Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Giáo Viên: Nguyễn Ngọc Quang tai lieu, document1 of 66... Đối tượng v

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC

NGHIỆM VỀ CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



Giáo Viên: Nguyễn Ngọc Quang

tai lieu, document1 of 66

Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất định là đặc biệt quan trọng Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh Nó giúp người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi đạt được kết quả cao nhất

Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho môn Toán, đòi hỏi học sinh không những phải có kiến thức sâu, rộng mà còn phải có các cách tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất

Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải

các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng

dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số”

II Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ đó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu, tìm tòi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị

hàm số”

Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9

tai lieu, document2 of 66

luan van, khoa luan 2 of 66

V Phạm vi nghiên cứu: các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện

của tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm xx0

VI Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra thực tiễn

- Phương pháp đối chứng

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

VII Cấu trúc của SKKN

A Đặt vấn đề

I Lý do chọn đề tài

II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu

IV Đối tượng và khách thể nghiên cứu

V Phạm vi nghiên cứu

VI Phương pháp nghiên cứu VII Cấu trúc của SKKN

B Nội dung

I Cơ sở lý thuyết

II Một số dạng toán

III Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

IV Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

C Kết luận và đề xuất

Khi đó f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f  0

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại 0

 Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

 Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,

hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng  a b; chứa điểm x và có đạo hàm trên 0

các khoảng a x và ; 0 x b0;  Khi đó :

luan van, khoa luan 4 of 66

f x

f x ( )0( )

f x  và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

Nếu f '' x0 0thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

Nếu f '' x0 0thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Cho hàm số y f x  có đồ thị  C Khi đó, với số a0 ta có:

a) Nếu tịnh tiến  C theo phương của y a x 1

g) Đồ thị của hàm số y fx a có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của

Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

h) Đồ thị của hàm số y fx a có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của

Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy

5 Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị

a) Nếu đồ thị hàm số y f x( ) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị

nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số y f x( )có 2n1 điểm cực trị

tai lieu, document5 of 66

Trang 6

b) Nếu đồ thị hàm số y f x( ) có n điểm cực trị và phương trình f x 0 có m

nghiệm bội lẻ thì đồ thị hàm số y f x( ) có m n điểm cực trị

c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f ax b   c bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm sốy f x( )

d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi

II Một số dạng toán:

Dạng 1: Cho đồ thị hàm số ( ).f x Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu

giá trị tuyệt đối liên quan đến ( ).f x

Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5

Câu 1 Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Hỏi

hàm số y f x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

A 1 B 2 C 3 D 5

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số y f x( )có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số ( )

y f x có 3 điểm cực trị

Câu 2 Cho hàm số y f x( )có đồ thị như hình vẽ sau:

1 Hàm số y f x( )có bao nhiêu điểm cực trị?

2 Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

3 Hàm số y f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời gải

1 Đồ thị hàm số y f x( )có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số

( )

y f x có 5 điểm cực trị

2 Đồ thị hàm số y f x( )có 3 điểm cực trị và phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm đơn nên hàm số y f x( )có 5 điểm cực trị

3 Đồ thị hàm số y f x( )có 5 điểm cực trị và phương trình ( ) 0f x  có 2 nghiệm đơn nên hàm số y f x( )có 7 điểm cực trị

Câu 3 Cho hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới

tai lieu, document6 of 66

luan van, khoa luan 6 of 66

1 Tìm m để hàm số g x  f xmcó 5 điểm cực trị

2 Tìm m để hàm số g x  f x mcó 7 điểm cực trị

3 Tìm m để hàm số g x  f x mcó 5 điểm cực trị

Lời giải

Ta có BBT của hàm số f x :

+ -

+ -

f'(x)

+∞

2 1

-1 -2

-∞

x

1 Đồ thị hàm số g x  fxm có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( )qua Oy được đồ thị hàm số y f x + Tịnh tiến đồ thị hàm số y f  x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số g x  f xm

Ta thấy: Hàm số y f x( )có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương  f x

có 5 điểm cực trị

  có 5 điểm cực trị với mọi m

2 Đồ thị hàm số g x  fx m có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số y f x m + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x mnằm bên phải Oy qua Oy được

 Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị   0 m 1

 Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị   0 m 1

Vậy 1  m 1

Câu 4 Cho hàm số y f x( ) Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới

tai lieu, document7 of 66

Trang 8

1 Tìm m để hàm số g x  f xmcó 5 điểm cực trị

2 Tìm m để hàm số g x  f x mcó 5 điểm cực trị

3 Tìm m để hàm số g x  f x mcó 3 điểm cực trị

1 Đồ thị hàm số g x  fxm có được bằng cách:

+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f x( )qua Oy được đồ thị hàm số y f x + Tịnh tiến đồ thị hàm số y f  x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số g x  f xm

Ta thấy: Hàm số y f x( )có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương  f x

có 3 điểm cực trị

  có 3 điểm cực trị với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để hàm

số g x  f xm có 5 điểm cực trị

2 Đồ thị hàm số g x  fx m có được bằng cách:

+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x( ) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m

đơn vị được đồ thị hàm số y f x m + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x mnằm bên phải qua Oy được đồ thị hàm số g x  f x m

Từ đó ta thấy: để hàm số g x  f x mcó 5 điểm cực trị thì hàm số

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x  

+ Dựa vào đồ thị của f ' x và biểu thức của g x' để xét dấu g x ' 

tai lieu, document8 of 66

luan van, khoa luan 8 of 66

Câu 1 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y f x Số điểm cực trị của hàm số y f x  là

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số f x có 4 điểm chung với trục hoành x1; 0; ; x2 x nhưng chỉ cắt 3

thực sự tại hai điểm là 0 và x 3

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y f x  có 2 điểm cực trị Chọn A

Cách trắc nghiệm Ta thấy đồ thị của f ' x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt

và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị

 Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại

 Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu

Câu 2 Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x như hình

bên Tìm số điểm cực trị của hàm số    2 

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;

Trang 10

Nhận thấy các nghiệm x 1 và x0 là các nghiệm bội lẻ nên g x  qua nghiệm đổi

dấu; các nghiệm x 2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x tiếp xúc

với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1) nên qua nghiệm không đổi dấu

Câu 3 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu của y f x như

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3;

Câu 4 Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên ¡ và f  0 0,f  1 0, đồng

thời đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới

Số điểm cực trị của hàm số   2 

luan van, khoa luan 10 of 66

Bảng biến thiên của hàm số y f x 

 theo BBT

2

1 nghiem kep0

20

0

f x

x x

Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị Chọn C  

Chú ý: Dấu của g x  được xác định như sau: Ví dụ chọn x  0  1;b

 theo do thi '   

 Theo giả thiết f  0 0  2

Từ  1 và  2 , suy ra g 0 0 trên khoảng 1;b

Nhận thấy x 2; xa x; b là các nghiệm đơn nên g x  đổi dấu khi qua các nghiệm này Nghiệm x1 là nghiệm kép nên g x  không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x    v x 

+ Dựa vào đồ thị của f ' x và biểu thức của g x' để xét dấu g x ' 

Chú ý: * Nếu trong khoảng  a b đồ thị hàm số ; f ' x nằm trên đồ thị hàm số v x'( ) thì

 '( ) '( ) '( ) 0, ;

* Nếu trong khoảng  a b đồ thị hàm số ; f ' x nằm dưới đồ thị hàm số v x'( ) thì

 '( ) '( ) '( ) 0, ;

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm f x nằm phía dưới đường y 1 nên g x  mang dấu 

Câu 3 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên ¡ Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ

bên dưới

tai lieu, document12 of 66

luan van, khoa luan 12 of 66

Hàm số     2

23

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại   x1. Chọn C

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị hàm f x nằm phía trên đường  2

1

y x nên g x  mang dấu .Nhận thấy các nghiệm x0; x1; x2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g x  đổi dấu

Câu 4 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên ¡ Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới Hàm số     2

Trang 14

Dựa vào đồ thị ta suy ra  

10

12

x x

g x

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại   x0. Chọn B

Chú ý Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng  ; 1 ta thấy đồ thị hàm f x nằm phía trên đường y x nên g x  mang dấu 

Dạng 4: Cho biểu thức f ' x Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x  

Phương pháp:

+ Tính đạo hàm của hàm số g x( ) f u x   g x' u x f'( ) 'u x( )  

+Từ biểu thức của f ' x và '( ) u x hãy xét dấu g x rồi suy ra số điểm cực trị của ' 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x  đạt cực đại tại x3.Chọn D

Câu 2 Cho hàm số y f x  có đạo hàm      2 

f x  x x x  với mọi

x¡ Hàm số g x  f x x có bao nhiêu điểm cực trị ?

tai lieu, document14 of 66

luan van, khoa luan 14 of 66

Ta thấy x 1 và x2 là các nghiệm

đơn còn x1 là nghiệm kép  hàm số g x có 2 điểm cực trị Chọn B  

Câu 3 Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2   

Câu 4 Cho hàm số y f x  có đạo hàm   2  2

Trang 16

Dạng 5: Cho biểu thức f 'x m Tìm m để hàm số ,  f u x   có n điểm cực trị

Câu 1 Cho hàm số y f x  có đạo hàm   2   2 

f x  x x x  mx với mọi

x¡ Có bao nhiêu số nguyên m 10 để hàm số g x  f  x có 5 điểm cực trị ?

Lời giải

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f  x nên yêu cầu bài

toán  f x  có 2 điểm cực trị dương  *

 Nếu m 1 thì hàm số f x có hai điểm cực trị âm (  x 3; x 1) Khi đó, hàm

số f  x chỉ có 1 cực trị là x0 Do đó, m 1 không thỏa yêu cầu đề bài

 Nếu m 3 thì hàm số f x không có cực trị Khi đó, hàm số  f x chỉ có 1 cực trị

là x0 Do đó, m 3 không thỏa yêu cầu đề bài

tai lieu, document16 of 66

luan van, khoa luan 16 of 66

 Khi 1

3

m m

 



  

 thì hàm số f x có hai điểm cực trị là x  m và x  3 0

Để hàm số f  x có 3 điểm cực trị thì hàm số f x phải có hai điểm cực trị trái dấu  

x¡ Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x  f x có đúng 1 điểm cực trị ?

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1 Phương trình  1 có hai nghiệm âm phân biệt

Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán

Trường hợp 2 Phương trình  1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép    m2 5 0

Trang 18

 

2 2

Khi đó  *  , d1 d2 cắt  C tại bốn điểm phân biệt      m 16 m 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa Chọn A

Dạng 6: Cho đồ thị f x Hỏi số điểm cực trị của hàm số   f u x  

Câu 1 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên R và có đồ thị như

hình bên Đồ thị của hàm số     2

g x  f x  có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

B 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

C 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu

D 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu

tai lieu, document18 of 66

luan van, khoa luan 18 of 66