Luận văn Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M

Luận văn Một số vấn đề về modun extending và modun lifting trong phạm trù M Magento là một hệ thống thương mại điện tử giàu tính năng được xây dựng trên nền tảng công nghệ...

TRƯỜNG………

LUẬN VĂN

Một số vấn đề về modun extending và modun lifting

trong phạm trù M

MỤC LỤC

Trang

Mục lục 1

Mở đầu 2

Chương I Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Phạm trù σ[M ] 4

1.2 Môđun Noether và môđun Artin 4

1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow 5

1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh 6

1.5 Bù giao và bù cộng 10

1.6 Căn và đế 11

Chương II Một số tính chất của môđun extending và môđun lifting 12

2.1 Môđun extending 12

2.2 Môđun lifting 17

Chương III Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending hoặc lifting 28

3.1 Môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là extending 28

3.2 Môđun tựa xạ ảnh M có mọi môđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ [M ] là lifting 32

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 39

MỞ ĐẦU

Môđun extending (hay còn được gọi là CS-môđun) là một dạng tổngquát hóa của môđun nội xạ được nghiên cứu rộng rãi trong vài chụcnăm trở lại đây Cùng với môđun extending, người ta còn nghiên cứumôđun lifting, một tính chất đối ngẫu của extending và là một tính chất

có quan hệ gần với tính chất xạ ảnh Tuy nhiên trong khi mọi môđun

M đều có bao nội xạ thì chưa chắc phủ xạ ảnh của nó đã tồn tại Xétmột khía cạnh khác, đối với môđun con N của một môđun M , bù giaocủa N trong M luôn tồn tại theo Bổ đề Zorn nhưng chưa chắc đã tồntại bù cộng của N trong M Điều này chắc chắn sẽ tạo ra sự không đốixứng trong quan hệ đối ngẫu giữa môđun extending và môđun lifting.Các kết quả liên quan đến môđun lifting được các nhóm nhà toán học

ở Nhật, Ấn Độ, Thổ Nhĩ Kỳ đi sâu nghiên cứu Các tính chất extending

và lifting trên môđun được sử dụng để đặc trưng hay khảo sát một sốlớp vành gần với các lớp vành Noether hoặc Artin Quan tâm đến lớpcác môđun này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu "Một số vấn đề vềmôđun extending và môđun lifting trong phạm trù σ(M )".Nội dung chính của luận văn được trình bày trong 3 chương

Chương I Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược về các kiến thức cơ sởliên quan đến nội dung của luận văn, các định nghĩa và các tính chất Chương II Một số tính chất của môđun extending và môđun liftingTrong chương này, chúng tôi trình bày một số tính chất của môđunextending và môđun lifting Trên cơ sở các tính chất của môđun extend-ing, chúng tôi xét xem môđun lifting có hay không các tính chất đốingẫu tương ứng

Chương III Khảo sát môđun M có mọi môđun hữu hạn sinh trongphạm trù σ[M ] là extending hoặc lifting

Trong chương này, chúng tôi khảo sát môđun M có tính chất mọimôđun hữu hạn sinh trong phạm trù σ[M ] là extending và khảo sátmôđun tựa xạ ảnh M mà mọi môđun hữu hạn sinh trong σ[M ] là lifting.Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong học tập và nghiên cứu khoa họccũng như cẩn thận trong khâu chế bản, song do ít nhiều hạn chế về thờigian và trình độ hiểu biết nên trong quá trình thực hiện luận văn khôngthể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảocủa quý thầy cô và những đóng góp của bạn đọc để luận văn được hoànthiện hơn.

Quy Nhơn, 3-2008

Chương I

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn này, các vành được xét là vành kết hợp có đơn

vị, thường kí hiệu bởi R Các môđun là R-môđun phải Unita, được gọiđơn giản là R-môđun

1.2 Môđun Noether và môđun Artin

1.2.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là Noether nếu mỗitập con không rỗng các môđun con của nó đều có phần tử tối đại.(ii) Một R-môđun M được gọi là Artin nếu mỗi tập con không rỗngcác môđun con của nó đều có phần tử tối tiểu

1.2.2 Định lý [1, tr 99-100] (i) Giả sử A là môđun con của M Các điều sau là tương đương:

(3) Mọi chuỗi giảm A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ những môđun con của M đềudừng.

1.3 Môđun đều (uniform) và chiều uniform, môđun lõm (hollow) và chiều hollow

1.3.1 Định nghĩa (i) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (haylớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có

A ∩ B 6= 0 (Một cách tương đương, nếu A ∩ B = 0 thì B = 0) Khi đó

ta cũng nói M là mở rộng cốt yếu của A, kí hiệu A ⊂∗ M

(ii) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) trong Mnếu với mỗi môđun con E 6= M ta đều có A + E 6= M (Một cách tươngđương, nếu A + E = M thì E = M ) Khi đó ta kí hiệu A ⊂o M

1.3.2 Tính chất [1, tr 51-53] (i) Cho A, B, C là các môđun concủa M Khi đó:

(1) Nếu A ⊂ B ⊂ C thì A ⊂∗ M kéo theo B ⊂∗ C

1.3.4 Định nghĩa (i) Môđun M khác không được gọi là môđun đều(uniform) nếu mọi môđun con khác không của nó đều cốt yếu trong M (ii) Môđun M được gọi là môđun lõm (hollow) nếu mọi môđun thực

sự của nó đều đối cốt yếu trong M

1.3.5 Định nghĩa (i) Môđun M được gọi là có chiều uniform hữuhạn (haychiều Goldie hữu hạn) nếu tồn tại số nguyên dương n và cácmôđun con đều U1, , Un sao cho ⊕n

Nếu M có chiều hollow hữu hạn và

Hi, Kj là các môđun con của M sao cho M/Hi và M/Kj là lõm với mọi

1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m thì m = n Người ta gọi n là chiều hollow của M

và kí hiệu h dim(M ) = n

Nếu M = 0 ta viết h dim(M ) = 0, nếu M không có chiều hollow hữuhạn ta viết h dim(M ) = ∞

1.4 Môđun nội xạ và môđun xạ ảnh

1.4.1 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là nội xạ nếu vớimỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → B của nhữngmôđun trên R tồn tại một đồng cấu h : B → M sao cho h.g = f , nghĩa

là biểu đồ sau giao hoán 1.4.1 i

h

0

(ii) Một R-môđun M được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu

f : M → B và với mỗi toàn cấu g : A → B của những môđun trên Rtồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g.h = f , nghĩa là biểu đồ saugiao hoán

h

0

1.4.2 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là N-nội xạ nếu vớimỗi đồng cấu f : A → M và với mỗi đơn cấu g : A → N với A là mộtmôđun trên R đều tồn tại một đồng cấu h : N → M sao cho h.g = f ,nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

(ii) Một R-môđun M được gọi là N-xạ ảnh nếu với mỗi đồng cấu

f : M → B và với mỗi toàn cấu g : N → B với B là một môđun trên Rđều tồn tại một đồng cấu h : M → N sao cho g.h = f , nghĩa là biểu đồsau giao hoán

1.4.3 Định nghĩa (i) Một R-môđun M được gọi là tựa nội xạ (hay

tự nội xạ) nếu nó là M -nội xạ

(ii) Một R-môđun M được gọi là tựa xạ ảnh (hay tự xạ ảnh) nếu nó

là M -xạ ảnh

0

ϕ

M

f f

( )

E M M

Ta có x = f (y) − f (y) = f (y) − f (y) = 0 nên M ∩ (f − f )(M ) = 0 Vì

M ⊂∗ E(M ), M ∩(f −f )(M ) = 0 nên (f −f )(M ) = 0 hay f (M ) = f (M )

mà f (M ) ⊂ M cho nên f (M ) ⊂ M

Ta có E(M ) = E1 ⊕ E2 với E1 = E(N ) Vì f (M ) ⊂ M với mọi

f ∈ End(E(M )) nên M = M ∩ E1⊕ M ∩ E2 Gọi U là môđun con kháckhông của M ∩ E1, ta có U là môđun con của E1, mà N ⊂∗ E1 nên

N ∩ U 6= 0, do đó N ⊂∗ M ∩ E1 Vậy, (C1) đã được chứng minh

(C2) Giả sử A ⊆ M và A ' M0 với M0 là một hạng tử trực tiếp của

M , khi đó tồn tại đơn cấu f : M0 → M sao cho Imf = A Vì M là tựanội xạ, M0 là hạng tử trực tiếp của M nên M0 là M -nội xạ, suy ra tồn

tại đồng cấu g : M → M0 sao cho g.f = idM0 Ta có:

M = Imf ⊕ Kerg = A ⊕ Kerghay A là hạng tử trực tiếp của M

Đối ngẫu với các tính chất (C1), (C2) ta có các tính chất sau:

(D1) Với mỗi môđun con A của M , tồn tại sự phân tích M = M1⊕M2sao cho M1 ⊆ A và A ∩ M2 ⊂o M

(D2) Nếu A là môđun con của M sao cho M/A đẳng cấu với một hạng

tử trực tiếp của M thì A là một hạng tử trực tiếp của M

1.4.5 Mệnh đề Mỗi môđun tựa xạ ảnh có tính chất (D2)

Chứng minh Giả sử M là môđun tự xạ ảnh, A ⊆ M và M/A ' M0 với

M0 là một hạng tử trực tiếp của M Khi đó tồn tại toàn cấu f : M → M0sao cho Kerf = A Vì M là tựa xạ ảnh, M0 là hạng tử trực tiếp của

M nên M0 là M -xạ ảnh, suy ra tồn tại đồng cấu g : M0 → M sao chof.g = idM Ta có M = Kerf ⊕ Img = A ⊕ Img hay A là hạng tử trựctiếp của M

1.4.6 Nhận xét Như đã biết, mọi môđun tựa nội xạ đều có (C1)

và (C2) Trong khi đó, không phải mọi môđun tựa xạ ảnh đều có (D1).Chẳng hạn Z-môđun Z là xạ ảnh nhưng không có tính chất (D1) Thậtvậy, vì Z-môđun Z là tự do nên theo [1, tr 64] ZZ là xạ ảnh Xét A

là môđun con khác không của Z, A = mZ với M ∈ N∗ Vì Z khôngphân tích được nên Z có sự phân tích duy nhất Z = Z ⊕ 0 Gọi B làmôđun con của Z, B = nZ, với n ∈ N∗, n > 1 sao cho (m; n) = 1 Ta có

A + B = mZ + nZ = Z nhưng nZ 6= Z Do đó A ∩ Z = A không đối cốtyếu trong Z hay ZZ không có tính chất (D1)

1.5 Bù giao và bù cộng

1.5.1 Định nghĩa (i) Cho A là môđun con bất kì của M Một môđuncon B của M được gọi là bù giao của A trong M, nếu B là môđun contối đại trong tập các môđun con C của M thoả mãn C ∩ A = 0

Một môđun con K của M được gọi là bù giao trong M, nếu nó là bùgiao của môđun con nào đó của M

(ii) Cho A là môđun con bất kì của M Một môđun con B của Mđược gọi là bù cộng của A trong M, nếu B là môđun con tối tiểu trongtập các môđun con P của M thỏa mãn A + P = M

Một môđun con L của M được gọi là bù cộng nếu nó là bù cộng củamột môđun con nào đó của M

Ta nói môđun M có tính bù cộng nếu với bất kỳ hai môđun con A, Bcủa M mà A + B = M thì B chứa bù cộng của A

1.5.2 Nhận xét i) Cho A là môđun con của M Vì tập các môđuncon C ⊆ M với C ∩ A = 0 là khác rỗng và sắp thứ tự theo quan hệ baohàm nên theo bổ đề Zorn, mỗi môđun con A ⊆ M đều có bù giao trong

M Tuy nhiên bù cộng của A trong M chưa chắc đã tồn tại

ii) Nếu M có tính bù cộng thì mọi môđun con của M đều có bù cộng.1.5.3 Mệnh đề Cho A và B là các môđun con của M B là bù cộngcủa A nếu và chỉ nếu M = A + B và A ∩ B ⊂o B

Chứng minh Giả sử B là bù cộng của A và D là môđun con của Bsao cho A ∩ B + D = B Khi đó M = A + B = A + A ∩ B + D = A + D

Do tính tối tiểu của B nên B = D hay A ∩ B ⊂o B

Ngược lại, giả sử M = A + B và P là môđun con của B thoả mãn

A + P = M Khi đó, ta có B = B ∩ (A + P ) = A ∩ B + P , mà A ∩ B ⊂o Bnên P = B hay B là môđun tối tiểu của M thoả mãn A + B = M Vậy

B là bù cộng của A

1.6 Căn và đế

1.6.1 Định nghĩa (i) Ta gọi giao của tất cả các môđun con tối đạicủa MR là căn Jacobson (hay đơn giản là căn) của môđun MR và kíhiệu bởi Rad(MR) Nếu MR không có môđun con tối đại thì ta quy ướcRad(MR) = MR

(ii) Ta gọi tổng của tất cả các môđun con đơn của MR là đế củamôđun MR và kí hiệu bởi Soc(MR) Nếu MR không có môđun con đơnthì ta quy ước Soc(MR) = 0

1.6.2 Định lý [1, tr 125] Đối với môđun MR ta có:

(i) Rad (MR) = P B, trong đó B chạy khắp tập các môđun con đốicốt yếu của MR

(ii) Soc (MR) = T C, trong đó C chạy khắp tập các môđun con cốtyếu của MR

Chương II

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN

EXTENDING VÀ MÔĐUN LIFTING

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày định nghĩa và một

số tính chất của môđun extending: các điều kiện tương đương, mối quan

hệ giữa môđun extending và môđun đều, tổng trực tiếp của các môđunextending Trên cơ sở các tính chất của môđun extending, chúng tôixét xem môđun lifting có hay không các tính chất đối ngẫu tương ứng,nếu không có thì cần bổ sung thêm các điều kiện gì để đạt được tínhchất ấy

là extending nên N cốt yếu trong một hạng tử M1 của M Do đó, ta

có sự phân tích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1, mà M2 ⊂∗ M2 nên

N + M2 ⊂∗ M

(2) ⇒ (3) Giả sử N là một môđun con đóng của M , ta có sự phântích M = M1 ⊕ M2 sao cho N ⊆ M1 và N + M2 ⊂∗ M Gọi U là một

môđun con của M1 thoả mãn N ∩ U = 0, ta có U ⊆ M và

(N + M2) ∩ U = N ∩ U + M2 ∩ U = 0

Vì N + M2 ⊂∗ M nên U = 0, suy ra N ⊂∗ M1 Mà N là môđun conđóng của M nên N = M1 hay N là một hạng tử của M

(3) ⇒ (1) Giả sử N là một môđun con của M Gọi B là tập hợp các

mở rộng cốt yếu của N trong M Vì N ∈ B nên B khác rỗng, mặt khácmọi bộ phận sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm của B đều có cận trênnên theo bổ đề Zorn, B có phần tử tối đại là M1 Gọi K là một mở rộngcốt yếu của M1, ta có N ⊂∗ M1, M1 ⊂∗ K nên N ⊂∗ K hay K ∈ B Dotính tối đại của M1 trong B nên K = M1 hay M1 là môđun con đóngcủa M , vì vậy M1 là một hạng tử trực tiếp của M do đó M là extending.2.1.3 Hệ quả Một R-môđun M không phân tích được là extendingnếu và chỉ nếu M là môđun đều

Chứng minh Gọi N là một môđun con khác không của M Vì M làmôđun extending nên có sự phân tích M = M1⊕ M2 sao cho N ⊂∗ M1

Mà M không phân tích được và M1 6= 0 nên M1 = M , hay M là môđunđều

Ngược lại, gọi N là một môđun con của M Nếu N = 0 thì

N ⊂∗ N = 0 là hạng tử trực tiếp của M Nếu N 6= 0 thì vì M đều nên

mà A đóng trong M1 nên A = p(B) ⊆ B và do đó (1 − p)(B) ⊆ B.Vì

(1 − p)(B) ∩ p(B) = (1 − p)(B) ∩ A = 0

và A ⊂∗ M1 nên (1 − p)(B) = 0, do đó B = p(B) ⊆ M1 Mặt khác, Ađóng trong M1 nên A = B hay A đóng trong M

Vì M là extending nên theo 2.1.2, A là hạng tử trực tiếp của M , ta

có sự phân tích M = A ⊕ D với D là một môđun con của M Khi đó,

M1 = (A ⊕ D) ∩ M1 = A ⊕ D ∩ M1 hay A là hạng tử trực tiếp của M1.Vậy M1 là extending

2.1.5 Định lý Cho M = M1⊕ M2 với M1, M2 là các môđun ing Khi đó M là extending nếu và chỉ nếu mỗi môđun con đóng K ⊂ Mvới K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 là một hạng tử trực tiếp của M Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên theo 2.1.2 Ngược lại, giả sửmọi môđun con đóng K của M với K ∩ M1 = 0 hoặc K ∩ M2 = 0 làmột hạng tử trực tiếp của M Cho L là môđun con đóng của M , tồntại bù giao H trong L sao cho L ∩ M2 ⊂∗ H Ta có H đóng trong M và

extend-H ∩M1 = 0 nên H là hạng tử trực tiếp của M , ta có thể viết M = H ⊕H0với H0là một môđun con của M Khi đó, L = L∩(H ⊕H0) = H ⊕(L∩H0)nên L ∩ H0 đóng trong M Ta có (L ∩ H0) ∩ M2 = 0 nên theo giả thiết

L ∩ H0 là một hạng tử trực tiếp của M nên L ∩ H0 cũng là hạng tửtrực tiếp của H0 Vậy L là hạng tử trực tiếp của M hay M là môđunextending

2.1.6 Mệnh đề Cho M = M1 ⊕ M2 với M1, M2 là các môđun tending Nếu M1 là M2-nội xạ và M2 là M1-nội xạ thì M là extending.Chứng minh Giả sử M = M1⊕M2, M1 là M2-nội xạ, M2 là M1-nội xạ

ex-và M1, M2 là các môđun extending Ta chứng minh M extending bằngcách áp dụng định lý 2.1.5

Gọi K ⊂ M là một môđun con đóng của M và K ∩ M1 = 0 Giả sử

πi : M → Mi, i = 1, 2 là các phép chiếu chính tắc Xét biểu đồ sau

x1 = π1(x) = β(x) = f (α(x)); α(x) = π2(x) = x2,

do đó x = f (x2) + x2 ∈ M0, cho nên K ⊂ M0

Ta có M0 ' M2, vì vậy M0 là extending Bởi giả thiết K đóng trong

M nên K đóng trong M0 Thế thì K là một hạng tử trực tiếp của M0kéo theo K là một hạng tử trực tiếp của M

Tương tự chứng minh được nếu H đóng trong M và H ∩ M2 = 0 thì

H là một hạng tử trực tiếp của M

Bây giờ áp dụng định lý 2.1.5 ta có M là extending

2.1.7 Mệnh đề Cho M là R-môđun có chiều uniform hữu hạn Nếu

thuẫn, do đó u dim(Mi) = ni < ∞ với mọi 1 ≤ i ≤ k Với mỗi 1 ≤ i ≤ ktồn tại các môđun con đều Ui1, , Ui

ni sao cho n∩i

j=1Uij ⊂∗ Mi.Khi đó tồn tại phép nhúng

fi : ⊕ni

j=1

Uij → MiĐặt f = (f1, , fk), ta có phép nhúng

là đúng với mọi R-môđun có số chiều nhỏ hơn hoặc bằng n Giả sử

u dim(M ) = n + 1, vì M là môđun extending không đều nên có sự phântích M = M1 ⊕ M2 với M1, M2 là các môđun con khác không của M

Ta có:

u dim(M ) = u dim(M1) + u dim(M2) = n + 1

Đặt u1 = u dim(M1) và u2 = u dim(M2), suy ra u1 ≤ n và u2 ≤ nnên M1 , M2 có thể được viết M1 = u⊕1

i=1Ui, M2 = u⊕2

j=1Vj, với Ui, Vj làcác môđun đều với mọi 1 ≤ i ≤ u1, 1 ≤ j ≤ u2 Vậy ta đã có điều phảichứng minh

2.1.8 Mệnh đề Cho M là môđun chuỗi với chuỗi hợp thành duynhất 0 ⊂ U ⊂ V ⊂ M Khi đó M ⊕ (U/V ) không extending

Chứng minh Vì M là môđun chuỗi và U/V là môđun đơn nên chúng

có các vành tự đồng cấu địa phương Đặt X = M ⊕ (U/V ), xét biểu đồ

0

ϕ

M

f f

( )

E M M

/

U V p

0

trong đó, p : U → U/V là phép chiếu chính tắc, f : U → M là phépnhúng Trước hết ta chứng minh p có thể được mở rộng thành một đồngcấu g : M → U/V

Đặt

N = {x − p(x)|x ∈ U } ⊆ M ⊕ (U/V )Khi đó, N ' U là môđun con đều của X Vì X = M ⊕ (U/V )

và U ⊆ M nên N ∩ (U/V ) = 0, do đó tồn tại hạng tử trực tiếp Kcủa X sao cho N ⊂∗ K Theo định lý Krull-Schmidt [2, 12.9] ta có

X = K ⊕ M hay X = K ⊕ (U/V )) Giả sử X = K ⊕ M , khi đó p(x) 6= 0với mọi x 6= 0 hay p đơn cấu, mâu thuẫn Vậy X = K ⊕ (U/V ) Xét

π : X = K ⊕ (U/V ) → U/V là phép chiếu chính tắc Khi đó tồn tại

g = π|M : M → U/V là mở rộng của p Vì U/V là đơn nên Kerg = Mhoặc Kerg = U , mâu thuẫn Vậy X không extending

2.2 Môđun lifting

2.2.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun, M được gọi là môđunlifting nếu với mỗi môđun con A của M , tồn tại hạng tử trực tiếp X của

M sao cho X ⊆ A và A/X ⊂o M/X

2.2.2 Định lý Cho M là một R-môđun Khi đó các điều kiện sau làtương đương:

(1) M là lifting;

(2) M có tính chất (D1), nghĩa là với mỗi môđun con N của M đều

có sự phân tích M = M1⊕ M2 sao cho M1 ⊆ N và N ∩ M2 ⊂o M ;(3) Với mỗi môđun con N của M đều có thể viết được dưới dạng

N = N1⊕ N2, trong đó N1 là một hạng tử trực tiếp của M và N2 ⊂o M ;

(4) M có tính bù cộng và mỗi môđun con đối đóng của M là một hạng

(3) ⇒ (4) Giả sử M = K + L với K, L là các môđun con của M ,

ta sẽ chứng minh rằng K chứa bù cộng của L Vì K là môđun con của

M nên K có thể được viết K = N ⊕ H, trong đó N là một hạng tửtrực tiếp của M và H ⊂o M , khi đó M = L + N Cũng theo (3) ta có

L ∩ N = N1 ⊕ S với S ⊂o M và N1 là một hạng tử trực tiếp của M ,tức là M = N1 ⊕ P1, với P1 là môđun con của M Thế thì S ⊂o N và

N = N1⊕ N2 với N2 = N ∩ P1 Ta chỉ ra N2 là một bù cộng của N1+ Strong N Giả sử X là môđun con của N2 sao cho N = X + N1+ S Vì

S ⊂o N nên N = X + N1, lại có N2 là một bù cộng của N1 trong N suy

ra X = N2, do đó N2 là một bù cộng của N1+ S = L ∩ N trong N Khi

đó ta có

M = L + N = L + (L ∩ N ) + N2 = L + N2.Hơn nữa L ∩ N2 = (L ∩ N ) ∩ N2 ⊂o N2 nên theo 1.5.3, N2 là bù cộngcủa L hay M có tính bù cộng

Gọi N là môđun con đối đóng của M , ta có sự phân tích N = N1⊕N2,trong đó N1 là một hạng tử trực tiếp của M và N2 ⊂o M Giả sử N1 6= N ,

vì N là đối đóng nên tồn tại môđun con P của M sao cho N + P = M

K + L = M Do tính tối tiểu của N ta có K = N hay N là môđun conđối đóng của M

(5) ⇒ (1) Giả sử A là một môđun con của M , vì M có tính bù cộngnên A có bù cộng là B, theo (4), B là hạng tử trực tiếp của M Gọi M1

là bù cộng của B trong M , ta có M1 ⊆ A và M1 là một hạng tử trựctiếp của M Đặt M = M1 ⊕ M2, ta có

A/M1 = (M1⊕ A ∩ M2)/M1 ' A ∩ M2

và A = (M1 + B) ∩ A = M1+ A ∩ B

Vì B là bù cộng của A trong M nên A + B = M và A ∩ B ⊂o B,

mà B là hạng tử trực tiếp của M suy ra A ∩ B ⊂o M Xét phép chiếu

p : M = M1 ⊕ M2 → M2, vì A ∩ B ⊂o B nên p(A ∩ B) ⊂o p(M ) = M2.Mặt khác

p(A ∩ B) = p(M1 + A ∩ B) = p(A) = A ∩ M2,cho nên A ∩ M2 ⊂o M2 hay A/M1 ⊂o M/M1 Vậy, M là lifting

2.2.3 Hệ quả Một R-môđun M không phân tích được là lifting nếu

và chỉ nếu M là lõm

Chứng minh Gọi N là một môđun con thực sự của M , vì M là lifting