Tài liệu Giáo trình hình học và 400 bài tập P5 docx

402 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng... 408 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng... 416 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng se Điểm kép : “Trên một bản vẽ phác, ta thấy xuất hiện một điểm

Tai : +00, fix) = sejagdso(L) vay nhận

đường thẳng D có phương trình yoxed

làm tiệm cận, và tại lân cận của +z, C ở trên

Ð.Tương tự, C nhận đường thẳng DY: y = ~x 3

lầm tiệm cận và tại -, C` ở trên Ø°

@ (x) = 2x—-Ê, từ đồ suy ra bằng biến x _=

398 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

+ = x làm đường tiệm cận và tại lân cận +mo,

€ ở phía trên của 8,, 8

C có hai điểm uốn, với toa độ

3

2° 7)

ot

©) Việc khảo sát sự biến thiên của x L¬> e°-]-x

chứng tổ rằng : Defƒ/) = ÏW*; f kha vi ten Re c

Wri ee trong 46 g(x) = (2 - xe" - (2 +x)

Anh xa g thude lop Coren R va Ve eo RQ = (1 - xe" 1, 9") = -xe), từ đó có bằng biến thiên của ø, suy ra bảng biến thiên của ƒ;

minh rang ƒ thuộc lớp C® trên R, vì ƒthuộc

lớp CỞ trên R* và nhận một khai triển

thành chuỗi nguyên tại 0

Tai -00, fx) = - xt 1-4) +o(2) vay C nhận đường thẳng Ð: y = -x + | lam tigm can, va x x

tại lân cận -œ, C ở trên Ð.

Chỉ dẫn và trả lời 399 4) Def) = R - (1), ƒ khả vị trên Def/) và :

400 Chương 4 _ Đường cong trên mặt phẳng

trong Bae đồ : #() = Ine+ MD tee + A) = ? wee?

Khảo sát tại 0*: Ta có thể thác triển en y

tuc f tai Of bang đật g(0) = 0 và ƒ cũng vậy ' 7

tại 0* bằng dat f(0) = 1 7 Hơn nữa: ƒ'(x) —y — TC

T— Khảo sát tại Ï: Ta có thể thác triển liên e i

tục f tai 1° bang dat g(1) = -1, và ƒ cũng vậy 2 ‡ Es

ai (Z) bang z\~L

TK ((2)=4

Hon nia: f(x) > 0

xo) 8) Def) = IR*, ƒ thuộc lớp C2 trên JR* và ;

Tại -9 : /tx) = -# + In2 + = + ole’)

Vay C có tiệm cận là Ø: y = ‹# + Ìn2, và tại

lân cận -s, C ở phía dưới Ø

Tại +: /'(x) ~ Inx, vậy có một nhánh x-aHe

Vô lận parabôlic với phương tiệm cận x'x Có

hai điểm uốn, có các tọa độ gần đúng là : Indn2)

402 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

Chỉ dẫn và trả lời 403

4.1.2 Với mọi x thuộc R, ta có:

= Inf 242 ex 44-8 ”} atb a-b 2x

In(@ che + & shx) n( 2 Cư ư In 2 +x+iInl eee +

a-b a+b

Khi ký hiệu / = x - mm , 1a được:

vậy C ở phía trên Ð khí £ >1”

© Khao sat tai 0:

201-1) > #œ, vậy C có một nhánh parabôlic với phương tự? + sot tiệm cận y'v

+ Khảo sát tại 1: Bằng phép đổi biến ø = ¿ - I

vay tacé: KHÌ Đ ¬[‡H-) B93} (i)

độc lập, nên dây là một điểm lùi loại một, với tiếp tuyến được định phương

Chỉ dẫn và trả lời 405

©) © xÐ = xŒ) và yCÐ = -y@) ; vay ta cho £ biến thiên trong [O; +œƒ[-| | }, sau đó sẽ thực

hiện phép đối xứng qua x'x

« Các đường thẳng có phương trình x =i và y=0 là tiệm cận với C

+ Khảo sát tại #©: x0) ~ + và yợ) ~ ~(tưđó TÚ) c> - rồi: 1900 post +) ym

#I40]£2-Al):

Vậy C nhận đường thẳng có phương trình y = -x - 2 làm tiệm cận và, khi ¢ —»+e (tương:

ứng : -) C sẽ ở dưới (iương ứng : trên) D

"“=n we `, sai khác về thứ tự

Như vậy, C có một điểm kép, có tọa độ (4 ` -4)

2) Thực hiện một phép đổi hệ quy chiếu, trong đó &'=(Ø;1,J7)c6 được từ ZỞ bảng phép

quay tâm © va góc quay + Các tọa độ (X, Y) trong #” của một điểm M, với các tọa độ

LL,

v2

tong R: X=V2e4, ¥=V2(2 42) Nhu vay, C = C, U Cp trong đố Cụ, C¿ là các

đường cong biểu thị các hàm số Y,, Y, xác định bai:

nhận hai nhánh parabôlic, có phương tiệm cận X'X

Ø là một điểm lùi loại hai

408 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

Khảo sát tại O : Ta có ngay các khai triển hữu

han tại Ö của x và y, và từ đố :

+g = 5 ¡ vậy đây là một điểm uốn, với tiếp tuyến được định phương bởi V2

Gốc là một điểm kép của C, ứng với / = -1, £ =9

ñ) « x lẻ và y chấn; vậy ta sẽ cho r biến thiên trong [0 ; + |, rồi thực hiện một phép đối

ex) = 1-37, yw = 21 - 27)

410 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng

« Khảo sát tại +zo : Ba > $00, vậy C có

một nhánh parabðlic với phương tiệm cận y'y ta

® Ö là điểm bội của C, ứng với ¡ = -\, 0, I

+ Khảo sát tại 400; 22 x) ttm ~ Quá

phương tiệm cận y`y

e+ ITY

tint» +0, vay C 6 mt nhénh parab6lic véi

« Khảo sát tại 0 : so" YO xO ae INQ +1) =-In2+-5 +00 vay C nhan D:

y =x - n2 làm tiệm cận va, khi ¢ => 0* (tương ứng :0- ) C nằm trên (tương ứng : dưới) Ø

+ Khảo sat tai to: 20 + +evậyC xŒ)t-xee

nhánh parabôlic với phương tiệm cận y'y

412 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

do đố, khi ¿ tiến đến -z, yữ) > xứ), và C nằm

trên tiếp tuyến của nó y

y(t) -2 + Khảo sát tại +: ““Ó=e ¡7 -> 1, rồi: xứ) Loto

aod 3(}xŒ) =ef(6 t~e1)

2e!

=~2e'shd ~ ~2°” -ý ~e Proto ff pote 1

vay C có một nhánh parabôlic có phương tiệm NO

© Khao sat tai -co:

WO) _Prlet-1 _, OQ” 7 type Œ +Ùe! trai

0:

® Khảo sát tại “OQ” DTH, to 1, do đố

sau khi tính một khai triển hữu hạn, ta có:

vậy Œ nhận đường thẳng Ø' có phương trình

yex—3 lam tiệm cận và, khí r tiến đến 0* (tương 1 N

ứng : 0~), C nằm trên (tương ứng : dưới) Д

* Khảo sát tại -: ML y Sy Lưới y()+x()=ef — e-L và xứ) to tel

MOF x()-et sel el selettl 1) ~ ergy:

1

vậy C nhận đường thẳng có phương trình y = -x + e* làm tiệm cận và khi z tiến đến -I*

(tương ứng : -{ˆ) , C ở trên (tương ứng : dưới) Ð

« Khảo sát tại +œ : eet > +00, vay C nan mot nhanh parabolic c6 phương XỨ) em

tiệm cận y'y

+ Khảo sát tal -co : Ta thác triển C tại 0, Hơn nữa 2 0)

nhận một tiếp tuyến song song với y'y tại 0, và đố chính là y'y,

+ Điểm uốn : Giải phương trình

xy" -x'y’ = 0, dnt, Tacé:

414 Chuong 4 - Đường cong trên mặt phẳng

n) ® x lễ và y chấn, ta sẽ cho ứ biến thiên trong ]0; +œ(, rồi thực hiện phép đối xứng qua yy,

+ Khảo sát tại +e ¡2Ö =tự -> Liổi y()-xợ)<-E -y 0; Vậy Ở nhận đường xứ) mm Fe

thẳng, Ð có phương trình y = x làm tiệm cận, và khi ¡ tiến đến +œ, C ở dưới Ð

2) ® x và y có chủ kỳ là 2z ; vậy ta sẽ được cả đường cong bằng cách cho / biến thiên

trong một khoảng có độ dài 2%

® X(Z - f) = xŒ) Và y(a- f) = -Y(); Vậy ta sẽ cho ¿ biến thiên trong

— 2K) 2° =] „ rồi thực rô hiện phếp đối xứng qua x'x

vay p =2, q = 3; day 1a một điểm lùi loại một,

vGi tiép tuy€n dinti phuong béi V2

p) ® x và y đều 2z - tuần hoàn; ta sẽ được toàn

bộ đường cong C bằng cách cho f biến thiền

trong một khoảng có độ dài 2Z

e xCÐ = -xứ), y(Ø = -y(9, ta sẽ cho £ biến thiên trong [O ; x] sau đồ thực hiện phép dối xứng qua Ó

« xŒ£- P) = -xŒ), VÉz - 0 = y), ta sẽ cho ï biến thiên trong la, sau đồ thực hiện

phép đối xứng qua y'

416 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

se Điểm kép :

“Trên một bản vẽ phác, ta thấy xuất hiện một điểm kép trong góc phần tư thứ nhất, ứng voi

0<r<2 và 3< <—Z: Trong điều kiện đó, ta cố;

4) * x và y có chủ kỳ là 2z ; vậy ta sẽ cho / biến thiên trong một khoảng có độ dài là 2z

để có toàn đường cong C

* xC0Ð) = -*() và y0 = YG) ; vậy ta sẽ cho r biến thiên trong [O; z], tồi thực hiện phép đối xứng qua y'y

® x0)=^——, y@)= cost; "> cos?

nh ohn va 181 gids ant

i-sint-sintcost _ 1-cosu -cosusinu

nên € có một điểm tại đó tiếp tuyến song, song,

với y`y; sau Khi thực hiện phép đối xứng, điểm

này sẽ cho ta một điển lùi loại một,

418 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

« Khảo sát tại -4: Bằng phép dBi bien w=r +3 „ ta được:

4.1.4 —— Phương trình Descaries của tiếp tuyến - „5 ⁄

v6i C tai A(O la mx - y - Ê =0; phương trình

Descartes của pháp tuyến tại Blu): x + uy -

© Trả lời : Có hai và chỉ hai đường thẳng thích

hợp và chúng đối xứng nhau qua x`z Một trong,

chúng nối 4 (6,42) ứng với tham số ¿=2 và

4.16 Ta chọn một hệ quy chiếu trực chuẩn

(O7, ƒ) sao cho A(R, 0) trong đó # > 0 ]à bán kính

của C

Tọa độ của M là : (K cosØ, Rsin6), Oe R —~

Cho ¥ rang (OH) 1a dutng phan gid cha AOM và

(MIF) 11 y'y, ta suy ra tọa độ của Jj:

( cosổ, R cosØ tan »

Khi kỹ hiệu = tan, tà có BDTS của quỹ tích phải

420 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

bởi ( ) › suy ra PTD của pháp tuyến với € tai M: AG -E)+o ~0=0

vay P{ #4 po a gots: ty laa te 3> if Vị at 3p

và tọa độ trung điểm 7 của PO là :

thì Ø là rung điểm của A8 và i=top Khi đó: A(-a, 0), B(a, 0), M(acost, asint), + € R:

Ta cling c6 mOt PTD tuong ty cho (AM): xsin 5 yoos$ +asin£=0

Điểm / là tâm của đường tròn nội tiếp (AB) khi và chỉ khi:

- xc08 A+ 5 + ysin > ~ aoos5 ysinL~ acost

Giải hệ hai phương trình hai ẩn x, y ta có:

xsin5- yeos$-+asin£ = y

(acos6, bsin®), 6 € R Tọa độ của các tiêu diém F, F’

la: P(e, 0), F'(-c, 0), trong đó e = V23 =b2 Từ đó suy

Ta các tọa độ của trực tâm #7 của tam giác MƑ/° —\ 5 OF}

9 Trả lời : Quỹ tích của 77 là dường cong được biểu E

điễn tham số bởi:

( = acos?

42 sin2Ø— b3

bsin€

44.11 Ky hiew (rt) là điểm

chạy của €, một vectơ ctủ phương của

tiến tuyến 7 tại Aƒ với € là @2, -I) Ký

hiệu /f(x, y) là hình chiếu vuông góc 4 M

Vậy ta chuyển từ Cạ sang C¿ bằng phép tịnh tiến theo veclơ <i

Bây giờ ta giả thiết  > 0

X-4()=f + ÂsỈn/ =f — sinŒ +)

X-AŒ)=l+Âcos, Acostt +2

®Tacổ: WreR, xt+2m=x0)+22 va yứ + 2z) = y0),

Vay ta chuyển từ M4) sang Mƒ(/ + 22) bằng phép tịnh tiến theo veclơ 2Zï Ta cho í biến

thiên trong một khoảng có độ dài 2z, rồi thực hiện các phếp tịnh tiến theo các vectơ

422 Chudng 4 Budng cong trên mặt phẳng

9 Trả lời : 7 là đường cyclôif, vị tự của Cụ trong phép vị tự tâm Ø và tỷ số ỹ (thiếu các

điểm lùi và các đỉnh của nó)

bŸ +yyyy ty tôn ty, vyi

DỆ +yaya tyỶ +(a +yjy +) 1

=f 98 +04 ~ eds +01 ~ y;)y =0

PM ty +3 +4 =0.

424 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

4.1.14 2) FỢ) là một đoạn của đường strôphôit thẳng (xem 4.1.7)

) ® Theo định nghĩa, f : 7 => F() là toàn ánh

® Nếu Œ, w) € ƒ sao cho FŒ) = F@9, thì = nẺ, rồi

+= ứ, vậy F là đơn ánh

* # liên tục vì tr»

Chiddn va tra lai 425

B) Một đường thẳng tiếp xúc kép với C khi và chỉ khi nó cất C- tại bốn điểm A/()

1 Sĩ S4 sao cho í, = t; và f, = r¿ Ký hiệu Š = f¡ + ty, P = rực, tà có ;

og, = 25, oy = 9 + OP, o, = 28P, as P

$ Trả lời : C có một và chỉ một tiếp tuyến kép, nối các điểm ứng với tham: số

soa ——=.tức là có tọa độ fon sa +0|a|-ẾP hay cu) 1

%) Các điểm Mứ) (1 < í < 4) đồng chu hoặc thẳng hàng khi và chỉ khi tổn tại (A, B,C, D)

thude (IR - {(0, 0, 0)) x R sao cho ¢,, ty, f;, r, là nghiệm của phương trình :

426 Chương4 Đường cong trên mặt phẳng

© Trả lời : ø; =0 và ø = 1

B) Ba điểm M@) (1 < í < 3) thẳng hàng khi và chỉ khi tổn tại í„ TR sao cho bốn điển:

M(q) (1 $i $4) thang hang, Khir ¢, trong (9; = 0, ơy = 1) bằng cách sử dụng các hàm đối

xứng SƠ CẤP fị, 7ạ, 7¿ Của fị, fạ, fs

9 Trả lời : r, + m7, = 0

đ) Tâm #2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác OM,Œ,)M;(2) được đặc trưng, bi 20 =

OM (t,) = QM, {t,), didu kign nay din dén: Vie l2} 2x+2z2y-n =0,

khi ký hiệu Œ, y) là tọa độ của (2

9 Trả lời : Quỹ tích phải tìm là bộ phận của

Chứng với |¿| eo y2-V3 wiy2+v3; +4

Cụ thể hơn, tâm của đường trồn ngoại tiếp tan

giác OM,(,)M;(/2) là điểm đối xứng với A0) qua Ó

e) Tiếp tuyến với C tai M(O di qua M,(4,) khi va chi khi tn tại #, € IR sao cho Œ, £, „ t)

9 Trả lời : Phương trình bậc 4 có nghiệm là các tham số ? ứng với các điểm 8Z() của C

sao cho tiếp tuyến với C tại M,( đi qua Miứn) lát nể +22 +2t+ï =0

Chứng minh rằng các hàm đối xứng sơ cấp của bốn nghiệm của phương trình này thỏa mãn điểu kiện c) œ) Không thể hiện được trên lược đồ vì hai trong các nghiệm là số phức (không thực)

Ð Cách thứ nhất :

Ký hiệu (œ, đ) là toa độ của ⁄2, phương trình

của đường trồn tâm #2đi qua Ø là :

x2 + y2 - Zax - 2fy = 0, Phương trình theo ¢ cha

cho đường trồn tâm Qa) va di gua Ö tiếp

xúc với Œ, cần và đủ là đường thẳng có phương,

trình 1 - 2ax - 2/Øy = Ö tiếp xúc với hypebol có

428 Chuong 4 Đường cong trên mặt phẳng

4) VẽC

Vòng khuyên ứng với ứ biến thiên từ 0 đến 1

Ta thừa nhận ràng phép tính diện tích A van

còn hợp lệ khi có mặt một tích phân trên một

tap= [anor] = |S panne ‘har=-—Po ty

; Từ đó, bằng một phép quy nap don gidn: 1, , =? é | =I)P pI

(n+ Pt Nói riêng 723 = CA, va Ip, 2=z, từ đó Azz :

Chỉ dẫn và trả lời 429

4.2.1 2ø có chủ kỳ là 2z và lẻ ; vay ta khảo sát trên [Ø, z], rối lấy đối xứng qua y'y

* 21 =2cos2Ø+ cosØ = 4cos”Ø + cosØ - 2, triệt tiêu và đổi đấu tại những số thực

f) ® ø là 6z - tuần hoàn; ta sẽ cho Ø biến thiên trong một khoảng có độ đài 6z để thu

được cả đường cong,

* 2 lẻ ¡ ta sẽ cho Ø biến thiên trong |0 ; 32] rồi thực hiện phép đối xứng qua y`y

* 2Gz - 6) = p(; la sẽ cho Ø biến thiên trong | 0;-3# | để có được đường cong (trước : ig khi lấy đối xứng)

* 2 lễ: ta sẽ cho Ø biến thiên rong [o-%] rồi thực hiện phép đối xứng qua y'y

#- = ø(8}: ta sẽ cho Ø biến thiên trong [s#] tối lấy đối xứng qua dường

phân giác thứ hai

430 Chuong 4 Đường cong trên mat phẳng

Sau đó :

Y= peeps 0-2) = - SO 2 ny ~ apy = `

Vậy C cố một nhánh parabôlic với phương tiệm cận y'y

« Khao sat tai 0:

¥0) = 2(6)sinØ =I+sinØ —s 1'; vậy Œ nhận ‡

đường thẳng Ø có phương trình y = 1 làm tiệm

cận, và khí Ø ~» 0° (tương ứng : 0), C nằm trên

(tương ứng : dưới) đường Ø "`:

#9 *ø là z- tuần hoàn; ta sẽ cho Ø biến thiên

trong [0; z|, sau đó lấy đối xứng qua Ó 0 x

® Ø{6)=I + tan? Ø >0

*2(0)=0 =3,

© Khao sat tai = Bằng phép

đổi biến p=0—F, ta co:

Vậy C nhận làm tiệm cận dudng thang D o6 phuong tinh ¥ = -1

trong hệ quy chiếu trực chuẩn thuận (2;OX,OY) thỏa mãn

40.08) == (27) và khi 65 (tương img : a) c

nằm ở dưới (tương ứng : trên) đường thẳng D.

432 Chương 4 _ Đường cong trên mặt phẳng

#) ® ø là 4z - tuân hoàn; ta số có toàn bộ đường cong khi cho Ø biến thiên trong một khoảng có độ dài 4z

* ø(Ø + 2z) = -0(); ta sẽ cho Ø biến thiên trong một khoảng có độ dài 2z, sau đó lấy đối xứng qua Ø

*® Ø(-Ø) = -2(); ta sẽ cho Ø biến thiên trong {0 ; Z|, sau lấy đối xứng qua y`y

Vậy, C nhận đường thẳng Ð có phương tinh ¥=— làm tiệm cận trong hệ quy chiếu trực a3

chuẩn thuận (0:0%,07 aocho £(0x,0X) == [2a], va khi Ø tiến đến Ấ~ (ương ứng:

a 3C nằm dưới (tương ứng: trên) đường thẳng D

« Điểm kép : Với 0<Ø <Fstacé:

« Khảo sát tại é: Bang phép dổi biến g = 0 _ sau khi tính toán ta được:

Y@)= pO)sin( 8 - z)- 32-203 ae s “ma 0+9)

= (tương ứng: se), C nằm duéi (tuong tng: tren) dudng D,

434 Chương 4 Đường cong trên mặt phẳng

Ð #@ là Z- tuân hồn ; ta sẽ cho Ø biến thiên trong lz =

ay chẳng hạn sau đồ lấy đối

Vậy C nhận lim tiệm cận đường thẳng Ð cĩ phương trình Y =—- trong hệ quy chiếu trực

chuẩn (Ø:OX,OY) sao cho ⁄ (Ox,ĐX) = 4 [2z] và khi Ø tiến đến 7 đương ứng ; = »

C nam & đưới (tương ứng: trên) đường thẳng D

J * ø là 4+ tuân hồn; ta cĩ cả đường cong C bằng cách cho Øbiến thiên trong một khoảng cố độ dài là 4z

*/2 chấn: ta số che Ø biến thiên trong [0; 2Z): rồi lấy đối xứng qua xx,

*/437- ®=-(Ư): ta sẽ cho Ø biển thiên trong [O: z] rồi lấy đối xứng qua yy

chuẩn thuận (Ø:OX:ĨY) được xác đính

bởi Z(Ơt,Ộ)= z|2z], và khí Ø tiến đến Ty y

€ sẽ nằm trên đường Ø,

=In| i+ saÍz + )) sing

=Inl 1—cos'? Ìsi inl 1-cos + ]sing

= (of § +ø(ø? ) @+(0))

~ 2pInlp| —y 0*,

Vay C nhận z'+ làm tiệm cận, và khi Øtiến đến 2 z~ , C nằm ở trên +”x,

Ð) * ø là 2z - tuần hoàn ; ta được cả đường cong C bằng cách cho Ø biến thiên trong một

436 Chuong4 Đường cong trên mặt phẳng

m0 ® p lễ ; ta cho Ø biến thiên trong [O; +œ|, rồi lấy đối xứng qua y’y

© 66 mot Ahdnh Kody ốc

Đường cong C duge goi 1a duéng xoay Ge Archiméde

n) © pchan : ta cho Ø biến thiên trong [O: +1, rồi lấy đối xứng qua x'x

* Khao sat tai 0°: ta co: yO) = p@)sing = sind =I -& +0162)

Vay C nhận đường thẳng có phương trình y = 1 làm tiệm cận, và khi Øtiến đến 0*, C nằm