Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 … ❖ Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số như dạng bài tập phương trình mũ..
Trang 1CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
LÝ THUYẾT
1 Phương trình mũ cơ bản
▪ Nếu thì phương trình
▪ Nếu thì phương trình vô nghiệm
2 Phương trình đưa về cùng cơ số
➢ Cách giải:
Sử dụng tính chất
• Dạng 1: Phương trình có dạng:
▪ Đặt đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2:
▪ Giải phương trình tìm nghiệm và kiểm tra điều kiện
▪ Sau đó thế vào phương trình = f x
t a tìm nghiệm
4 Phương pháp logarit hóa
5 Phương pháp hàm số
❖ Định nghĩa
• Hàm số f được gọi là nghịch biến trên khi và chỉ khi
❖ Định lí, tính chất
• Định lí Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng
biến (nghịch biến) trên khoảng
▪ Tính chất 1 Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng thì phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng
Trang 2▪ Tính chất 2 Nếu phương trình có một nghiệm trên khoảng thì phương trình
có nhiều nhất hai nghiệm trên khoảng
▪ Tính chất 3 Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng thì
▪ Tính chất 4 Nếu hàm số liên tục, đồng biến trên khoảng và hàm số liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên khoảng phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng
❖ Nhận xét
• Khi bài toán yêu cầu giải phương trình , ta có thể chứng minh đơn điệu bằng cách khảo sát hàm số, sau đó tìm nghiệm và chứng minh nghiệm đó duy nhất
• Ta cũng có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa về phương trình dạng
(trong đó ) hoặc và sử dụng các tính chất đã nêu trên
• Khi bài toán yêu cầu giải phương trình thì số nghiệm của phương trình sẽ là số giao điểm giữa đồ thị hàm số và đường thẳng
6 Phương pháp đánh giá
• Quy tắc 1 Giải phương trình
▪ Bước 1: Xác định là một nghiệm của phương trình
▪ Bước 2: Chứng minh với mọi thì phương trình vô nghiệm
▪ Kết luận là nghiệm duy nhất
• Quy tắc 2 Giải phương trình
▪ Phương trình thỏa mãn khi
▪ Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình
• Quy tắc 3 Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác
▪ Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt
• Quy tắc 4 Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 …
Trang 3• Quy tắc 1 Giải phương trình
▪ Bước 1: Xác định là một nghiệm của phương trình
▪ Bước 2: Chứng minh với mọi thì phương trình vô nghiệm
▪ Kết luận là nghiệm duy nhất
• Quy tắc 2 Giải phương trình
▪ Phương trình thỏa mãn khi
▪ Áp dụng tương tự với bài toán bất phương trình
• Quy tắc 3 Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác
▪ Giá trị lượng giác của góc (cung) có liên quan đặc biệt
• Quy tắc 4 Sử dụng tính chất của hàm số mũ, hàm trị tuyệt đối, điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 …
❖ Ngoài ra, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số như dạng bài tập phương trình mũ Việc
sử dụng linh hoạt các phương pháp sẽ giúp các em tối ưu hơn trong việc giải toán
Trang 4BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT SỐ 01
Câu 13: Cho phương trình có hai nghiệm phân biệt là , Tính giá
trị của biểu thức P=log x +log x biết
Trang 5Câu 22: Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình
có đúng nghiệm thực phân biệt
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn của tham số để phương trình
có hai nghiệm trái dấu?
Trang 6Câu 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình: có hai
nghiệm dương phân biệt
Câu 26: Cho phương trình với là tham số Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của
để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ?
Câu 30: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số sao cho phương trình
có hai nghiệm đối nhau Hỏi có bao nhiêu phần tử?
Giá trị của thuộc khoảng
số để phương trình có hai nghiệm phân biệt là khoảng Tính
có đúng hai nghiệm phân biệt?
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Trang 7Câu 35: Trên đoạn có bao nhiêu số nguyên để phương trình có
hai nghiệm trái dấu?
Câu 36: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm
thuộc khoảng
Câu 37: Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Câu 38: Cho phương trình Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để
phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Câu 39: Cho phương trình ( là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1,
thỏa mãn Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 40: Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới
đây Số giá trị nguyên của tham số để phương trình
có hai nghiệm thực phân biệt là
Khi đó thuộc khoảng
Câu 42: Biết rằng tập hợp các giá trị của để phương trình có nghiệm là
với , là các số nguyên dương Tính
Câu 43: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số để phương trình có đúng
3 nghiệm phân biệt
Trang 8BẢNG ĐÁP ÁN
Điều kiện:
So điều kiện nhận Vậy tổng tất cả c c nghiệm là
Câu 5: Chọn B
Điều kiện x c định của phương trình là
Với điều kiện đó, ta có
Kết hợp với điều kiện của phương trình, suy ra phương trình có một nghiệm duy nhất Câu 6: ChọnC
Trang 9Vậy nghiệm của phương trình là
Trang 10Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng
Nhận xét: Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm trên khoảng
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm trên khoảng khi và chỉ khi
Trang 11Phương trình đã cho tương đương với
Do cũng là hai nghiệm của phương trình nên theo Viet, ta có:
Nếu thì phương trình trở thành
Phương trình đã cho có tập nghiệm là
Vậy tổng tất cả c c nghiệm của phương trình là
Trang 13Để phương trình có hai nghiệm thì phương trình có hai nghiệm phân biệt dương
Khi đó phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán
m
Trang 14Ta chứng minh phương trình chỉ có 3 nghiệm Vì là nghiệm thì cũng
là nghiệm phương trình nên ta chỉ xét phương trình trên
2 nghiệm Suy ra trên , phương trình có 2 nghiệm
Do đó trên tập , phương trình có đúng 3 nghiệm Vậy chọn
Bài toán trở thành: Tìm các giá trị nguyên của tham số để phương trình:
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn
Phương trình: có hai nghiệm phân biệt t t1, 2nên theo Viet ta có:
Trang 15Thay vào hệ ta được
Trang 17Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình có ít nhất 1 nghiệm thì
Khi đó phương trình có hai nghiệm đối nhau thì khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm dương thỏa mãn Nhưng vì phương trình có
nên không có gi trị nào của thỏa mãn yêu cầu bài to n
Trang 18Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hoặc là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trang 19Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng phương trình có nghiệm t 0.
Bảng biến thiên:
Trang 20Vậy để phương trình có nghiệm thì hay
Cách 2: Ta có:
Để phương trình có nghiệm thuộc khoảng phương trình có nghiệm
Mặt kh c,
Từ và suy ra và nên có 3 số nguyên thỏa mãn
Trang 21Gọi là 2 nghiệm của phương trình thì phương trình có 2 nghiệm tương ứng là
Mặt kh c,
Từ và suy ra và nên có 3 số nguyên thỏa mãn
Câu 39: Chọn D
Đặt , điều kiện , phương trình trở thành
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Nhận thấy với mỗi gi trị cho một gi trị
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thì phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt
Trang 22Cách 1: Nhận xét rằng phương trình ẩn t có tổng hai nghiệm bằng 4 mà nghiệm này gấp 3 nghiệm kia nên phương trình phải có 1 nghiệm băng 1 và 1 nghiệm bằng 3, từ đó Cách 2: Theo định lí Viet, ta có
Phương trình có nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia khi
thỏa mãn điều kiện Giá trị này của a thuộc đ p n D
Cách 3 Dựa vào điều kiện có 2 nghiệm dương loại đ p n A, suy luận nếu a thuộc đ p n B, C thì cũng thuộc đ p n D Vậy chọn đ p D
Trang 23Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình 1 có nghiệm
Trường hợp 2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm và một
, đồng thời thỏa mãn kh c nên là một gi trị cần tìm
Vậy có ba gi trị ; ; thỏa mãn bài to n