Câu 1 Số thực : là tập hợp bao gồm số dương (1,2,3,…) số 0, số âm (1,2,3,…), số hửu tỉ (52, 2345,…), số vô tỉ ( số π, số √2,…). Số thực có thể được xem là các điểm nằm trên trục số dài vô hạn. Nói đơn gian thì số thực là tập hợp các số hửu tỉ và số vô tỉ. Tập hợp các số thực: Tập hợp các số thực được kí hiệu là R: R=Q U I.
Trang 1Đề 1:
Câu 1
1. Số thực : là tập hợp bao gồm số dương (1,2,3,…) số 0, số âm (-1,-2,-3,…), số hửu
tỉ (5/2, -23/45,…), số vô tỉ ( số , số …) Số thực có thể được xem là các điểm nằm trên trục số dài vô hạn Nói đơn gian thì số thực là tập hợp các số hửu tỉ và số vô tỉ
2. Tập hợp các số thực:Tập hợp các số thực được kí hiệu là R: R=Q U I
N: Tập hợp số tự nhiên
Z: Tập hợp số nguyên
Q: Tập hợp số hữu tỉ
I = RQ: Tập hợp số vô tỉ
Vậy R là tập hợp số thực
3. Trục số thực
Mối số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số Và ngược lại, tức mỗi điểm trên trục số sẽ biểu diễn một số thực Chỉ có tập hợp số thực mới có thể lấp đầy trục số
Trong tập hợp R, ta cũng định nghĩa các phép toán cộng trừ, nhân, chia, lũy thừa, căn bậc…Và trong các phép toán các số thực cũng có các tính chất như các phép toán trong tập hợp các số hữu tỉ
Ta có: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
4 Định nghĩa dãy số
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu: u: N* → R ; n → u(n)
Trang 2Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: …
trong đó = u(n) là số hạng thứ n và gọi nó là số hạng tổng quát, là số hạng đầu của dãy số ()
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, …, m}, với m ∈ N* được gọi là một dãy số hữu hạn
Dạng khai triển của nó là: , trong đó là số hạng đầu, là số hạng cuối
5 Thế nào là dãy số tăng, dãy số giảm
– Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ∈ N*
– Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ε N*
Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số :
Phương pháp 1: Xét hiệu H =
– Nếu H > 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng
– Nếu H < 0 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm
Phương pháp 2:
Nếu > 0 với mọi n ∈ N* thì lập tỉ số , rồi so sánh với 1
– Nếu > 1 với mọi n ∈ N* thì dãy số tăng
– Nếu < 1 với mọi n ∈ N* thì dãy số giảm
6 Định nghĩa dãy số bị chặn
– Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
≤ M, với mọi n ∈ N*
– Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
≥ m, với mọi n ∈ N*
– Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số m, M sao cho:
m ≤ ≤ M, với mọi n ∈ N*
7 giới hạn của dãy số thực
Trang 37.1 Định nghĩa
Định nghĩa Cho dãy số {} ⊂ R Nếu tồn tại a ∈ R sao cho
∀ε > 0 ∃ = (ε) ∀n > : | − a| < ε thì ta nói a là giới hạn của dãy {un} và {un} gọi là hội tụ tới a Lúc đó, ta viết
a = hay khi n
Một dãy có giới hạn trong R được gọi là dãy hội tụ Các trường hợp còn lại gọi là dãy phân kỳ
7.2 Tính chất
-Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất
-Giả sử {} và {} là các dãy hội tụ Khi đó các dãy tổng, hiệu
và tích của chúng cũng hội tụ và
;
; thì
-nếu
7.3 Tiêu Chuẩn Hội Tụ
Định nghĩa: Dãy số {} được gọi là dãy cơ bản (hay là dãy Cauchy) nếu
với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho
Hay một cách tương đương với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại ∈ N sao cho
|| < ε > , ∀p ∈ N
Câu 2
Ta có
Trang 4 Dãy giảm đơn điệu (1)
Ta lại có :
Dãy bị chặn dưới (2)
Từ (1) và (2)
Câu 3
=
Vậy giới hạn của hàm số khi x là: