Nghiên cứu thiết kế chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm

Nghiên cứu thiết kế chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm Nghiên cứu thiết kế chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm Nghiên cứu thiết kế chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm

TỔNG QUAN

Tổng quan về lĩnh vực nghiên cứu

1.1.1 Các nghiên cứu trong và ngoài nước

Hiện nay các sản phẩm chân giả được nghiên cứu và phát triển rất đa dạng về chủng loại và mẫu mã, nhưng có thể phân thành hai nhóm cơ bản: chân giả có sử dụng năng lượng hỗ trợ và chân giả không sử dụng năng lượng Nghiên cứu tập trung giới thiệu các loại chân giả không sử dụng năng lượng, nhằm làm rõ đặc tính và tiềm năng ứng dụng của nhóm này cho người dùng.

1.1.1.1 Các nghiên cứu ngoài nước

Hiện nay số người tàn tật ở Mỹ đang gia tăng nhanh, ước tính gần 40% (khoảng 623.000 người), và dự báo đến năm 2050 con số này có thể lên tới 1,4 triệu người Với quy mô người cần chăm sóc như vậy, nhu cầu sử dụng chân giả là rất lớn, khiến các sản phẩm và công trình nghiên cứu trong lĩnh vực này nhận được sự quan tâm đặc biệt từ cộng đồng khoa học Một trong những đề tài nổi bật là “Energy storing composite prosthetic foot” do James và cộng sự thực hiện (1993), đã được cấp bằng sáng chế số US 07/793,082 và được trường đại học quốc tế Singapore nhượng quyền đầu tiên Sản phẩm của đề tài là chân giả có khả năng tích trữ năng lượng để hỗ trợ người tàn tật khi di chuyển, được làm từ vật liệu carbon composite (như hình 1.1).

Hình 1.1 Bản vẽ CAD cho bàn chân carbon của James et al (1993)

Trang 2 Đề tài “Prosthetic foot having shock absorption” do Jeffray et al (2003) với sản phẩm đã được cấp bằng sáng chế tại Mỹ số US 09/502,455 Sản phẩm với khả năng hấp thụ được lực tác dụng ở gót chân, bàn chân gồm hai bộ phận chính là phần ngón chân và phần gót chân tích hợp bộ phận giảm chấn giúp người sử dụng thoải mái khi di chuyển Khi lực tác dụng lên phần gót chân ảnh hưởng đến mõm cụt được hấp thụ bởi bộ phận giảm chấn

Hình 1.2 Các kết cấu bàn chân giả của Jeffray et al (2003) Đề tài “Prosthetic foot with energy transfer including variabl orifice” Roland et al (2008) được cấp bằng sáng chế số hiệu US 7341603B2 AL2 Sản phẩm chân giả này có khả năng thay đổi độ cứng khi có lực tác dụng, khả năng này có được là nhờ bộ phận dịch chuyển năng lượng (các ô trống ở giữa) đặt ở gần hai đầu của bàn chân Trong quá trình di chuyển, vị trí tiếp gót sẽ chịu tác dụng của trọng lượng cơ thể, phần gót sẽ biến dạng và hấp thụ lực (giảm chấn).Vị trí tiếp theo lực sẽ dịch chuyển lên phần ngón chân và gây biến dạng ở đầu ngón, sự co lại và duỗi ra một cách nhịp nhàng giúp giảm chấn và cải thiện bước đi Có thể thay các ô trống bằng các túi chất lỏng hoặc khí

Hình 1.3 Kết cấu chân giả của Roland et al (2008) Đề tài “Manufacture of Energy Storage and Return Prosthetic Feet Using

Selective Laser Sintering” Brian et al (2010) khoa cơ khí trường đại học Texas, Austin và khoa phục hồi chức năng của trường đại học thuộc trung tâm y khoa Texas, Sa Antonio thực hiện Đề tài sử dụng phương pháp tạo mẫu nhanh (SLS) để gia công bàn chân giả có khả năng tích trữ năng lượng (ESAR), với khả năng tạo sản phẩm nhanh đã nâng tính cạnh tranh và khả năng đáp ứng nhanh khi thiết kế thay đổi Nhưng điều đáng quan tâm ở đây là tính năng, thông số kỹ thuật của sản phẩm vẫn được đảm bảo khi tiến hành kiểm nghiệm và so sánh với chân giả được làm bằng sợi carbon hiện đang sử dụng trên thị trường (hình 1.4)

Hình 1.4 Bàn chân giả phương pháp tạo mẫu nhanh của Brian et al (2010) 1.1.1.2 Các nghiên cứu trong nước

Hiện nay, công tác nghiên cứu và phát triển chân giả trong nước chưa được quan tâm đúng mức, khiến thị trường chủ yếu bị chi phối bởi các loại chân giả truyền thống và các sản phẩm nhập khẩu Các sản phẩm hiện có thường thiếu tính linh hoạt, độ bền thuận tiện và chi phí phù hợp với người dùng Việt Nam Để thay đổi thực trạng này, cần đẩy mạnh đầu tư cho nghiên cứu, tăng cường chuyển giao công nghệ và xây dựng hệ sinh thái sản xuất chân giả nội địa với tiêu chuẩn chất lượng cao Việc kết nối giữa trường đại học, viện nghiên cứu và doanh nghiệp sẽ tạo điều kiện cho phát triển các loại chân giả hiện đại, tích hợp công nghệ số, vật liệu tiến tiến và thiết kế cá nhân hóa, từ đó nâng cao chất lượng cuộc sống cho người khuyết tật và mở rộng thị trường trong nước cũng như tiềm năng xuất khẩu.

Trang 4 ngoại với giá thành cao không phù hợp với điều kiện kinh tế đa số bệnh nhân trong nước Tuy vậy vẫn có một số công trình nghiên cứu về lĩnh vực này Đề tài về ống chân giả làm bằng nhựa composite carbon được cục sở hữu trí tuệ cấp bằng sáng chế số 5673 cho TS Phan Văn An thuộc trung tâm công nghệ vật liệu và đã được tổ chức chỉnh hình ngoại tuyến Hoa Kỳ (Prosthetics Outreach Foundation- POF) kiểm nghiệm và xác nhận đạt yêu cầu kỹ thuật Chân giả bằng nhựa composite cacbon được chế tạo từ loại vật liệu gồm hai lớp sợi cacbon bện chéo kết hợp với 4 -

Chân giả được cấu thành từ 6 lớp sợi banzan và một loại nhựa tổng hợp, nhờ vậy ống chân nhẹ, độ bền cao và chịu lực tốt Chân giả này có độ bền 3 năm và có chức năng gần giống chân thật Cấu tạo khớp gối có độ nảy và độ văng tốt hơn do có lò xo, dễ dàng lắp ráp và thay thế khi hỏng Trong khi đó chân giả bằng gỗ cùng loại chỉ có độ bền 2 năm và có kết cấu nguyên khối nên nếu hỏng một bộ phận là phải thay cả chân (hình 1.5).

Hình 1.5 giới thiệu ống chân giả carbon của TS Phan Văn An, và đề tài “Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo khớp mắt cá chân bằng cơ cấu mềm cho người khuyết tật” do TS Phạm Huy Tuân thuộc Trường Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM là chủ đề nghiên cứu Sản phẩm khớp mắt cá chân bằng cơ cấu mềm có ưu điểm vượt trội so với các sản phẩm chân giả truyền thống như giảm chấn khi di chuyển, độ bền cao, dễ gia công chế tạo, giảm tiếng ồn, tăng độ chính xác và giảm mài mòn Thiết kế còn có khả năng tích trữ và giải phóng năng lượng phù hợp với từng chu kỳ bước.

Trang 5 giúp bệnh nhân di chuyển thoải mái và giảm tiêu hao năng lượng của cơ thể (hình 1.6)

Hình 1.6 Mô hình chân giả bằng cơ cấu mềm (Pham Huy Tuan, 2014)

1.1.2 Các loại bàn chân giả thường gặp

Hiện nay trên thị trường phổ biến các loại bàn chân giả sau: (Phạm Thúy, Hoàng Hữu Phê, 2012)

Bàn chân không trục (SACH) được mô tả trong Hình 1.7a với gót chân có lõi đặc làm từ gỗ, composite hoặc nhựa có khả năng đàn hồi; nhờ thiết kế đơn giản và giá thành thấp, loại bàn chân này có chức năng hạn chế.

Bàn chân có khớp 1 trục (Hình 1.7b) được thiết kế với hai phần riêng biệt là khớp cổ chân và bàn chân Bàn chân một trục cho phép chuyển động theo hướng gập và duỗi cổ chân một cách thụ động, giúp người dùng chân giả tiếp đất êm ái và bước đi nhịp nhàng Nhược điểm của bàn chân một trục là trọng lượng nặng và cần bảo dưỡng thường xuyên.

Hình 1.7 trình bày các loại bàn chân gồm SACH, bàn chân khớp một trục, bàn chân khớp đa trục và bàn chân carbon Bàn chân có khớp đa trục (hình 1.7 c) thường được chế tạo với hai trục chuyển động là gấp gan và gấp mu, cùng với nghiêng trong và nghiêng ngoài; hai chuyển động này cho phép di chuyển linh hoạt trên địa hình không bằng phẳng và giữ thăng bằng tốt hơn (Nguyễn Văn Khiển, 2013).

Bàn chân Carbon (hình 1.7d) không thực sự có các trục khớp như bàn chân đa trục, nhưng với tính đàn hồi cao, bàn chân carbon cho phép thực hiện các chuyển động tương tự bàn chân thật, như gập gan - gập mu và nghiêng trong - nghiêng ngoài khi chịu tác động của ngoại lực Bên cạnh đó, bàn chân giả carbon còn tích trữ năng lượng, giúp người đi dễ dàng bước đi và giảm tiêu hao năng lượng khi di chuyển.

Tính cấp thiết của đề tài

Vấn đề thiết kế chế tạo chân giả đã được quan tâm nghiên cứu từ rất lâu, với mong muốn tìm một thiết kế hoàn hảo có khả năng hoạt động như chân thật và đáp ứng các chỉ số y sinh phù hợp Tuy nhiên, việc đạt được một giải pháp như vậy vẫn vô cùng khó khăn, đặc biệt đối với các loại chân giả thụ động không dựa vào sự hỗ trợ của động cơ Nghiên cứu tập trung cải thiện sự tương thích sinh học, tính năng cơ học và thoải mái người dùng để chân giả có thể di chuyển tự nhiên hơn Các yếu tố như trọng lượng, độ bền, sự ổn định và chi phí sản xuất là những thách thức song song cần được tối ưu Dù vậy, tiến bộ công nghệ và vật liệu sẽ tiếp tục mở ra các giải pháp tối ưu cho chân giả thụ động và các thiết kế chân giả hoạt động linh hoạt hơn trong tương lai.

Những mẫu thiết kế chân thụ động công bố đến nay chủ yếu tập trung vào hình dáng bên ngoài (chân gỗ) hoặc tối ưu hóa khả năng giảm chấn ở giai đoạn tiếp đất theo chuẩn SACH, và ở mức cao hơn là các chân có khớp đa trục và chân carbon tích hợp khả năng giảm chấn và lưu trữ năng lượng (ESAR) Dù có nhiều thiết kế khác nhau, chúng vẫn chưa đáp ứng được yêu cầu di chuyển linh hoạt của người dùng, khiến khả năng vận động gặp hạn chế.

Trong nỗ lực tìm kiếm một thiết kế bàn chân giả mới có thể đáp ứng các yêu cầu vận động phức tạp, giảm chấn và tích trữ năng lượng, bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng của một khớp chân linh hoạt được ứng dụng từ cơ cấu mềm Tác giả đã tiến hành nghiên cứu và chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật nhằm mang lại khả năng di chuyển tự nhiên và an toàn hơn Đề tài "Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm" trình bày sự kết hợp giữa công nghệ mềm và cơ cấu linh hoạt để tối ưu hiệu suất và độ tin cậy Kết quả nghiên cứu cho thấy bàn chân giả có khả năng hấp thụ và giảm chấn, tích trữ năng lượng hiệu quả trong mỗi bước và hỗ trợ người dùng trải nghiệm đi lại như thật Nghiên cứu này đóng góp cho sự phát triển của công nghệ giả chân tiên tiến, mở ra các giải pháp vận động linh hoạt cho người khuyết tật.

Nhiệm vụ, đối tượng, phạm vi nghiên cứu

1.2 Tính cấp thiết của đề tài

Vấn đề thiết kế chế tạo chân giả đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu từ rất lâu, nhằm tìm ra một thiết kế hoàn hảo có khả năng hoạt động như chân thật và đáp ứng các chỉ số y sinh phù hợp Tuy nhiên, việc đạt được một thiết kế chân giả tối ưu vẫn còn nhiều thách thức, do sự phức tạp của hệ thống di chuyển và sự tương tác với cơ thể người Đặc biệt với các loại chân giả thụ động không sử dụng sự hỗ trợ của động cơ, việc tái tạo sự linh hoạt, cảm giác và ổn định khi đi lại càng khó khăn hơn Các nghiên cứu hiện nay vẫn tập trung vào cải thiện hiệu suất, thoải mái và an toàn cho người dùng, đồng thời cân bằng giữa tính khả dụng và độ bền của chân giả thụ động.

Các mẫu thiết kế chân thụ động đã được công bố từ trước đến nay phần lớn tập trung vào việc tạo hình dáng bên ngoài (chân gỗ) hoặc tối ưu hóa khả năng giảm chấn ở giai đoạn tiếp gót (SACH), và cao cấp hơn có thể kể đến các chân carbon với khớp đa trục kết hợp khả năng giảm chấn và tích trữ năng lượng (ESAR) Dù có rất nhiều mẫu thiết kế, chúng vẫn không đáp ứng được nhu cầu di chuyển đòi hỏi sự linh hoạt cao của bệnh nhân.

Trong nỗ lực tìm kiếm một thiết kế mới đáp ứng nhu cầu vận động phức tạp, giảm chấn và tích trữ năng lượng, đồng thời có khả năng hoạt động như bàn chân thật, tác giả đã thực hiện đề tài 'Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm' Nghiên cứu tập trung vào việc phát triển bàn chân giả với khớp linh hoạt và cơ cấu mềm nhằm tối ưu hóa hiệu suất di chuyển, giảm tác động lên khớp người dùng và tăng khả năng thích nghi với các địa hình Dựa trên nguyên lý công nghệ sinh học và vật liệu mềm, đề tài đã xây dựng nguyên mẫu bàn chân giả có cơ cấu đàn hồi và hệ thống lưu trữ năng lượng, nhằm cải thiện độ ổn định, độ bám và phản hồi động học của người đi, từ đó đóng góp vào cải thiện chất lượng cuộc sống của người khuyết tật.

1.3 Mục đích của đề tài

 Tạo ra sản phẩm có khả năng cải thiện dáng đi cho người khuyết tật

 Chế tạo sản phẩm có giá thành phù hợp

 Sản phẩm có tính năng tích trữ và giả phóng năng lượng tạo ra sự thoải mái khi di chuyển, giảm tiêu hao năng lượng

 Có khả năng giảm chấn

1.4 Nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.4.1 Nhiệm vụ của đề tài

 Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm

 Sử dụng phần mềm MATLAB, ABAQUS, HYPERMESH để mô phỏng ứng suất, lực và chuyển vị của cơ cấu

 Tính toán thiết kế tối ưu cơ cấu bằng giải thuật di truyền

 Kiểm nghiệm lực, biến dạng từ đó điều chỉnh thiết kế cho phù hợp

 Bàn chân giả với khớp linh hoạt làm bằng vật liệu POM (PolyOxyMethylene)

 Khả năng ứng dụng vật liệu composite trong sản xuất thực tế

 Mô hình bàn chân giả khớp linh hoạt bằng vật liệu POM (PolyOxyMethylene).

Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

Một mô hình được xây dựng trên cơ sở kế thừa thiết kế bàn chân bằng cơ cấu đàn hồi và được bổ sung các cải tiến nhằm khắc phục nhược điểm của các thiết kế đã được công bố Việc kết hợp yếu tố kế thừa với các chỉnh sửa tối ưu giúp tăng tính ổn định, độ bền và hiệu suất vận hành của hệ thống Quá trình tối ưu hóa nhấn mạnh nâng cao khả năng thích nghi với nhiều điều kiện làm việc khác nhau và giảm tiêu hao năng lượng, từ đó mở rộng phạm vi ứng dụng trong robot học, tự động hóa và các hệ thống hỗ trợ vận hành.

 Tối ưu hóa thiết kế mô hình đã được xây dựng theo hàm mục tiêu đề ra

 Phương pháp nghiên cứu, tham khảo lý thuyết

 Phương pháp kế thừa các công trình nghiên cứu đã được thực hiện

 Phương pháp kiểm tra đánh giá

 Phương pháp tối ưu hóa dựa trên biên dạng của đường cong tham số Bezier đã được xây dựng

 Mô phỏng cơ cấu bằng phần mềm Abaqus và Matlab trên nền tảng phương pháp phần tử hữu hạn

Hiệu quả trong giáo dục đào tạo và kinh tế - xã hội

Ở Việt Nam hiện nay, nghiên cứu về thiết bị y tế vẫn chưa được mở rộng đầy đủ và các thiết bị phục vụ trực tiếp cho người bệnh trong nước rất hiếm gặp Do đó, với đề tài "Nghiên cứu, thiết kế, chế tạo bàn chân giả cho người khuyết tật với khớp linh hoạt ứng dụng cơ cấu mềm" tác giả mong muốn tạo một hướng đi mới trong lĩnh vực cơ khí và công nghệ y tế, đồng thời bổ sung một nguồn tài liệu tham khảo cho các nghiên cứu trong thời gian tới.

Nghiên cứu hướng tới phát triển một sản phẩm thiết thực, có tính khả thi cao để triển khai trong thực tế, nhằm phục vụ trực tiếp người khuyết tật Việt Nam Sản phẩm được thiết kế với kết cấu và công nghệ chế tạo đơn giản và giá thành hợp lý, tối ưu chi phí sản xuất và tiếp cận người dùng Việc đưa sản phẩm ra thị trường sẽ giúp người khuyết tật sở hữu một giải pháp có chức năng tương tự các sản phẩm nước ngoài nhưng với mức giá cạnh tranh, từ đó đóng góp vào sự ổn định kinh tế - xã hội và nâng cao chất lượng cuộc sống.

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Cấu trúc giải phẫu ống gót

2.1.1 Vị trí Ống gót thuộc vùng cổ chân, ở sau mắt cá trong, do mặt trong xương gót lõm thành một đường rãnh, và có cơ dạng ngón chân cái bắt ngang như một nhịp cầu từ sau ra trước tạo thành một đường ống gọi là ống gót

Trong ống gót có các bó mạch thần kinh chày sau, các gân cơ của lớp sâu khu cẳng chân sau đi xuống gang chân

2.1.2 Cấu tạo Ống gót gồm có hai thành

 Thành ngoài là mặt trong xương gót

Thành trong của ống gót được cấu thành bởi cơ dạng ngón cái Ống gót được chia làm hai tầng, tầng trên và tầng dưới, ngăn cách bởi một thế cân ngang (cân của cơ dạng ngón cái) tạo nên sự phân chia rõ ràng giữa các khu vực giải phẫu bên trong ống.

Hình 2.1 mô tả sơ đồ ống gót (mạch máu và thần kinh) Tầng trên ống gót gồm các gân cơ ở lớp sâu khu cẳng chân sau xuống (gân cơ cẳng chân sau, gân cơ gấp chung, gân cơ gấp dài ngón cái); động tĩnh mạch gan chân trong và thần kinh gan chân trong Các thành phần chính gồm: 1) gân gót, 2) thần kinh chày, 3) bao của gân cơ chày sau, 4) bao của gân cơ gấp chung ngón chân, 5) động mạch chày sau, 6) bao của cơ gấp riêng ngón cái.

7) Bó mạch thần kinh gan chân trong

Hình 2.2 mô tả thiết đồ cắt ngang qua ống gót; tầng dưới ống gót gồm các cấu trúc chính sau: cơ vuông gan chân (cơ Sylvius), động mạch gan chân ngoài và thần kinh gan chân ngoài Các gân nằm ở khu vực này gồm 1) gân cơ chày sau, 2) gân cơ gấp dài các ngón chân, 3) gân cơ gấp dài ngón 1, 4) cơ dạng ngón cái, 5) cơ vuông gan chân Bên trong còn có hai bó mạch thần kinh gan chân ngoài và gan chân trong.

Hình 2.3 Các xương cổ chân, 1) Xương xên, 2) Xương ghe, 3) Xương chêm II,

4) Xương chêm I, 4) Các xương đốt bàn, 5) Xương chêm III, 6 ) Xương hộp,

Hình 2.4 Cấu trúc giải phẩu vùng gót chân

Xương người có hai xương dài ở cẳng chân là xương chày và xương mác; các xương khác ở bàn chân lại ngắn và nhỏ hơn, bao gồm xương gót và các xương ngón chân, tạo thành hệ xương bàn chân giúp hỗ trợ di chuyển và chịu lực.

Dây chằng là hệ thống các sợi liên kết giữa các xương, giúp khớp cổ chân ổn định và hạn chế các chuyển động quá mức Có nhiều dây chằng ở cổ chân, và các dây chằng nằm ở phía bên ngoài cổ chân thường dễ bị chấn thương khi chân bị lật hoặc gập quá mức.

Khớp cổ chân có một bậc tự do, nghĩa là nó chỉ có thể tạo chuyển động trong một mặt phẳng duy nhất Đây là một khớp xoay với hai động tác chính là gập lên (dorsiflexion) và duỗi thẳng (plantarflexion), cho phép cổ chân thực hiện động tác nâng và ấn bàn chân xuống trong các hoạt động hàng ngày và thể thao.

Hình 2.5 Mô tả chuyển động gập/duỗi của cổ chân

Qua sự phối hợp của cẳng chân và cổ chân, bàn chân có thể điều khiển các chuyển động xoay và nghiêng so với mặt phẳng thẳng, bao gồm xoay trong (internal rotation) và xoay ngoài (external rotation), cùng với inversion và eversion.

Hình 2.6 Mô tả chuyển động nghiêng trong/ngoài của cổ chân

Hình 2.7 Chuyển động cơ bản của cổ chân

Hình 2.8 Mô hình dịch chuyển trọng tâm tại các chu kỳ bước

1-Vị trí tự do 2-Vị trí nhấc gót 3- Vị trí tiếp xúc gót 4- Vị trí tiếp xúc bàn

Đường cong tham số Bezier

Biểu diễn đường cong tham số Bezier

Bezier là một kỹ sư người Pháp làm việc cho hãng Renault, đưa ra công thức xác định đường cong tham số Bezier vào những năm 1960 Trước đó, P de Casteljau đã nghiên cứu công thức này Do các bài viết về công trình của Bezier xuất hiện sớm trên nhiều tạp chí, đường cong này được mang tên ông và giải thuật vẽ đường cong mang tên P de Casteljau.

2.2.1 Dạng tổng quát đường cong Bezier Đường cong Bezier có các điểm điều khiển hoặc đỉnh điều khiển, là một tập hợp có thứ tự các điểm (V0, …, Vn), dựa vào đó để xấp xỉ đường cong, đường cong Bezier có dạng hàm đa thức bậc n, được xác định bởi n + 1 điểm điều khiển:

 (2.1) trong đó, các véctơ Vi biểu diễn n + 1 điểm điều khiển

Hàm Bi,n(t) là hàm cơ sở của đường cong Bezier, và được mô tả bằng đa thức Bernstein:

B t C t t   t (2.2) trong đó n là bậc của đa thức và

 (2.3) là hệ số nhị thức (Nguyễn Hữu Lộc, 2010)

2.2.2 Đường cong Bezier bậc nhất

Trường hợp có 2 điểm điều khiển V0, V1, khi đó n + 1 = 2, nên bậc n của đa thức là 1 (hình 2.8a) Khai triển phương trình (2.1):

Dựa trên đa thức Bernstein phương trình (2.2) ta có hai hàm cơ sở:

Từ đây suy ra phương trình đoạn thằng xấp xỉ hai điểm:

Hình 2.9 Các dạng đường cong Bezier (Nguyễn Hữu Lộc, 2010)

2.2.3 Đường cong Bezier bậc hai

Trường hợp 3 điểm điều khiển V0, V1, V2 Vì n + 1 = 3, nên bậc n của đa thức là 2 (hình 2.8b) Khai triển phương trình (2.1):

Dựa trên đa thức Bernstein phương trình (2.2) ta có ba hàm cơ sở:

Từ đây suy ra phương trình đường cong bạc hai xấp xỉ ba điểm:

2.2.4 Đường cong Bezier bậc ba:

Trường hợp bốn điểm điều khiển V0, V1, V2, V3 Vì n + 1 = 4, nên bậc n của đa thức là 3 (hình 2.8c) Khai triển phương trình (2.1):

P t V B V B V B V B (2.8) Dựa trên đa thức Bernstein phương trình (2.2) ta có bốn hàm cơ sở:

(2.9) Áp dụng tính chất chuẩn cho các hàm cơ sở ta có thêm một phương trình:

Thay các phương trình này vào phương trình (2.8), suy ra:

Hình 2.10 Đồ thị hàm cơ sở của đường cong Bezier bậc ba

Điều này cho thấy đường cong Bezier đi qua hai điểm điều khiển đầu và cuối Các hàm cơ sở Bernstein tại các giá trị t=0 và t=1 có B_0,n(0)=1 và B_n,n(1)=1, trong khi B_i,n(0)=0 với mọi i>0 và B_i,n(1)=0 với mọi i