hàm F(x), sau đó thay cận

vào (đối với tích phân dễ, đơn giản)

Ví dụ 1: Tính cos

0

sin

x







d(cosx)

1

nên cos

0

sin

x



0

(cos ) 1

e





0

(cos )

x



 (tra bảng e du u  e u C)

= - cos

0

x

e  = - (ecos ecos0)

Ví dụ 2: Tính

2

3 0

(1 3 ) x dx



3

d  x   dx  dx   

nên



(tra bảng

1

1

u











4

1 3

x

III.3.2 Phương pháp đổi biến, nhờ sử dụng bảng các vi phân, nhớ kèm đổi cận

Ngồi cách đổi biến nhờ vào bảng các vi phân, chú ý 2 cách đổi biến sau đây:

1

b

a

dx

x



 , đặt x = tgt, với t ( ; )

2 2

 

   2 2 2

2

1

( )

1

x

a



đặt x

a = tgt với t ( 2 2; )

 

 

 1 2

0

1x dx

 , đặt x = sint, với t [ ; ]

2 2

 

( )

1

a



, đặt x

a = sint, với t [ 2 2; ]

 

 

Ví dụ 1: Tính 1  2

3 2

0

Ví dụ 2: Tính

1

2 2

0(1 )

dx x





2

dt Đặt x tgt d(x) (1 tg t)dt

cos t





   



2 2

2

0

Do d x 3x 2 (2x 3) dx

Đặt t x 3x 2 dt 2x 3 dx

Khi

I e dt e dt tra bảng e du e C

   



  



  







2

2

4 0

(1 tg t)dt 1

(1 tg t) 1 tg t

1 (1+cos2t) dt 1 dt+ cos2t dt

tra bảng du u C,

1 dt+ cos2td(2t)

1 t 1sin 2t

4 0

1 1 sin2 sin 2.0

III.3.3 Phương pháp tích phân từng phần:

b a

udv  uv  vdu

b

a

vdu

 phải tính dễ hơn tích phân trước

Chứng minh:

b a

udv  uv  vdu

 

Ta có: uv u v uv

 

uv dx uv dx u vdx

b  ba b

udv uv vdu điều phải chứng minh

Các dạng sử dụng tích phân từng phần:

 ( ).cos

b

a

p x mxdx

b

a

p x mxdx

b

mx

a

p x e dx

2

1

( ).

cos

b

a

1 ( ).

sin

b

a

p x dx

x , với p(x) là đa thức, đều đặt u = p(x), suy

ra du = p’(x)dx nhằm hạ bậc được đa thức, dv là nhân tử cịn lại

b

a

p x xdx

 , đặt u = lnx, suy ra du =1

xdx nhằm mất ln, dv là nhân

tử cịn lại, (trong bảng nguyên hàm, khơng cĩ hàm số nào dưới dấu tích phân cĩ chứa ln cả)

Ví dụ 1:



I x sin xdx (có dạng P(x).sin xdx)

Ví dụ 2: Tính  3

1





2

Đặt

dv sin xdx v cos x

2

0 0

2

I x cos x 2 x cos xdx

cos 0 cos0 2 x cos xdx 2 x cos xdx











Đặt

dv cosxdx v sin x

2

0

I 2xsin x 2 sin xdx 2 sin 0sin 0 2 cos x

2





 













2

3 2

3

1

2

3 2

1

1

u ln x du = dx

dv 4xdx v 2x

1

I ln x.2x 2 x dx 2 3 ln3 1 ln1 2 xdx

x

x tra bảng xdx C

2 x

2

III.3.4 Tích phân hữu tỉ: b

a

P(x)

Q(x)

III.3.4.1 Nếu P(x)

Q(x) cĩ 1 trong các dạng     

1 1, x , 1 , 1 u

áp dụng bảng nguyên hàm để tính

III.3.4.2 Nếu P(x)

Q(x) chưa cĩ dạng nĩi trên (II.3.4.1) và bậc của P(x) < bậc của Q(x) thì tiến hành các bước sau:

Bước 1: Phân tích mẫu số Q(x) về dạng tích số

Bước 2:

 Phân tích P(x)

Q(x) về dạng tổng



0

x x



2

x 1

(x x )(x x )(x x ) x x x x x x

Ví dụ: 

2

(x 1)(x 3)(x 8) x 1 x 3 x 8

Tổng quát:



0

x x

3

IV Ứng dụng của tích phân

IV.1 Tính diện tích

IV.1.1 S là hình thang cong: có 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a,

x = b, b  a,

2 đáy cong là 2 đồ thị y = f(x), y = g(x), có diện tích cũng đặt là S, thì

b

a

S  f (x)g(x) dx

yêu cầu: diện tích S  0

IV.1.2 Chú ý 1: không thể tra bảng nguyên hàm khi còn trị tuyệt đối cho hàm

số dưới dấu tích phân, phải xóa dấu trị tuyệt đổi hoặc biến đổi sau cho tra được bảng nguyên hàm để tính được tích phân

Có các cách xoá trị tuyệt đối như sau: (dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối

 





neáu a 0

neáu a < 0

a

a

Cách 1: Xét dấu biểu thức f(x) - g(x), trong miền a  x  b

Cách 2: Dựa vào tính chất: (không được SGK giới thiệu)

Nếu ở bên trong miền giữa 2 đường thẳng x = a, x = b, 2 đường cong

y = f(x), y = g(x) không có giao điểm nào, thì đưa được ttrị tuyệt đối ra ngoài

S

y = f(x)

b

a

y

y = g(x)

dấu tích phân: S = ( ) ( )

b

a

f x g x dx

b

a

f x g x dx

trước rồi lấy trị tuyệt đối sau)

Cách 3: Vẽ hình miền tính diện tích  S = ( ) ( )

b

a

f x  g x dx

hình vẽ xố trị tuyệt đối:



( ) ( ) nếu đồ thị ( ) trên đồ thị ( ) ( ) ( )

( ) ( ) nếu đồ thị ( ) trên đồ thị ( )

f x g x

(do a b = số lớn hơn trừ số nhỏ hơn)

II.1.3 Chú ý 2: S là hình thang cong: cĩ 2 đáy song song là 2 đường

thẳng y = c, y = d,

2 đáy cong là 2 đồ thị x = f(y), x = g(y), d > c

,cĩ diện tích cũng đặt là S, thì

d

c

S  f (y)g(y) dy

(xem y là biến số, x là hàm số )

Ví dụ 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

x  x  y   x y  x  là

S  (3x 9)(x 1) dx   3x  x 10dx

Xét dấu 2

3x   x 10trên [0; 1]

Ta cĩ:   b2 4ac ( 1)  2 4.3.10  119 0

S

O

x = g(y)

x = f(y)

d

c

 

 

1 2

0

f(x) cùng dấu với a x R

mà a 3 0

f(x) 0 x R f(x) 0 x [0;1]

1 10 (đơn vị diện tích)

Ví dụ 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x  y  y   x

Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm giữa y  2 và x y   3 xlà

2x   3 x (1)

Ta cĩ: y  2 là hàm tăngx

  3 là hàm giảm

nên 2x   3 x cĩ 1 nghiệm duy nhất

Mặt khác: 1

2    3 1 1là nghiệm của phương trình (1)

 phương trình (1) cĩ 1 nghiệm duy nhất là x = 1

 diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x  0, y  2 ,x 3

y   xlà

S  (3x)2 dx   3 x 2 dx

Hình vẽ

1 2 3 1

2 3

x y

O

y=3-x

y = 2 x

1

x

x

0

x tra bảng x dx C

1

3 dx xdx 2 dx

a

ln a









2 ln 2 2 ln 2

Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

3

y x x và y   x2  x

Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm giữa hai đường cong là

3    2 

2

0 0

1

2







  

x x

x

x

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là

1

S   x x 2x dx

Hình vẽ

-6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

O

y = x - x 2

y = x 3 - x



1

x tra bảng x dx C

1

1(0 ( 2) ) 1(0 ( 2) ) (0 ( 2) )

1(1 0 ) 1(1 0 ) (1 0 )

8 5 37 (đơn vị diện tích)

3 12 12







Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

2

1

1

 

y

x , đường thẳng 1

2

 

y và đường thẳng 1

2



y

Giải

1

y

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

1 2

1 2





1 2

1 2

1

1 y









Hình vẽ

-1.5 -1 -0.5

0.5 1 1.5

O

x y

 

1 2

1 2

1 2 1 2

1

1 y

2 6 2 (đơn vị diện tích)





 





              



Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 ,

0



y , y   2 x

Giải

Hình vẽ

1 2

x y

O

y = x 2

y = 2 - x

y = 0

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

1

x tra bảng x dx C

1







 

1 2 3 5 ñôn vò dieän tích

   

IV.4.2 Tính thể tích: Cho Vật thể V

- cắt V bởi các mặt phẳng vuông góc với trục

Ox

- mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có

toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích là

S(x)

- mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có toạ độ x, cắt V theo thiết diện có diện tích

là S(x) khi a  x  b

thì

b

a

V   S(x)dx

Hệ quả: Tính thể tích vật thể tròn xoay:

 D là hình thang cong có + 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a,

x = b, b > a ,

+ 1 đáy cong là đồ thị y=f(x), + 1 đáy nằm ngang là đường thẳng Ox

có phương trình y=0

cho miền D quay quanh trục Ox ,

gây nên 1 vật thể V,có thể tích đặt là V, thì

b 2

a

V  f (x)dx

 D là hình thang cong có

+ 2 đáy song song là 2 đường thẳng y = c,

y = d, d > c,

+ 1 đáy cong là đồ thị x=f(y), + 1 đáy nằm ngang là đường thẳng Oy có

phương trình x = 0

cho miền D quay quanh trục Oy ,

gây nên 1 vật thể V,có thể tích đặt là V, thì

b

 

y

x

O

D

c

d

y

S(x)

x S(x)

x

x

O

y

y

a

D

b

x

Hệ quả: Miền D giới hạn bởi 4 đường:

+ 2 đáy song song là 2 đường thẳng x = a,

x = b, b > a , + 2 đáy cong là 2 đồ thị y = f(x), y = g(x)

nằm cùng phía với trục quay Ox ,

cho miền D quay quanh trục Ox, gây nên 1 vật thể V, có thể tích cũng là V, thì

( ) ( )

b

a

V    f x  g x dx

Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn

bởi các đường sin , 0, 0,

4



y x y x x khi nó quay xung quanh trục Ox

Giải

Hình vẽ

π/2

π/2

x

y

O

y = sinx

y = 0

x = 0

 /4

2 2

Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là

y

x

O

y = f(x)

y = g(x)

 

1 đơn vị thể tích

2 4 2

 

Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy của

đường thẳng giới hạn bởi các đường

2

2

Giải

Hình vẽ

1 2 3 4

x y

O

y = 2

y = 4

x = 0

2

x y 2



2

2

2 2

4 2

2

x

2 mà x f(y)

thể tích của vật thể cần tìm là

x V= 2ydy 2 ydy tra bảng xdx C

2 y

2

12 đơn vị thể tích

