Tính di n tích hình thang vuông EE’F’F theo a.
Trang 1S GD- T BÌNH PH C KÌ THI TUY N SINH VÀO TR NG THPT CHUYÊN
QUANG TRUNG N M H C 2009-2010
Th i gian: 150 phút (không k th i gian giao )
Bài 1 (2,5 i m)
a) Gi i ph ng trình: 2 2 4 8 2
x
b) Cho x, y là hai s nguyên d ng th a mãn h ph ng trình 2 2 71
880
+ + =
xy x y
Bài 2 (3,0 i m)
a) M t máy bay tr c th ng có v n t c 280 km/h Máy bay bay t A n B cách nhau 960 km
Khi bay t A t i B do b gió c n nên th i gian bay ph i nhi u h n m t gi so v i th i gian bay
t B n A (do c gió y) Tìm v n t c c a gió
b) Cho parabol (P): = − và ng th ng (d): = − − Ch ng minh r!ng (d) luôn c"t
(P) t#i hai i m phân bi t A, B khi m thay $i G%i l&n l t là hoành c a A và B Xác
nh m + #t giá tr nh nh't và tính giá tr nh nh't này
Bài 3 (1,5 i m)
a) Tìm các s nguyên không âm x, y th a mãn ng th c = + +
b) Cho > ≥ Ch ng minh r!ng + ≥
− + D'u “=” x y ra khi nào?
Bài 4 (2,0 i m)
Cho n(a ng tròn ng kính AB = 2a Trên o#n AB l'y i m M Trong n(a m)t ph ng
b AB ch a n(a ng tròn ta k* hai tia Mx, My sao cho = = Tia Mx c"t n(a
ng tròn t#i i m E, tia My c"t n(a ng tròn t#i i m F K* EE’ và FF’ vuông góc v i AB
l&n l t t#i E’ và F’
a) Cho = Tính di n tích hình thang vuông EE’F’F theo a
b) Khi i m M di ng trên AB Ch ng minh r!ng ng th ng EF luôn ti p xúc v i m t
ng tròn c nh
Bài 5 (1 i m)
Cho ng tròn (C) V+ hai dây cung AB, EF c"t nhau t#i i m I, v i I n!m trong ng tròn
G%i M là trung i m c a BF, MI kéo dài c"t AE t#i i m N Ch ng minh r!ng =
H t
H% và tên thí sinh: ……… S báo danh: ………
H% và tên giám th 1: ……… Ch- kí: …………
H% và tên giám th 1: ……… Ch- kí: …………
CHÍNH TH.C
Trang 2S GIÁO D C VÀ ÀO T O T NH BÌNH PH C
MÔN TOÁN CHUYÊN N M H C 2009-2010
Bài 1 (2,5 i m)
x
Gi i
+) K: − ≥ ⇔ ≥
≤ −
+) t = − , k: ≥
Ph ng trình tr thành: + + = − +
=
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + − = ⇔
= − +) V i = ta có: − = ⇔ = ⇔ = ±
+) KL: T p nghi m c a ph ng trình là: = −
880
+ + =
xy x y
Gi i
= H ph ng trình tr thành
71 880
+ =
=
S P
Gi i h ph ng trình hai n S, P này ta có:
=
=
=
= +) V i =
= ta có x, y là các nghi m c a ph ng trình:
=
− + = ⇔
= V y h
ph ng trình ã cho có hai nghi m là =
= và
=
= ( u tho mãn i u ki n x, y là hai s nguyên d ng) C hai nghi m u cho B có cùng m t giá tr là B = 146
+) V i =
= ta có x, y là các nghi m c a ph ng trình: − + = D th y ph ng trình không có nghi m nguyên d ng nên không tho mãn bài toán
+) KL: = + =
Trang 3Bài 2 (3,0 i m)
a) M t máy bay tr c th ng có v n t c 280 km/h Máy bay bay t A n B cách nhau 960 km Khi bay t A t i B do b gió c n nên th i gian bay ph i nhi u h n m t gi so v i th i gian bay
Gi i
+) G i x là v n t c c a gió, i u ki n < <
+) Ta có v n t c c a máy bay khi bay t A n B là: 280 – x th i gian c a máy bay bay t A n
B là
−
+) Ta có v n t c c a máy bay khi bay t B n A là: 280 + x th i gian c a máy bay bay t B n
A là
+
+) Theo gi thi t ta có ph ng trình: = + ⇔ + − = ⇔ =
+) KL: V n t c c a gió là 40 km/h
Gi i
+) Ph ng trình hoành giao i m c a (d) và (P): − = − − ⇔ + − − = , (*) +) Ta th y ph ng trình b c hai (*) có ∆ = + + = + + > ∀ ∈ Do ó (*) luôn có
hai nghi m phân bi t (d) luôn c t (P) t i hai i m phân bi t A và B v i m i m
+) Áp d ng nh lí Viét ta có: + = −
= − −
D u “=” x y ra ⇔ = −
+) KL: Giá tr nh nh t c a bi u th c + là –16, t c khi = −
Bài 3 (1,5 i m)
Gi i
+) T gi thi t ta có = − + < , (1)
+) Ta s i ch ng minh + ≤ +
Th t v y ta có: + ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + ≥ , luôn úng vì ≥
+ + ≤ + + = + , (2) ng th c x y ra ⇔ =
+) T (1) và (2) ta có: < = + + ≤ + Vì + là hai s chính ph ng nên ta có
= + + = + = và x = 1
+) KL: V y =
= là c p s không âm tho mãn bài toán
Trang 4b) Cho > ≥ Ch#ng minh r$ng + ≥
Gi i
Cách 1 (Áp d ng k thu t ch n i m r i)
+) Áp d ng B T Cô Si cho 4 s d ng − + +
− + ta có:
+ +
+) ng th c x y ra − = + = ⇔ =
Cách 2 (Chuy n v B T m t bi n)
+) Ta có B T ã cho ⇔ − + ≥ −
− + +) Áp d ng B T Cô Si cho 2 s d ng −
− + ta có:
+) ch ng minh B T ã cho ta s i ch ng minh ≥ −
+ , (*)
Ta có (*)⇔ ≥ −( )( + ⇔) − + ≥ ⇔ − ≥ , (luôn úng) B T ã cho là úng +) ng th c x y ra ⇔ − = − + ⇔ =
=
− =
Cách 3 (Bi n !i t ng ng r"i s# d ng B T Cô Si d ng tích)
+) B T ã cho ⇔ ≥ − ⇔ − + ( − ≤ ⇔) − + ( − )≤
+) Áp d ng (**) ta có: − + ( − )≤ − + + + + + −( ) =
V y (*) úng B T ã cho c ch ng minh
+) ng th c x y ra ⇔ − = + = − ⇔ =
=
Cách 4 (S# d ng B T Cô Si)
+) Áp d ng B T Cô Si cho 4 s d ng + + − − ta có:
Trang 5( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+) ng th c x y ra ⇔ − = + = − ⇔ =
=
Bài 4 (2,0 i m)
t&i E’ và F’
ng tròn c nh
Gi i a) Tính di n tích hình thang vuông EE’F’F theo a
G i C, D l$n l t là giao i m c a EE’ và FF’ v i n#a
d i c a ng tròn, g i H là hình chi u vuông góc
c a O trên CF D th y MCE và MDF là các tam giác
u
+) Xét ∆ ta có: = = =
+) Xét ∆ ta có: = − = − =
CF = 2HF =
+) M t khác ta có: = =
+) Ta có = −( + )= −( + )=
+) K% ⊥ ta có = = =
+) Vì O c nh và = không !i nên I luôn ch y trên ng tròn tâm O bán kính =
Mà ⊥ ti p xúc v i ng tròn này
+) KL: Khi M thay !i thì EF luôn ti p xúc v i ng tròn tâm O bán kính =
H
C
D
F' M
I
O E'
F E
B A
Trang 6Bài 5 (1 i m)
Gi i
+) Ta có hai tam giác IMB và IMF có di n tích b&ng
nhau (chung ng cao và c nh áy MB = MF)
+) Ta có hai tam giác IAN và IEN có chung ng cao
= , (*)
+) M t khác ta có =
t (*) và (**) ta có = , (1)
+) Ta có ∆ ∆ − = , (2)
Thay (2) vào (1) ta có = , ( pcm)
H t
GV: Ph&m V n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung
O I
N
M F
E B
A