Tài liệu Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu pptx

Nếu xảy rathì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên được gọi là hàm đồng biến trên và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên được gọi là hàm nghịch biế

Ký hiệu là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp

hoặc với Khi hàm số xác định trên tập và thoả mãn điều kiện với mọi ta đều có

Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp ta đều có

thì là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên Ngược lại, khi

Nếu xảy ra

thì là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên được gọi là hàm đồng biến trên và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên được gọi

là hàm nghịch biến trên tập đó

Định lý 2.1 Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng

(i) Nếu với mọi thì hàm số đồng biến trên khoảng đó

(ii) Nếu với mọi thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó

Định lý 2.2 Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu tăng khi

và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều có

được thoả mãn với mọi bộ số dương điều kiện đủ là hàm

đơn điệu tăng trên

Khi đó với mọi dãy số dương và giảm ta đều có

Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để là một hàm đồng biến Thật vậy, chỉ cần chọn hàm có tính chất

và là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự:

Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm

Định lý 2.4 Hàm xác định trên là một hàm số đơn điệu giảm khi

và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương và ta đều có

đóng vai trò quan trọng, vì nó dễ nhận biết về tính đồng biến (khi )

và nghịch biến (khi ) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước

Định lý 2.6 Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương

ta đều có

Định lý 2.7 (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu

giảm trên Khi đó, ta luôn có

Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự

Định lý 2.8 Giả thiết rằng là một hàm đơn điệu giảm trên

và là một dãy tăng trong Khi đó, ta luôn có

Khi là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự

Định lý 2.9 Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và

Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có

Hệ quả 2.2 Giả thiết rằng là một hàm đồng biến trên và

Gọi là hàm ngược của Khi đó, ta luôn có

Định lý 2.10 Cho hàm số liên tục, không âm và đơn điệu tăng

trên với Khi đó ta

có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Giả sử và là hai hàm đơn điệu tăng và là một dãy đơn

điệu tăng:

Khi đó với mọi bộ trọng :

ta đều có

Bạn đã hoàn thành Mục 2.1 Chương 2

Giả sử hàm số xác định và đơn điệu tăng trên Khi đó, với mọi ta đều có

và ngược lại, ta có

khi là một hàm đơn điệu giảm trên

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn, chẳng hạn như:

thì không nhất thiết phải là một hàm đơn điệu tăng trên

Bài toán 2.1 Nếu là các góc của thì

Như vậy, mặc dù hàm không đồng biến trong ta vẫn có bất đẳng thức (suy từ (2.7)), tương tự như đối với hàm số đồng biến trong

Định nghĩa 2.1 Hàm số xác định trong được gọi

là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng cho trước

Định nghĩa 2.2 Hàm số xác định trong được gọi

là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu

đồng biến trong khoảng

Bài toán 2.3 Giả thiết rằng hàm đồng biến trong khoảng Khi

đó hàm số

Định lý 2.13 Mọi hàm xác định trong và thoả

mãn các điều kiện:

(i) đồng biến trong khoảng

(ii) đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho

Bạn đã hoàn thành Mục 2.2 Chương 2

Trong mục này, xét các hàm số xác định trên mà trên đó hàm

chỉ có hữu hạn các điểm dừng (điểm cực trị)

Ví dụ 2.1 Xét hàm số

Xác định các hàm số đơn điệu trong sao cho

Xác định các hàm số đơn điệu trong sao cho

Ví dụ 2.3 Cho số và cho hàm số Xét các bộ

số trong Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho hàm số liên tục và có hữu hạn khoảng đơn điệu trên và

Xét tất cả các dãy số tăng trong

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Cho hàm liên tục và đơn điệu trên với

và Xét tất cả các dãy số tăng trong

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

trên và có khoảng đơn điệu, Xét tất cả các dãy số tăng trong

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài toán 2.7 Cho liên tục trên có điểm cực trị và

Giả sử

Xét tất cả các dãy số tăng

Bài toán 2.8 Cho liên tục trên Giả thiết rằng

và có (hữu hạn) điểm cực trị trênXét tất cả các dãy số

Chứng minh rằng

Bài toán 2.9. Cho liên tục trên với Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

trong đó

Bài toán 2.10 Xét tất cả các dãy số

Bài toán 2.11 Cho Tìm sao cho

đạt giá trị lớn nhất

Bài toán 2.12 Cho Tìm

sao cho và

Bài toán 2.15 Cho Xét tất cả các dãy số

Chứng minh rằng

Bài toán 2.16 Cho Xét tất cả các dãy sao cho

Bài toán 2.17 Cho hàm số Xét tất cả các dãy

sao cho

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bạn đã hoàn thành Mục 2.3 Chương 2

Định nghĩa 2.3 Hàm số được gọi là hàm đơn điệu tuyệt đối trong

khoảng nếu đạo hàm mọi cấp của nó đều không đổi dấu:

Định nghĩa 2.4 Hàm số được gọi là hàm đồng biến (nghịch biến)

tuyệt đối trong khoảng nếu các đạo hàm mọi cấp của nó đều là hàm đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng đó

tuyệt đối trong khoảng Thật vậy, dãy các đa thức có các hệ số đều không âm nên

Ví dụ 2.5

Hàm số đồng biến tuyệt đối trong khoảng

Ví dụ 2.6 Với mọi hàm số liên tục và dương trên hàm số

là hàm nghịch biến tuyệt đối trong khoảng

Nhận xét 2.1

Nếu hàm số là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng thì

trên đoạn hàm số

sẽ là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng

Bài toán 2.19 Cho hàm số liên tục và dương trên đoạn và hàm

số

Bạn đã hoàn thành Mục 2.4 Chương 2

Định nghĩa 2.5 Hàm số được gọi là hàm đơn điệu có tính tuần hoàn

trong khoảng khi và chỉ khi các đạo hàm của chúng không triệt tiêu (có dấu không đổi) và

Ví dụ về các hàm số sơ cấp đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng

là các hàm số sau

là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng

Ví dụ 2.9 Hàm số

là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng

Chứng minh rằng

Bạn đã hoàn thành Mục 2.5 Chương 2

Bài toán 2.21 Chứng minh rằng với mọi bộ số dương ta đều có

Tuy nhiên, nếu ta viết lại (2.13) dưới dạng

Ta chứng minh rằng nhận xét vừa nêu ở trên là hoàn toàn đúng Tính đồng biến của ứng với được suy từ nhận xét sau đây

Tính chất 2.1

(i) Nếu hai phân số dương có cùng tử số dương thì phân số nào có mẫu

số lớn hơn thì bé hơn,

Xét phân số với Khi đó

(i) Nếu phân số dương thì khi tăng mẫu số, phân số sẽ giảm,

(ii) Nếu phân số âm thì khi tăng mẫu số, phân số sẽ tăng Nói cách khác, ta có

Bài toán 2.22 Cho phân số với và số dương Khi đó

(i) Nếu phân số dương thì

là một hàm đồng biến trong

Hệ quả 2.4 Cho Chứng minh rằng với mọi bộ số dương

ta đều có

Giải Thật vậy, ta có

Suy ra với mọi Do đó hàm số đồng biến trong

Từ đây, ta thu được

Hệ quả 2.5 (Bất đẳng thức Hilbert) Với mọi bộ số thực ta

1uôn có

Bạn đã hoàn thành Mục 2.6 Chương 2