Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4

Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 Phân tích kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4

TÓM TẮT

Nội dung luận văn tập trung trình bày về việc sử dụng phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 để phân tích kết cấu có vết nứt mà không chia lại lưới khi vết nứt phát triển

Vết nứt có thể cắt hoàn toàn qua phần tử hoặc chỉ cắt một phần phần nhằm thể hiện chuyển vị không liên tục ngang qua vết nứt Các phần tử chồng lên nhau tại vị trí vết nứt

và sẽ được tích phân từng Luận văn cũng xem xét đến trường hợp phần tử có chứa mũi vết nứt mà ở đó quan hệ động học giữa các phần tử chồng lên nhau được thiết lập sao cho không có bước nhảy của chuyển vị tại mũi vết nứt Đây là sự khác biệt của đề tài vì đối với phần tử bốn nút các nghiên cứu trước đây chỉ cho phép mũi vết nứt nằm trên cạnh phần tử

Phần mềm Pre - Post processor GiD được sử dụng để mô hình, chia lưới và khai báo các dữ liệu ban đầu của bài toán Đây là dữ liệu đầu vào cho chương trình được viết bằng ngôn ngữ Fortran, trên môi trường Visual Studio 2008 Sau khi chạy chương trình kết quả sẽ được tạo theo định dạng của GID để biểu diễn ứng suất, chuyển vị của bài toán

Phương pháp nút ảo dùng phần tử tấm MITC4 được trình bày trong luận văn đã cho kết quả tính toán hệ số tập trung ứng suất phù hợp với các tài liệu tham khảo điều này thể hiện được sự hiệu quả của phương pháp khi mô phỏng bài toán tấm có vết nứt

MỤC LỤC

DANH SÁCH CÁC HÌNH viii

DANH SÁCH CÁC BẢNG x

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 1

1.1 Tổng quan chung về tình hình nghiên cứu 1

1.1.1 Tầm quan trọng của việc phân tích kết cấu có vết nứt 1

1.1.2 Mô phỏng và tính toán kết cấu có vết nứt 1

1.1.3 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 4

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài 5

1.2.1 Mục đích 5

1.2.2 Nhiệm vụ 5

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn 5

1.3.1 Đối tượng nghiên cứu 5

1.3.2 Mục đích nghiên cứu 5

1.4 Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu của luận văn 5

1.4.1 Nghiên cứu lý thuyết 5

1.4.2 Lập trình 6

1.4.3 Mô phỏng tính toán phân tích 6

1.4.4 Kiểm tra kết quả 6

1.5 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn 6

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TẤM MITC4 7

2.1 Phần tử không nứt 7

2.2 Phần tử nứt hoàn toàn 11

2.3 Phần tử nứt một phần 12

2.3.1 Phần tử nứt một phần dạng 1 13

2.3.2 Phần tử nứt một phần dạng 2 16

2.3.3 Phần tử nứt một phần dạng 3 17

2.3.4 Phần tử nứt một phần dạng 4 18

2.4 Phương trình cân bằng 19

2.5 Tích phân số 20

CHƯƠNG 3: TÍNH HỆ SỐ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 22

3.1 Giới thiệu 22

3.1.1 Định nghĩa hệ số tập trung ứng suất (SIF) 22

3.1.2 Phân loại hệ số tập trung ứng suất (SIF) 22

3.2 Tính hệ số tập trung ứng suất 23

3.2.1 Đối với vật thể có kích thước hữu hạn 23

3.2.2 Tải trọng màng 23

3.2.3 Tải trọng uốn – Lý thuyết Kirchhoff 23

3.2.4 Tải trọng uốn – lý thuyết Reinsser 23

3.3 Cách tính SIF bằng phương pháp tích phân tương tác 24

3.3.1 Giới thiệu 24

3.3.2 Cách tính 24

CHƯƠNG 4: CÁC VÍ DỤ SỐ MINH HỌA 27

4.1 Bài toán ứng suất phẳng 27

4.1.1 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu kéo 27

4.1.2 Tìm hệ số tập trung ứng suất cho tấm chịu cắt 30

4.2 Bài toán tấm chịu uốn 33

4.2.1 Tìm SIF cho tấm chịu ứng suất uốn phân bố đều 33

4.2.1.1 Tấm có bốn biên tựa đơn chịu uốn 33

4.2.1.2 Tấm có hai biên tựa đơn, hai biên tự do 35

4.2.2 Tìm SIF cho tấm chịu tác dụng của mô ment uốn 36

4.2.2.1 Tấm chữ nhật chịu uốn có vết nứt ở giữa 36

4.2.2.2 Tấm vuống chịu uốn có vết nứt ở biên 39

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 42

5.1 Kết luận 42

5.2 Kiến nghị 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 2.1: Phân loại phần tử tấm có vết nứt cắt qua 7

Hình 2.2: Phần tử tấm MITC4 7

Hình 2.3: Phần tử ttrong mặt phẳng x - y 9

Hình 2.4: Hai trường hợp phần tử nứt hoàn toàn 11

Hình 2.5: Phần tử bị nứt một phần 13

Hình 2.6: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 1) 13

Hình 2.7: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 2) 16

Hình 2.8: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 3) 17

Hình 2.9: Phần tử bị nứt một phần (Dạng 4) 18

Hình 2.10: Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt 21

Hình 2.11: Các tam giác phụ chứa vết nứt 21

Hình 2.12: Các miền thực của tam giác phụ chứa vết nứt 21

Hình 3.1: Các dạng của hệ số tập trung ứng suất 22

Hình 3.2: Ứng suất trên phân tố 24

Hình 3.3: Tích phân tương tác - J 25

Hình 4.1: Tấm chữ nhật chịu kéo 27

Hình 4.2: Chia lưới cho phần tử 28

Hình 4.3: Giá trị chuẩn hóa của KI của tấm chữ nhật chịu kéo 29

Hình 4.4: Giá trị chuyển vị của tấm 29

Hình 4.5: Tấm chữ nhật chịu cắt 30

Hình 4.6: Giá trị chuẩn hóa KI của tấm chữ nhật chịu cắt 31

Hình 4.7: Giá trị chuẩn hóa KII của tấm chữ nhật chịu cắt 31

Hình 4.8: Chuyển vị của tấm chịu cắt 32

Hình 4.9: Tấm vuông chịu uốn bốn biên tựa 33

Hình 4.10: Giá trị tích phân J …bốn biên tự với b/h=6 34

Hình 4.11: Giá trị tích phân J …bốn biên tựa với b/h=10 34

Hình 4.12: Tấm vuông chịu uốn hai biên tựa 35

Hình 4.13: Giá trị tích phân J …hai biên tựa với b/h=6 35

Hình 4.14: Giá trị tích phân J …hai biên tựa với b/h=10 36

Hình 4.15: Tấm có vết nứt ở giữa chịu tác dụng mô ment uốn 37

Hình 4.16: Các lưới chia khác nhau của bài toán 37

Hình 4.17: Sai số của hệ số tập trung ứng suất 38

Hình 4.18: Tấm vuông có hai vết nứt ở cạnh đối xứng 39

Hình 4.19: Mô hình tương đương 40

Hình 4.20: Mô hình lưới chia của bài toán 40

Hình 4.21: Tích phân J của tấm vuông chịu uốn 41

DANH SÁCH CÁC BẢNG

Bảng 4.1: Giá trị hệ số tập trung ứng suất K I của tấm chịu kéo 28

Bảng 4.2: Giá trị chuẩn hóa K I của tấm chịu kéo 28

Bảng 4.3: Hệ số tập trung ứng suất K I , K II của tấm chịu cắt 30

Bảng 4.4: Giá trị chuẩn hóa K I và K II của tấm chịu cắt 31

Bảng 4.5: Sai số SIF của tấm chữ nhật vết nứt ở giữa chịu mô ment uốn 38

Bảng 4.6: Giá trị tích phân J của tấm vuông vết nứt ở biên chịu mô ment uốn 41

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1 Tổng quan chung về tính hình nghiên cứu

1.1.1 Tầm quan trọng của việc phân tích kết cấu có vết nứt

Trong quá trình làm việc của các cơ cấu kỹ thuật thường xuất hiện các vết nứt do các lỗi vật liệu, tính toán không phù hợp với điều kiện làm việc thực tế, vật liệu bị mỏi, quá tải hoặc các vấn đề khó lường khác điều này dẫn đến phải tốn chi phí rất lớn để sửa chữa và bảo trì Và đã có nhiều tai nạn nghiêm trọng đối với công trình do sự xuất hiện vết nứt ở các cấu kiện chịu lực chính Chính vì vậy, việc kịp thời xác định đánh giá sự nguy hiểm của các vết nứt trong kết cấu là giải pháp hữu hiệu nhất để tránh các tai nạn

có thể xảy ra Do đó, việc phân tích đánh giá chính xác vị trí, hướng phát triển của vết nứt là vấn đề quan trọng, cần thiết và hiện vẫn là đề tài thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu và các kĩ sư thể hiện qua các công trình nghiên cứu về kết cấu có vết nứt được công bố trên các tạp chí trong và ngoài nước

1.1.2 Mô phỏng và tính toán kết cấu có vết nứt bằng phương pháp số

Để phân tích các thành phần hoặc các cấu trúc chứa các vết nứt, các phương pháp giải tích có thể được sử dụng Tuy nhiên phương pháp giải tích chỉ giải quyết vấn đề nứt với kết cấu có dạng hình học và điều kiện biên tương đối đơn giản

Tuy nhiên trong cơ học rạn nứt, có nhiều bài toán thực tiễn mà ta không thể cho ra lời giải chính xác, nguyên nhân có thể là do sự phức tạp của các phương trình ứng xử, hay khó khăn đến từ điều kiện biên hay điều kiện ban đầu Để giải quyết những trở ngại

đó, phương pháp số đã được sử dụng

Khi phân tích kết cấu có vết nứt phải xây dựng được đồng thời mô hình kết cấu và

mô hình vết nứt trong kết cấu Sau đó, phân tích tính toán vết nứt dựa trên mô hình đã xây dựng bằng phương pháp số

Các phương pháp số phân tích tính toán vết nứt chủ yếu hiện nay được chia làm

ba nhóm dựa trên xấp xỉ chuyển vị và kỹ thuật rời rạc của miền phần tử:

- Nhóm phương pháp chia lại lưới (FEM, BEM);

- Nhóm phương pháp không chia lưới (Meshless);

- Nhóm không chia lại lưới (XFEM, Phantom-node)

Mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng, và hiện nay vẫn đang được nghiên cứu

và phát triển cho hoàn thiện hơn

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant 1942 Từ thập niên 1950 đến 1970, nó được phát triển bởi các kỹ sư và các nhà toán học thành một phương pháp tổng quát để giải các phương trình đạo hàm riêng FEM là một trong những phương pháp phổ biến nhất để

phân tích cấu trúc nứt cụ thể như nghiên cứu mở đường của Williams [1], chỉ ra dao động

riêng lẻ của trường ứng suất quanh mũi vết nứt giữa các vật liệu khác nhau; Erdogan

[2,3] Tuy nhiên, thách thức đối với FEM trong việc chia lại lưới khi mô hình sự lan

truyền của vết nứt Để khắc phục những khó khăn trên Phương pháp phần tử biên BEM

ra đời khoảng thập niên 1970s [8] Khác với FEM còn gọi là phương pháp miền, BEM là

phương pháp số liên quan đến những phương trình tích phân trên biên mà nền tảng là công thức Green Phương pháp này nhằm làm giảm số chiều không gian, ví dụ tính toán vấn đề không gian ba chiều thì sự rời rạc hóa chỉ diễn ra trên bề mặt biên và không gian hai chiều mà thôi Tuy nhiên cơ sở toán học và thuật toán của BEM tương đối phức tạp

Trước những khó khăn của hai phương pháp trên trong việc phải mô hình lưới chia

cho bài toán thì phương pháp không lưới Phương pháp Meshless [9, 10] là phương pháp

dùng để thiết lập một hệ phương trình đại số cho toàn bộ các vấn đề của miền bài toán mà không cần xác định trước lưới chia, hoặc sử dụng lưới chia một cách tự do hơn Phương pháp Meshess sử dụng tập hợp các nút nằm phân tán trong miền hay trên biên để trình bày về miền và biên đó Hàm của miền sẽ được xấp xỉ cục bộ thông qua các nút đó Tuy nhiên, hàm dạng của phương pháp thường không thỏa điều kiện Kronecker delta vì thế áp điều kiện biên trực tiếp rất khó khăn

Hiện nay, FEM là một trong những phương pháp số được phát triển và sử dụng mạnh mẽ nhất để phân tích tính toán trên một phạm vi rộng những kết cấu phức tạp về hình dạng, điều kiện biên hay tải trọng, tính chất vật liệu FEM đã được ứng dụng để phân tích bài toán tuyến tính hai chiều, ba chiều, đối xứng trục, dầm, tấm vỏ Ngoài ra, FEM còn được dùng để phân tích bài toán phi tuyến hình học, vật liệu với mức độ tin cậy cao FEM cũng được áp dụng để tính toán hệ số tập trung ứng suất của kết cấu có vết

nứt[4, 6]hoặc sự phát triển của vết với độ chính xác chấp nhận được Để khắc phục khó

khăn trong việc chia lại lưới thì phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng XFEM ra đời

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) [5] là công cụ có thể xem là

mạnh mẽ nhất hiện nay cho việc phân tích vấn đề có liên quan đến sự không liên tục (gián đoạn) như là vết nứt hay tương tác của kết cấu lỏng hay mặt phân cách vật liệu, mà không cần chia lưới lại… XFEM thường được dùng để tính toán các trường ứng suất và chuyển vị cần thiết để xác định sự phát triển của vết nứt, và hiện nay có rất nhiều ứng

dụng: nghiên cứu vết nứt phát triển với ma sát [5], vết nứt phân nhánh tùy ý và giao nhau [16], sự phát triển vết nứt ba chiều [14], vấn đề không liên tục của vật liệu [13]… XFEM

thường được dùng làm phương pháp tham khảo, được làm cơ sở để phương pháp khác so sánh, đối chiếu kết quả của mình trong quá trình nghiên cứu

Trong XFEM, có các trường chuyển vị làm giàu (enrichments) để thể hiện sự không liên tục do đó các bậc tự do được thêm vào và chúng sẽ xác định phương trình cân bằng của kết cấu có vết nứt Ví dụ bước nhảy trên trường chuyển vị được xác định thông qua các bậc tự do vừa thêm vào ở hai bên vết nứt

Gần đây dựa trên ý tưởng của “Hansbo and Hansbo” [18] một cách tiếp cận khác

được gọi là phương pháp nút ảo đã được đặt ra để mô tả các vết nứt độc lập với lưới chia

mà không sử dụng xấp xỉ chuyển vị bất liên tục như trong XFEM Trong phương pháp này, thì đầu vết nứt có thể nằm bên trong một phần tử, vết nứt có thể phát triển tùy ý độc lập với lưới chia Đây là phương pháp mà quan hệ động học của vết nứt được xác định bằng sự chồng lên nhau giữa các phần tử thay vì thông qua các bậc tự do chưa biết được thêm vào như phương pháp XFEM Ngoài ra, phương pháp này cũng thuận tiện hơn XFEM ở chỗ xấp xỉ các trường chuyển vị mà không dựa trên các hàm làm giàu dữ liệu không liên tục

Lý thuyết của “Hansbo and Hansbo” tiếp tục được các nhà nghiên cứu sau này

phát triển và ứng dụng Cụ thể như: Mergheim [19, 20] phát triển ý tưởng chồng chất các

nút tương đồng để xây dựng sự bất liên tục cho trường hợp mũi vết nứt nằm đúng trên các cạnh của phần tử Cách này đã được thực hiện để phân tích tĩnh bài toán hai chiều

[19] và không gian ba chiều [20]; J.H.Song phân tích động và sự lan truyền vết nứt [21]; Areias thì ứng dụng lý thuyết này ở kết cấu vỏ [22]…

Để xem xét các trường hợp trong đó các đỉnh của vết nứt có thể được đặt bên

trong một phần tử, Rabczuk [25] đã xây dựng các ràng buộc động học cho phần tử tam

giác ba nút và bốn nút tứ giác các cặp phần tử chồng chất chứa mũi vết nứt và áp dụng

cho bài toán hai chiều Ý tưởng các cặp phần tử chồng chất trong [25] đã được mở rộng

thành công ở các cấu trúc vỏ có vết nứt rời rạc bởi phần tử vỏ ba nút MITC3 [24] và là

tiền đề để áp dụng cho phần tử tấm MITC4 như trong luận văn

Năm 1970 Ahmad, Iron và Zienkiewicz [36, 37] đã giới thiệu một phần tử tham số

C0 độc lập nội suy cho chuyển vị góc xoay Phương diện phù hợp nhất của phần tử này là các hàm nội suy chỉ cần thỏa điều kiện C0 Phần tử này được biết đến như các phần tử vỏ

Mindlin/Reissner [38, 39] Dù sử dụng biến dạng cắt để phân tích vỏ dày nhưng gặp phải

khó khăn đó là hiện tượng “Khóa cắt” (shear locking) khi chiều dày của tấm giảm dần vào những năm 1970 hầu hết các nghiên cứu về tấm đều dựa trên lý thuyết của Ahmad, Iron và Zienkiewicz đã xây dựng và tìm cách để khắc phục hiện tượng khóa cắt

Năm 1980 Bathe và Dvorkin [35] đề xuất phương pháp nội suy hỗn hợp các thành

phần ten xơ (mixed interpolation tensorial components viết tắt là MITC) đã giải quyết được các vấn đề về khóa cắt Các phương pháp MITC rất hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán tấm vỏ vì đã loại bỏ được hiện tượng khóa cắt và cho kết quả tin cậy

1.1.3 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Gần đây đã có nhiều nghiên cứu về phương pháp nút ảo với việc giải quyết các vấn đề trong cơ học rạn nứt điển hình là các đề tài tiêu biểu sau:

- Năm 2005, J.Mergheim và cộng sự, phát triển phương pháp với mũi vết nứt nằm

trên cạnh phân tích tĩnh bài toán hai chiều [19]

- Năm 2006, J.H.Song, PMA.Areias, T.Belytschko, phương pháp nút ảo để phân

tích sự lan truyền của vết nứt [21]

- Năm 2007, J Mergheim, E Kuhl, and P Steinmann, Towards, phân tích tĩnh bài

toán có vết nứt ở không gian ba chiều [20]

- Năm 2008, Timon Rabczuk, Goang seup Zi, Axel Gerstenberger and Wolf Gang

A Wall, Phương pháp nút ảo cho một phần tử đỉnh nứt với các vết nứt gắn kết tùy ý

Theo sự hiểu biết của bản thân thông qua sự khảo sát thông tin trên các tạp chí khoa học, tác giả vẫn chưa tìm thấy bất kỳ nhóm nào đang tiến hành nghiên cứu nội dung về phân tích tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo sử dụng phần tử MITC4, mũi vết nứt nằm trên phần tử thay vì nằm trên biên như các nghiên cứu khác Đây là nguyên nhân và cũng chính là động lực để tác giả thực hiện đề tài nghiên cứu này

1.2 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

triển cho phần tử tấm vỏ tam giác ba nút MITC3 [24]

Vì phần tử tấm MITC4 thường cho kết quả chuyển vị, ứng suất tốt hơn phần tử tam giác MITC3, nên nhiệm vụ đặt ra cho đề tài là phát triển phương pháp nút ảo cho phần tử tấm MITC4 để tính toán kết cấu có vết nứt, có khả năng cho vết nứt cắt qua hoàn toàn hoặc một phần của phần tử với mong muốn đạt được kết quả chính xác hơn phương pháp nút ảo dùng phần tử tam giác ba nút MITC3

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn

1.3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Kết cấu tấm có vết nứt

1.3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Tấm làm việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính về vật liệu

1.4 Phương pháp luận và phương pháp nghiên cứu của luận văn

1.4.1 Nghiên cứu lý thuyết

Việc nghiên cứu dựa trên các cơ sở lý thuyết về phần tử hữu hạn, cơ học rạn nứt, các bài báo khoa học đã được công bố trong và ngoài nước trên các tạp chí uy tín hay các hội nghị cơ học toàn quốc

1.4.2 Lập trình

Dùng phần mềm lập trình Fortran trên nền tảng Visual Studio 2008

1.4.3 Mô phỏng tính toán phân tích

Việc mô phỏng bài toán được sử dụng phần mềm Pre - Post processor GiD [28]

Sử dụng phần mềm này có ưu điểm là giúp ta tiết kiệm khá nhiều thời gian khi mô hình ban đầu và có thể hiển thị ứng xử kết cấu sau khi tính toán Nhược điểm là phải lập trình

ra một module tương thích với giao diện và các module xử lý kết quả, đưa kết quả về lại GiD để hiển thị ứng xử kết cấu

1.4.4 Kiểm tra

Sau khi ví dụ mô phỏng số có kết quả, ta sẽ so sánh với các giá trị tham khảo đã công bố trên các tạp chí để rút ra nhận xét và đánh giá phương pháp

1.5 Ý nghĩa lý luận và thực tiễn của luận văn:

- Cung cấp lý thuyết để tính toán kết cấu tấm có vết nứt bằng phương pháp nút ảo cho phần tử tấm - MITC4 Qua đó xem xét các đặc trưng về sự phân bố ứng suất

- Dự đoán được sự xuất hiện và sự phát triển của vế nứt qua đó có biện pháp để gia cường, sửa chữa nhằm hạn chế tai nạn xảy ra

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG PHÁP NÚT ẢO CHO PHẦN TỬ TẤM MITC4

Khi rời rạc hóa cấu kiện có vết nứt bằng lưới phần tử căn cứ vào trường chuyển vị trong phần tử ta có thể chia các phần tử làm ba loại: phần tử không bị cắt – trường chuyển vị trên đó là liên tục, phần tử bị cắt hoàn toàn – trường chuyển vị liên tục trên mỗi phần nhưng không liên tục khi đi qua vết nứt và phần tử bị cắt một phần (phần tử mũi vết nứt)

– không liên tục khi đi qua vết nứt nhưng liên tục tại mũi của vết nứt, như Hình 2.1

Hình 2.1: Phân loại phần tử tấm bị vết nứt cắt qua 2.1 Phần tử không nứt

Phần tử không bị cắt bởi vết nứt thì trường chuyển vị trên đó là liên tục, dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán như phần tử MITC4 bình thường

Hình 2.2: Phần tử tấm MITC4

Phần tử không nứt Phần tử nứt hoàn toàn Phần tử nứt một phần

2 , ,

V là vector vuông góc với mặt phẳng tấm;

xk, yk, zk: là tọa độ của nút thứ k trong hệ tọa độ Đề - Các;

hk: là chiều dày của tấm;

Chuyển vị nút của phần tử được xấp xỉ bởi:

uk, vk, wk: là chuyển vị nút thứ k trong hệ tọa độ Đề - Các;

Với αk và βk là góc xoay của véc tơ 0Vn kvề phía véc tơ 0V1k và 0V2k

Chuyển vị thuần túy trong (2.3) của tấm MITC4 không thể hiện được biến dạng cắt

ngang bằng 0 khi tấm mỏng hay còn gọi là hiện tượng khóa cắt “shear locking” Để hạn chế hiện tượng này, tính hiệp biến của biến dạng cắt ngang trong phần tử MITC4 được nội suy tách biệt từ giá trị của biến dạng cắt ngang tính tại các điểm “tying points” Trường hợp này các điểm “tying points” là trung điểm của các cạnh phần tử đẳng hướng

như Hình 2.3 điều này được trình bày trong [12]

Với: B là ma trận chuyển vị và biến dạng của phần tử

U i = (u, v, w)i là chuyển vị và góc xoay của vector tại các nút của phần tử

C là ma trận đƣợc cấu thành bởi quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong hệ tọa độ Đề - Các và đƣợc thể hiện trong [12]

B

DA

xr

sy

x

12

B

DA

xr

s

2

y

Với D và Q được cho bởi:

1

2 1

E là mô đun đàn hồi, 𝑣 là hệ số poisson

 Theo phương pháp phần tử hữu hạn, ta tính được độ cứng phần tử:

𝐊𝑒𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑛ứ𝑡 = 𝐁Ω T𝐂𝐁𝑑Ω𝑒

2.2 Phần tử nứt hoàn toàn

Phần tử nứt là phần tử bị vết nứt cắt qua hoàn toàn Trường chuyển vị ngang qua vết nứt là không liên tục nhưng trên mỗi phần riêng 𝛀𝑒+ và 𝛀𝑒−thì lại liên tục một cách độc lập Vì thế trường chuyển vị có thể được chồng lên nhau bằng hai trường chuyển vị riêng biệt mà mỗi cái liên tục trên miền của mình

Hình 2.4: Hai trường hợp của phần tử tấm bị nứt hoàn toàn Phương pháp trên được trình bày theo “Hansbo và Hansbo”[18].Tuy phương pháp này đã

được chứng minh rằng tương đương với phương pháp XFEM (theoAreias và Belytschko

[30]) nhưng xấp xỉ của trường chuyển vị cho phần tử nứt theo phương pháp này có nhiều

thuận lợi hơn vì không cần các hàm làm giàu không liên tục

Cho phần tử nứt bốn nút 𝛀𝑒 bị một vết nứt chia thành hai phần bù nhau, Ω𝑒+và

Ω𝑒− Trường chuyển vị trong phần tử nứt có thể được trình bày như sau:

- Trường hợp như Hình 2.4 (a): phần mới Ω𝑒𝑝−, Ω𝑒𝑝+ Phần mới này sẽ có thêm các nút ảo địa phương 3∗, 4∗ trên Ω𝑒𝑝+ và 1∗, 2∗ trên Ω𝑒𝑝− Các nút ảo sẽ có cùng tọa độ như nút thật Kết quả là tạo ra được phần tử liên tục và có thể tính toán chúng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

- Trường hợp như Hình 2.4 (b): phần mới Ω𝑒𝑃−, Ω𝑒𝑃+, sẽ có thêm các nút ảo địa phương 1∗, 3∗, 4∗ trên Ω𝑒𝑃− và 2∗ trên Ω𝑒𝑃+ Các nút ảo này sẽ có cùng tọa độ như nút thật Kết quả là trường chuyển vị trên mỗi miền của phần tử nứt là liên tục có thể được xấp xỉ một cách tương tự như phần tử tứ giác bốn nút và có thể tính toán chúng bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Khi lấy tích phân thì chỉ được áp dụng trên miền thực (miền tạo bởi nút thật và biên của vết nứt), không áp dụng cho miền ảo

Cuối cùng, ta tính được ma trận độ cứng K của phần tử nứt như sau:

𝐊𝒆𝑛ứ𝑡 = 𝐁 𝑇

Ω𝑒+ 𝐂𝐁𝑑Ω𝑒+ + 𝐁 𝑇

Ω𝑒− 𝐂𝐁𝑑Ω𝑒− (𝟐 𝟏𝟑) 2.3 Phần tử bị cắt một phần (Phần tử chứa mũi vết nứt)

Khi phần tử bị cắt một phần bởi một vết nứt thì trường chuyển vị là không liên tục khi đi qua vết nứt nhưng lại liên tục ở mũi của vết nứt Đặc biệt trường chuyển vị gần

mũi vết nứt có độ dốc cực đại [31] và không có bước nhảy tại mũi Để xem xét trường chuyển vị có độ dốc cao tại lân cận mũi vết nứt XFEM thêm vào các hàm làm giàu [6, 37] Tuy nhiên các hàm làm giàu suy biến chỉ có ý nghĩa trong các bài toán đàn hồi tuyến

tính còn trong bài toán dẻo các hàm làm giàu tại mũi vết nứt không cần thiết Hơn nữa hàm làm giàu có thể làm tăng độ phức tạp của tính toán nhưng không hiệu quả trong việc cải thiện tính chính xác đặc biệt trong trường hợp sử dụng kỹ thuật xấp xỉ trường biến

dạng [24, 25, 44] trong XFEM Một số nghiên cứu [42,43] đã chỉ ra rằng các chuyển vị

có độ dốc cao trong vùng lân cận mũi vết nứt có thể mô hình thành công bằng cách làm mịn xung quanh mũi vết nứt Và ta nhận thấy rằng trong tất cả các trường hợp đều không

có sự dịch chuyển của trường chuyển vị tại mũi của vết nứt mở

Từ các đặc trưng của trường chuyển vị tại mũi vết nứt của phần tử bị cắt một phần

Rabczuk [25] đã xây dựng được các ràng buộc động học cho các yếu tố chồng chất để

dịch chuyển của vết nứt mở biến mất tại mũi của vết nứt Điều đó có nghĩa là trường chuyển vị ở gần mũi vết nứt sẽ không được mô tả để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của các giải pháp số Đặc biệt trong trường hợp cơ học đứt gẫy đàn hồi tuyến tính Trường chuyển vị tiệm cận xung quanh mũi vết nứt được xử lý bằng cách chia lưới mịn Thành thật mà nói không thể kết hợp hàm làm giàu vào trong phương pháp nút ảo

Phần tử tấm MITC4 có mũi vết nứt nằm trên cạnh của phần tử được trình bày rõ

và giải thích chi tiết ở [25] Trong luận văn này, tác giả xây dựng điều kiện động học cho

trường hợp vết nứt cắt một phần của phần tử tứ giác bốn nút Dựa vào quan hệ giữa vị trí vết nứt cắt qua cạnh phần tử, có 4 dạng được xem xét để xây dựng các ràng buộc động học cho các phần tử chồng lên nhau của phương pháp nút ảo, cụ thể như sau:

2.3.1 Phần tử nứt một phần dạng 1

Hình 2.5: Phần tử nứt một phần

Hình 2.6: Phần tử bị nứt một phần (dạng 1)

Xét ví dụ phần tử bốn nút có vết nứt cắt qua như hình vẽ Vết nứt từ cạnh 12 phát triển vào trong phần tử Do sự gián đoạn trên các vết nứt, sự dịch chuyển của nút 1 và nút 2 phải thuộc về hai trường chuyển vị riêng xấp xỉ bằng phương pháp phần tử hữu hạn tiêu chuẩn Ngoài ra, sự triệt tiêu chuyển vị của vết nứt mở tại mũi vết nứt dẫn đến sự chuyển

vị của nút 3 và nút 4 độc lập từ xấp xỉ chuyển vị của nút 1 và nút 2 Thực hiện đầy đủ các xấp xỉ phần tử hữu hạn tiêu chuẩn cho ba chuyển vị khác nhau nút ảo là thêm vào ở vị trí giống hệt nhau của các nút thực Ta có 4 nút ảo 1*, 2*, 3*, 4* và 3 hình chữ nhật 1234

(loại 1), 12*3*4 (loại 2), 1*234* (loại 3) Tổng của diện tích A1, A2, A3 được xem như bằng với diện tích phần tử tứ giác 1234 do phần khác biệt không đáng kể

Tuy nhiên, để đảm bảo tính liên tục phần tử mũi của vết nứt một phần, ba chuyển vị riêng biệt của nút 1, nút 2, và nút 3, nút 4 phải được hạn chế để đại diện cho trường chuyển vị giữ chúng Trong trường chuyển vị tiêu chuẩn của phần tử tứ giác 4 nút, chuyển vị giống hệt nhau của ba xấp xỉ chuyển vị riêng biệt chỉ có 1 trường hợp mà trong đó có 1 đường giao nhau Γ𝑘 là khi Γ𝑘song song với trục tọa độ tự nhiên x [15] Giao điểm giữa Γ𝑘 với

biên 23 hay 14 là điểm 8 hay 7 trong Hình 2.6

Do đó, các dịch chuyển của nút 1 được mô tả bởi phần tử 12*3*4, trong đó các nút 2* và 3* tương ứng là các nút ảo của các nút thực 2 và 3 Tương tự như vậy, phần tử 1*234* đại diện cho sự dịch chuyển của nút 2 và phần tử 1234 đại diện cho dịch chuyển các nút 3

và 4 Ngoài ra, Từ điều kiện cho sự khác biệt về chuyển vị bằng 0 dọc theo đường Γ𝑘 có thể đặt ra một sự ràng buộc động học như sau giữa các nút ảo:

Ở đó u*3 là dịch chuyển của nút ảo *

3 và  là tọa độ tự nhiên của điểm 7 như Hình 2.6

Từ phương trình(2.14), các dịch chuyển của nút ảo 3 bị hạn chế bởi

0 I I 0 0 I

0 0 0 I 0 0

(2.19)

Thay các giá trị (2.17), (2.18), (2.19) vào công thức (2.16) ta đƣợc (2.20)

1

t e

Ở đó u*4 là dịch chuyển của nút ảo *

4 và  là tọa độ tự nhiên của điểm 8 nhƣ Hình 2.5

1

*

2 1

3 2

4 3

*

*

1 4

* 2

t e

3 2

*

4 3

*

*

2 4

* 3

t e

*

3 2

4 3

* 2 4

* 3

t e

x y

(1)

(2)

(3) (4)

3*

3

3 2

4 3

*

*

3 4

* 4

t e

u u

u u

4

x y

(1)

(2)

(3) (4)

3*

3 4*

2

1 2 1

*

3 2

*

4 3

* 3 4

* 4

t e

u

u u

u u

3 2

*

4 3

*

*

1 4

* 4

t e

u u

u

u u

7

8 4

x y

(1)

(2)

(3) (4)

3 4*

1 1*

3 2

4 3

* 1 4

* 4

t e

u

u u

u u

cracked elements

tip elements

all element

   

Trong đó B là ma trận độ cứng chuyển; D là trường ứng suất hoặc trường cấu thành nên

ma trận; ue là dịch chuyển của phần tử không nứt

2.5 Tích phân số

Đối với phần tử không bị cắt bởi vết nứt, dùng tích phân Gauss tiêu chuẩn với 4 điểm Gauss (2x2) Phần tử bị cắt toàn bộ hoặc một phần chỉ được tích phân phần thực, có thể là hình tam giác, tứ giác hoặc ngũ giác Do đó, phải hiệu chỉnh tích phân Gauss tiêu chuẩn bằng cách chia phần thực thành các tam giác phụ, cạnh của nó phải thẳng hàng với hình dạng vết nứt

Trong mỗi tam giác phụ, điểm Gauss hiệu chỉnh 𝜉𝑝ℎụ, 𝜂𝑝ℎụ được ánh xạ từ Gauss tiêu chuẩn 𝜉 , 𝜂 vào trong miền tam giác phụ như sau:

𝑁𝐼 𝜉, 𝜂 là giá trị hàm dạng tại điểm Gauss tiêu chuẩn

𝝃𝐼, 𝜼𝐼 là tọa độ nút của vùng tam giác phụ đo trong hệ tọa độ tự nhiên của phần tử Việc chia nhỏ thành các vùng phụ chỉ dùng cho mục đích tích phân và không liên quan đến việc chia lưới lại hay thêm vào các bậc tự do

Hình 2.10:Ánh xạ của tam giác phụ chứa vết nứt

Hình 2.11: Các tam giác phụ chứa vết nứt – phần tử nứt hoàn toàn

Đối với phần tử bị cắt một phần thì được chia là 3 phần tử như sau: