Rèn luyện kĩ năng sử dụng đồ thị hàm số thông qua một số chủ đề của giải tích lớp 12

Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học; học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, phát triển giáo dụ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

Nghị quyết 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ 8của BCH TW Đảng khóa XI và trong Nghị quyết Đại hội Đảng khóa XII năm 2015

đã tiếp tục khẳng định và chỉ đạo đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo để

nâng cao chất lượng giáo dục đã nêu rõ: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học; học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, phát triển giáo dục đào tạo phải gắn với nhu cầu phát triển kinh tế xã hội” Nghị quyết 88/2014/QH13

ngày 28 tháng 11 năm 2014 của Quốc hội về đổi mới chương trình, sách giáo khoa

phổ thông cũng đã xác định mục tiêu đổi mới, đó là “Đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển cả về phẩm chất và năng lực , hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh” Cách tiếp cận này đặt ra mục tiêu căn

bản trong giai đoạn hiện nay là giúp cho học sinh có thể làm gì sau khi học, chứkhông tập trung vào việc xác định học sinh cần học những gì để có được kiến thứctoàn diện về các lĩnh vực chuyên môn Trong rất nhiều các giải pháp nhằm nângcao chất lượng đào tạo thì giải pháp đổi mới phương pháp dạy học được xem làthen chốt Các thành tựu nghiên cứu giáo dục học và tâm lí học hiện đại đã chothấy người học thay vì chỉ nghe giáo viên thuyết giảng, cần phải có cơ hội tham giacác hoạt động giáo dục có tính tương tác để phát triển các năng lực quan yếu Đây

là xu hướng tất yếu, đáp ứng yêu cầu giáo dục và đào tạo con người trong bối cảnhkhoa học và công nghệ phát triển với tốc độ chưa từng có và nền kinh tế tri thứcđóng vai trò ngày càng quan trọng đối với mỗi quốc gia Quá trình dạy học lấyngười học làm trung tâm nhất thiết phải xem xét người học tiếp cận vấn đề này nhưthế nào, có ích gì trong đời sống?

Cụ thể hóa các Nghị quyết của Đảng và Nhà nước, Bộ Giáo dục và Đào tạo

đã xây dựng chương trình quốc gia bồi dưỡng, phát triển nhân tài giai đoạn

2008-2020 với các tiêu chí cụ thể như: Củng cố, xây dựng và phát triển các trườngTHPT chuyên trong cả nước; Xây dựng, nâng cao chất lượng nhà giáo và cán bộquản lý giáo dục; Tạo chuyển biến cơ bản về chất lượng giáo dục; Mở rộng quy

mô liên kết đào tạo cử nhân tài năng, kỹ sư chất lượng cao giữa các trường THPTchuyên và các trường Đại học trong nước, ở nước ngoài Đối với môn Toán phổthông, chương trình giáo dục phổ thông môn Toán ( được ban hành theo Thông tư

số 32/2018/TT-BGDĐT) nêu rõ “Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực Toán học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: Năng lực tư duy

và lập luận toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực phát hiện và giải

quyết các vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện toán học” Trong đó năng lực phát hiện và giải quyết các vấn đề toán

học có vai trò hết sức quan trọng, nó góp phần giáo dục cho người học cách pháthiện vấn đề, để từ đó đưa ra các phương án giải quyết vấn đề một cách tối ưu nhất.Cũng trong chương trình môn Toán của Giáo Dục Phổ Thông , có nhiều điểm mới

đáng chú ý , trong đó có một điểm đáng chú ý là “ quán triệt tinh thần dạy học theo hướng cá thể hóa người học trên cơ sở đảm bảo đa số học sinh đáp ứng được yêu cầu cần đạt trong chương trình; đồng thời chú ý đến các đối tương chuyên biệt Đối với bậc THPT, môn Toán có hệ thống chuyên đề học tập chuyên sâu và các nội dung học tập giúp học sinh nâng cao kiến thức , kĩ năng thực hành, phát hiện và giải quyết các vấn đề gắn với thực tiễn”.

Ủy ban nhân dân tỉnh Nghệ An đã có kế hoạch số 306/KH-UBND ngày23/5/2019 triển khai thí điểm xây dựng các trường trung học trọng điểm chất lượngcao trên địa bàn tỉnh Nghệ An giai đoạn 2019-2023 nhằm các mục đích: xây dựng

mô hình tiên tiến, hiện đại và hội nhập, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh vàyêu cầu của xã hội, tiếp cận được với giáo dục các nước trong khu vực và quốc tế,đảm bảo bản sắc dân tộc; tham gia đào tạo đội ngũ học sinh năng động, có nănglực sáng tạo, thực hành, ngoại ngữ và tin học đáp ứng nhu cầu nhân lực, nhất lànhân lực chất lượng cao phục vụ sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước

và hội nhập quốc tế; tạo điều kiện để một số cơ sở giáo dục trở thành nhân tố tiênphong, nòng cốt, đi đầu thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới, tạo sứclan tỏa, ảnh hưởng tích cực đến các trường trung học trên địa bàn, góp phần quantrọng trong việc thực hiện các mục tiêu giáo dục của tỉnh nhà

Bên cạnh đó, Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng đang trong quá trình xâydưng để trở thành trường chuẩn tiên tiến chất lượng cao, đáp ứng nhu cầu hội nhậpquốc tế và cung cấp nguồn nhân lực chất lượng cao cho các trường Đại học lớntrong và ngoài nước Trong quá trình đổi mới, xây dựng nhà trường thành trườngtiên tiến chất lượng cao cấp quốc gia, ngang tầm khu vực và quốc tế , đáp ứng yêucầu giáo dục phổ thông toàn diện, tạo nguồn nhân lực chất lượng cao, nhân tài choquê hương đất nước đã chọn nội dung công việc thiết yếu, đó là: Xây dựng đội ngũcán bộ quản lý, giáo viên, nhân viên đủ, cân đối, chất lượng cao; Xây dựng cơ sởvật chất khang trang, đáp ứng đầy đủ nhu cầu học tập, rèn luyện của học sinh vànhu cầu nghiên cứu giảng dạy, sinh hoạt của cán bộ, giáo viên và nhân viên nhàtrường; Xây dựng chương trình gồm chương trình chuẩn phổ thông, chương trìnhdạy học môn năng khiếu, chương trình quốc tế, chương trình kỹ năng sống, trảinghiệm… Trong đó, để đảm bảo tính bền vững của chất lượng giáo dục của nhàtrường trước hết, cần thiết phải nâng cao chất lượng giáo dục mà đổi mới phươngpháp giảng dạy ở đội ngũ giáo viên nhằm đáp ứng mục tiêu, yêu cầu của sự pháttriển nhà trường hiện nay giữ vai trò cốt yếu

2

Để đáp ứng các yêu cầu trên, trên cơ sở trực tiếp giảng dạy môn Toán tạiTrường THPT Huỳnh Thúc kháng chúng tôi đã gặp không ít khó khăn Nhằm khắcphục phần nào những khó khăn, hạn chế đã nêu trên, chúng tôi lựa chọn và viết

sáng kiến kinh nghiệm với đề tài : “ Rèn luyện kĩ năng sử dụng đồ thị hàm số thông qua một số chủ đề của Giải tích lớp 12 ”.

2 Mục đích và cơ sở nghiên cứu

- Trang bị thêm cho học sinh các kĩ năng mới để giải quyết nhanh các bài toán trong một số chủ đề đại số và giải tích 12

- Khai thác, ứng dụng các kiến thức cơ bản về đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai đã được học ở các lớp dưới và đồ thị của hàm số ở lớp 12

- Nâng cao năng lực tư duy, rèn luyện kỹ năng sáng tạo Bước đầu hìnhthành cho các em học sinh thế giới quan khoa học, chỉ cho các em phương pháptìm hiểu mối liên hệ mật thiết giữa các phần trong các nội dung, chương trình mônToán bậc THPT, mối liên hệ giữa kiến thức sách giáo khoa và thực tiễn cuộc sống

- Phát triển tư duy sáng tạo cho các em học sinh, đáp ứng các yêu cầu trongNghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số29-NQ/TW) cũng như trong các yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông năm

2018 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu côngnghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủnghĩa và hội nhập quốc tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Kiến thức về Giải tích THPT thuộc Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11,Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản và nâng cao)

4 Phương pháp nghiên cứu

-Trên cơ sở kiến thức Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản) chúng tôi xâydựng, khai thác, phát triển, sắp sếp các vấn đề, lồng ghép vào các ví dụ (được thamkhảo từ đề thi THPTQG, đề minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo hàng năm, đềthi thử của các trường, sở giáo dục trong cả nước để phân chia thành các dạng toán

cụ thể( theo một tiêu chí cụ thể nào đó) theo các mức độ để phù hợp với từng nhucầu, năng lực của các em học sinh

-Tham khảo bài viết của các đồng nghiệp trong và ngoài nước ở các tạp chí

có nội dung liên quan đến đề tài

-Trao đổi với các đồng nghiệp ở Tổ Toán-Tin-Văn phòng ở Trường THPTHuỳnh Thúc Kháng và một số đơn vị bạn trong và ngoài tỉnh có quan tâm đến vấn

đề này để đề xuất biện pháp tiếp cận lời giải các bài toán, triển khai đề tài

-Trao đổi, thảo luận và phối hợp trực tiếp với các em học sinh chúng tôi trựctiếp giảng dạy ở Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng để kiểm nghiệm và rút kinhnghiệm.

5 Khả năng ứng dụng và triển khai kết quả

-Đề tài có thể dùng làm tài liệu tham khảo, học tập cho các em học sinh lớp

11 và 12 (THPT) có nhu cầu, đam mê, năng khiếu về bộ môn Toán trong và ngoàitrường

-Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên giảng dạy bộ mônToán bậc THPT

Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các học viên Cao học, Nghiên cứusinh chuyên nghành Phương pháp giảng dạy Toán

-Đề tài có thể ứng dụng để phát triển thành mô hình sách tham khảo tronglĩnh vực này để phục vụ công tác giảng dạy của giáo viên, công việc học tập chohọc sinh và công tác nghiên cứu của các nhà giáo dục

- Mặc dù đã rất cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn không tránh khỏithiếu sót Rất mong được sự đóng góp ý kiến của của các độc giả để bản thân tôingày càng hoàn thiện hơn và đạt được nhiều kết quả tốt hơn nữa trong việc giảngdạy môn Toán THPT nói chung và giảng dạy phần Giải tích THPT nói riêng Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

4

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I CHỦ ĐỀ VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Kĩ năng 1: Hàm số bậc ba đơn điệu trên một khoảng

Trước hết, chúng tôi xét ví dụ là một câu trong đề thi thử và lời giải thông thường được các giáo viên và sinh viên giải như sau:

Ví dụ 1: (SỞ GD&ĐT CẦN THƠ NĂM 2018-2019) Tất cả giá trị của tham số

thực m sao cho hàm số y  x 3  2 mx 2   m  1 x 1 nghịch biến trên khoảng



5

Bình luận: Cả hai lời giải trên đều là các cách cơ bản, nhưng chúng ta thấy đều rất

dài dòng và tính toán khá phức tạp dẫn đến có thể dẫn đến nhiều sai sót cho họcsinh Sau đây chúng ta tiếp cận cách dung đồ thị để suy ra được điều kiện yêu cầucủa bài toán

Xét bài toán tổng quát

nguyên của tham số m để hàm số y   x3  3  m  2  x 2  3  m 2  4 m  x

1 đồngbiến trong khoảng 0;1?

7

Lời giải tham khảo trên mạng

Vì m nguyên nên m 3; 2;1;0 Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị

Vì m nguyên nên m 3; 2;1;0 Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

Ví dụ 3: (SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 02) Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m thuộc đoạn   10;10 để hàm số

y  x3  3x2  3mx  2019 nghịch biến trên khoảng 1;2 ?

8

Lời giải tham khảo trên mạng

     m  0

10

Ví dụ 2 (SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH NĂM 2018-2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên

dương của tham số m để hàm số y  x 4 

Bảng biến thiên g  x   2x2 trên 2;  :

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m  8.

Vì m nguyên dương nên m 1;2;3;4;5;6;7;8

Vậy số giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn YCBT: 8.

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị

+ TXĐ: D  Ta có: y   4x 3  2mx

Hàm số đồng biến trên 2;   4x 3  2mx  0 , x   2; 

12

Yêu cầu bài toán: 4 m

14

Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số y  2x  m

15

Kĩ năng 3 Hàm chứa trị tuyệt đối f( x, m)

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để hàm số y  2 x 3  mx  1

biến trên khoảng 1;?

A. 2. B. 6. C. 3. D. 4

Lời giải tham khảo trên mạng

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 2019;2019 của tham số thực

19

Lời giải sử dụng kết quả suy ra từ đồ thị

Câu 1. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số

y   x3  6 x 2  4 m  2  x  2 m  6 nghịch biến trên khoảng ;0 là

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7.

20

Câu 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn 9;9 của tham số m để hàm số

 3 m  3 x 2 , x 1;   

 m  3 Vậy có 3 giá trị nguyên

âm

21

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số nguyên m  

22

Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là  '  9  3m 2  0   3 

m   3 Điểm uốn của đồ thị hàm số là I  1;  m2  m  2

Yêu cầu bài toán  I  Ox   m 2  m  2  0  

Bình luận: Nếu chúng ta giải theo cách thông thường là xác định tọa độ các điểm

cực trị và cho trung điểm thuộc trục hoành thì khối lượng tính toán nhiều, mất thờigian và học sinh dễ tính sai

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   x 3  ax 2  bx  c có hai điểm cực trị x1 , x2thỏa

23

Nhận xét: Khi tịnh tiến sang trái hay sang

phải đi m đơn vị thì giá trị hàm số tại các

điểm cực trị không thay đổi, hệ số của bậc

cao nhất của hàm số không thay đổi

Xét hàm số f ( y )  y 3  p y  q

Yêu cầu bài toán  (1) có ba nghiệm phân biệt  (2) có ba nghiệm phân biệt 

 hàm số f ( y ) có hai cực trị trái dấu

Câu 1 Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx (1) Đồ thị hàm số (1) có các điểm cực

đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2 y – 5  0 Giá

trị nào của m gần nhất với giá trị nhào sau đây?

III CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN

ĐẾN TƯƠNG GIAO HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

Kĩ năng 1: Sử dụng tâm đối xứng, trục đối xứng

Tính chất 3 điểm thẳng hàng thuộc đồ thị hàm số bậc 3 sao cho 1 điểm cách đều hai điểm còn lại thì điểm nằm giữa là điểm uốn của đồ thị hàm số

Tính chất của đồ thị hàm số bậc nhất là nhận giao hai tiệm cận làm tâm đối xứng và phân giác của hai đường tiệm cận làm trục đối xứng.

a) Trong đồ thị, tương giao

25

Lời giải

Dễ thấy A thuộc trục đối xứng của đồ thị C  , trục đối xứng này hợp với 2 trụctọa độ góc 450, tam giác ABC vuông cân và nhân trục đối xứng làm phân giác nên AB//Oy Do đó AB : x  2

Ta có y B 4 , AB4 4 16 BC 16 2

Bình luận: Lời giải đã khéo léo sử dụng tính chất đối xứng của đồ thị đề giải quyếtbài toán một cách ngắn gọn, nếu giải theo cách thông thường thì bài toán trở nên dài và phức tạp

Ví dụ 2: Biết đường thẳng  : y   3m  1 x  6m  3 cắt đồ thị hàm số

y  x 3  3 x 2 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao

điểm còn lại Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

Do hàm số bậc ba nhận I 1; 1 làm tâm đối xứng vì vậy Suy

ra đường thẳng  : y   3m  1 x  6m  3 đi qua I 1; 

1

1

Do đó 1  3m  1  6m  3  m  

Thử lại thấy thỏa mãn Chọn B.

b) Trong phương trình, bất phương trình

Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d , a , b, c, d  , a 

 0 có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

26

Tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

1biệt thỏa mãn x1  x2  x3   x4

là 2

f x   m có bốn nghiệm phân

Từ đó dễ thấy yều cầu bài toán tương đương với 1

Khi đó ta có 1  4   2  m  m  1

Với m  1 thì ( x 2  2 x  2) 3  4 x 2  2 x  2  2 x 2  4 x 1

27

Một số bài vận dụng

Câu 1 Gọi S là tập các giá trị m để đồ thị hàm số y  x 3  3mx 2  6 mx  8 cắt

trục hoành tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho B là trung điểm của AC Tìm tổng tất cả phần tử trong S

Câu 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng ( d ) : y  mx

cắt đồ thị của hàm số y  x 3  3 x 2  m  2 C  tại ba điểm phân biệt A, B ,

C sao cho ABBC

A m 1; B m  ;3 C m  ; 1 D m  ; 



Câu 3. Cho phương trình a cos   x    x   2  x Có bao nhiêu giá trị thực

của tham số a thuộc đoạn 2018;2018 để phương trình có đúng một nghiệm thực?

A. 1. B. 2018 C. 0. D. 2

Câu 4 Cho phương trình x 4  mx 3  4m 2 x 2  mx  1  0 có 3 nghiệm phânbiệt Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m thuộc đoạn  2018;2018 đểphương trình có đúng một nghiệm thực?