b Ch ng minh r ng tam giác AKM cân.
Trang 1S GD- T BÌNH PH C KÌ THI TUY N SINH VÀO TR NG THPT CHUYÊN
QUANG TRUNG N M H C 2009-2010
Th i gian: 120 phút (không k th i gian giao )
Bài 1 (2 i m)
a) Tính A= 8 2 15 − − 8 2 15 + + 12
b) Gi i ph ng trình: x− − = −1 x 3
Bài 2 (2 i m)
Cho ph ng trình b c hai: − +x2 2mx− 2m+ = 3 0, (v i m là tham s )
a) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m x x1, 2 tho − +x1 2x x1 2− =x2 10
b) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t
Bài 3 (2 i m)
Nhà H ng có m t khu v n tr ng cây b p c i V n c ánh thành nhi u lu ng, m i lu ng
c tr ng cùng m t s cây b p c i H ng tính r ng: n u t ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i lu ng
tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s gi m i 54 cây N u gi m i 4 lu ng, nh ng m i lu ng tr ng t ng
thêm 2 cây thì toàn v n s t ng thêm 32 cây H i v n nhà H ng có bao nhiêu cây b p c i
Bài 4 (3,5 i m)
Cho tam giác nh n ABC n i ti p trong ng tròn tâm O Phân giác trong c a góc A c t BC t i D và
c t ng tròn t i E G i K, M l n l t là hình chi u c a D trên AB và AC
a) Ch ng minh r ng t giác AMDK n i ti p ng tròn
b) Ch ng minh r ng tam giác AKM cân
c) Cho BAC=α Ch ng minh r ng MK = AD.sinα
d) Ch ng minh r ng S AKEM =S ABC, v i S AKEM và S ABC l n l t là di n tích c a t giác AKEM và tam
giác ABC
Bài 5 (1 i m)
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 3 22 5
1
x P x
+
= +
H t
H và tên thí sinh: ……… S báo danh: ………
H và tên giám th 1: ……… Ch kí: …………
H và tên giám th 1: ……… Ch kí: …………
CHÍNH TH C
Trang 2S GIÁO D C VÀ ÀO T O T NH BÌNH PH C
H NG D N GI I THI VÀO TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
MÔN TOÁN CHUNG N M H C 2009-2010
Bài 1(2 i m)
a) Tính A= 8 2 15 − − 8 2 15 + + 12
Gi i
= 5− 3−( 5+ 3)+2 3 0=
b) Gi i ph ng trình: x− − = −1 x 3
Gi i
3
2( )
x
≥
+) KL: Ph ng trình ã cho có m t nghi m là x = 5
Bài 2(2 i m)
Cho ph ng trình b c hai: − +x2 2mx− 2m+ = 3 0, (v i m là tham s )
a) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m x x1, 2 tho − +x1 2x x1 2− =x2 10
Gi i
x x ⇔ ∆ =m − m+ ≥ ⇔ m− + ≥ , (luôn úng v i m i m) +) Theo nh lí Viet ta có: 1 2
1 2
2
x x m
x x m
+ =
= − Thay vào gi thi t − +x1 2 x x1 2− =x2 10 ta có: − 2m+ 2(2m− = 3) 10 ⇔ 2m= 16 ⇔ =m 8
+) i chi u v i i u ki n có nghi m ta có giá tr m th a mãn bài toán là m = 8
b) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t
Gi i
+) Ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t
2
2
m
Bài 3(2 i m)
Nhà H ng có m t khu v n tr ng cây b p c i V n c ánh thành nhi u lu ng, m i lu ng
tr ng c cùng m t s cây b p c i H ng tính r ng: n u t!ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i
lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s" gi m i 54 cây N u gi m i 4 lu ng, nh ng m i lu ng
tr ng t!ng thêm 2 cây thì toàn v ng s" t!ng thêm 32 cây H#i v n nhà H ng có bao nhiêu cây b p c i
Gi i
+) G i x là s lu ng rau và y là s cây trên m t lu ng rau, i u ki n x, y là các s nguyên d ng +) Ta có s cây trên v n rau ban u là x.y
+) N u t ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s gi m i 54 cây
Ta có ph ng trình: (x+ 8)(y− = 3) xy− 54 ⇔ − + 3x 8y= 30, (1)
Trang 3+) N u gi m i 4 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng t ng thêm 2 cây thì toàn v n s t ng thêm 32 cây Ta có ph ng trình: (x− 4)(y+ = 2) xy+ 32 ⇔ −x 2y= 20, (2)
+) T (1) và (2) ta có h ph ng trình 3 8 30 50
⇔
x y y , (tho mãn i u ki n)
+) KL: V n rau nhà H ng có 750 cây b p c i
Bài 4(3,5 i m)
b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân
d) Ch(ng minh r ng S AKEM =S ABC, v i S AKEM và S ABC l'n l t là di n tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC
Gi i
Xét t giác AKEM ta có AKE AME+ = 90 0 + 90 0 = 180 0 t giác
AMDK n i ti p ng tròn ng kính AD, có tâm là trung i m I
c a AD
b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân
Trong ng tròn ngo i ti p t giác AMDK ta có: = ,
(vì theo gt ta có AD là phân giác c a )
Mà AD là ng kình ⊥ và AD i qua trung m H c a
KM ∆ cân nh A
+) Trong ng tròn ngo i ti p t giác AKDM ta có = , (góc n i ti p và góc tâm cùng
ch n m t cung), mà = = =α
+) Xét tam giác vuông IKH ta có: = α, mà = , = MK =AD.sinα, ( pcm)
d) Ch(ng minh r ng S AKEM =S ABC, v i S AKEM và S ABC l'n l t là di n tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC
Cách 1
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α , (1) +) M t khác ta có ∆ ∆ − = ⇔ = Thay k t qu này vào (1) ta
H
I
K
E
B
A
Trang 4Cách 2
+) G i B’ là i m i x ng v i B qua AE, vì AE là phân giác c a
giác DECB’ n i ti p (vì + = +
+) T giác DECB’ n i ti p = mà AB = AB’
nên ta có =
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên
α
Cách 3
+) Ta có ∆ = ∆ + ∆ = +
+) M t khác ta có = = Do ó ∆ = +
+) M t khác ta c ng có h th c + = , (b n c t ch ng minh)
+) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α , (2)
T (1) và (2) ta có S AKEM =S ABC, ( pcm)
Cách 4
+) G i AX là ng cao c a tam giác ABC, g i Y là giao i m
c a AX v i ng th ng qua E và song song v i BC G i K’ và
M’ l n l !t là hình chi u c a E trên AB và AC
+) M t khác ta có K’M’ chính là ng th ng Simson c a tam
giác ABC i v i i m E, do ó K’M’ i qua trung i m I c a
BC M t khác AY⊥ BC và K’M’⊥ AE nên ta có =
Hay S AKEM =S ABC, ( pcm)
B' H
O
M K
E
B
A
Y
X K'
M' H
O
M K
E
D
C B
A
Trang 5Cách 5
+) G i B’, C’ l n l !t là hình chi u c a E trên AB và AC, g i F và F’ l n l !t là hình chi u
minh
+) M t khác ta có hai tam giác vuông EB’B và EC’C
)
=
+) Ta có BK + CM = BK + CC’ + C’M
= BK + BB’ + C’M = KB’+C’M = EF + EF’ = 2EF
V%y (**) úng bài toán !c ch ng minh
Bài 5(1 i m)
1
x P x
+
= +
Gi i
+) K: x R∈
3 3 2 3 1 2
x P
+
2
2
1
x
+) V%y giá tr l n nh#t c a P là 5, t !c khi x = 0
H t GV: Ph&m V!n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung
E
H
F F'
B'
C' D
O
M K
C B
A