Sử dụng tính chất của số Ckn để giải một số bài toán về nhị thức Newton

Bài viết Sử dụng tính chất của số Ckn để giải một số bài toán về nhị thức Newton đưa ra một hệ thống bài tập và câu hỏi tương ứng mang tính gợi mở để gợi ý, định hướng cho học sinh, để học sinh hình thành kiến thức phương pháp một cách tự nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!

S Ử DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ C n k ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

Nguyễn Sĩ Tam Trưởng THPT Hậu Lộc 4, Thanh Hóa

Tóm tắt nội dung

Trong quá trình dạy - học môn Toán, người thầy phải biết cách giúp học sinh tự khám phá, tìm ra nét đẹp của Toán học, từ đó giúp học sinh ngày càng yêu thích môn Toán Muốn vậy thì người thầy phải biết tạo ra ”thách thức” cho học sinh để tạo sự hào hứng, thú vị cho học sinh, nhưng điều quan trọng không kém là người thầy phải biết giúp học sinh vượt qua ”thách thức” bằng hệ thống câu hỏi mang tính chất gợi ý, đây là một ”nghệ thuật” trong dạy học, theo cá nhân tôi đây là một tiêu chí thể hiện kinh nghiệm của người thầy mà không phải ai cũng làm tốt

Qua tìm tòi trên mạng tôi rất tâm đắc với bài viết ”Hướng dẫn học sinh lớp 11 áp dụng tính chất số Cnk vào các bài toán Nhị thức Newton” của tác giả Nguyễn Thị Thùy Dương, tổ Toán - Tin trường THPT Nguyễn Thái Học, Vĩnh Phúc Tuy nhiên tôi đặt ra một vấn đề: Làm thế nào để hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất vào giải bài tập một cách tự nhiên, không gò ép, học vẹt đây?

Để giải quyết vấn đề tôi nghĩ cần đưa ra một hệ thống bài tập và câu hỏi tương ứng mang tính gợi mở để gợi ý, định hướng cho học sinh, để học sinh hình thành kiến thức phương pháp một cách tự nhiên Mặc dù kinh nghiệm giảng dạy còn non nớt nhưng tôi cũng mạnh dạn trình bày chuyên đề "Cách đặt câu hỏi hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng tính chất số Ck

nđể giải một số bài toán Nhị thức Newton" mong được các thầy, cô giáo góp ý cho tôi được hoàn thiện hơn

Mục tiêu: Hướng dẫn học sinh lớp 11 vận dụng tính chất kCnk = nCnk−−11 (*) vào giải quyết các bài toán về tổ hợp, nhị thức Newton

1.1 Công thức khai triển nhị thức Newton

(a+b)n=

n

∑

k = 0

Cnkan−kbk

=C0nan+C1nan−1b+C2nan−2b2+ · · · +Cknan−kbk+ · · · +Cnn−1abn−1+Cnnbn (1)

1.2 Một số trường hợp đặc biệt

Tính chất 1.1. Cho a = 1, b = 1 ta có

C0n+Cn1+C2n+ · · · +Cnn=2n

Tính chất 1.2. Cho a=1, b= −1 ta có

C0n−Cn1+C2n−Cn3+ · · · + (−1)nCnn=0

Tính chất 1.3. Cho a = 1, b = x ta có

(1+x)n=C0n+Cn1x+C2nx2+Cn3x3+ .+Cnnxn

Tính chất 1.4. Cho a = 1, b = - x ta có

(1−x)n=Cn0−C1nx+Cn2x2−C3nx3+ .+ (−1)nCnnxn

1.3 Các ví dụ hình thành phương pháp giải

Ví dụ 1.1. Rút gọn tổng sau S=C1

n+2C2

n+3C3+ · · · +nCn Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Trong tổng trên nếu các hệ số đều bằng 1 thì ta có thể làm ”ngon lành”! tiếp theo Giáo viên đặt ra các câu hỏi:

Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát trong tổng trên có dạng nào?

Câu hỏi 2: Nếu không có hệ số k trong các số hạng thì có tính được tổng trên hay không?

Câu hỏi 3: Có những cách nào làm ”biến mất” hệ số k trong số hạng kCnk?

Lời giải.Áp dụng tính chất kCkn=nCnk−−11với 1≤ k≤n

Khi đó

S=n(Cn0−1+C1n−1+Cn2−1+ · · · +Cnn−−11) =n(1+1)n−1=n.2n−1

Giáo viên chốt vấn đề: Như vậy chúng ta đã dùng 1 tính chất của tổ hợp để ”cân bằng” các hệ số, làm cho các hệ số của các số hạng của tổng đều bằng nhau Từ đó có thể làm ”biến mất” hệ số k

Ví dụ 1.2. Tìm n>4 biết

2.Cn0+5.C1n+8.C2n+ · · · + (3n+2).Cnn=1600

Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?

Câu hỏi 2: Với số hạng dạng (3k+2)Cnk có thể phân tích đưa về tổng các số hạng dạng kCk

nđược không?

Câu hỏi 3: Từ đó hãy nêu các tích tổng VT?

Lời giải.Số hạng TQ của tổng VT là

(3k+2)Cnk =3k.Ckn+2.Ckn, (0≤k≤n) Như vậy VT sẽ được tách thành 2 tổng đơn giản hơn:

VT=3Cn1+2.Cn2+3.Cn3+ · · · +n.Cnn+2(C0n+Cn1+C2n+ · · · +Cnn) =3n.2n−1+2.2n

=

2n−1(3n+4)

Từ yêu cầu bài toán, ta có PT 2n−1.(3n+4) =1600

⇔



(3n+4).2n−1 =25.26

n∈ N, n>4 ⇒







3n+4=25

n−1=6

n∈ N, n>4

⇔n=7

Vậy n =7 thỏa mãn yêu cầu bfi toán

Giáo viên nhận xét: Nhiều bài toán cần phải dung kỹ thuật phân tích các số hạng để tách 1 tổng thành nhiều tổng

Ví dụ 1.3. Tìm số nguyên dương n sao cho:

C12n+1−2.2C22n+1+3.22.C2n3 +1−4.23C2n4 +1+ · · · + (2n+1).22n.C2n2n++11=2005

Giáo viên phân tích, đặt câu hỏi: Để tìm n, trước hết ta phải rút gọn được tổng vế trái Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?

Câu hỏi 2: Nếu không có hệ số k thì có tính được tổng trên hay không?

Câu hỏi 3: Với số hạng dạng k2kC2nk +1ta nên xử lý như thế nào?

Câu hỏi 4: Công thức nào làm để ”cân bằng” các hệ số k trong tổng trên?

Lời giải. Áp dụng tính chất (*) ta có

k.2k.C2nk +1 = (2n+1).2k.C2nk−1(1≤k≤2n+1)

VT= (2n+1)C02n+1−C2n1 +1.21+C22n+1.22− · · · +C2n2n.22n

= (2n+1).(1−2)2n =2n+1

Từ đó ta có n = 1002

Chú ý 1.1. Khi áp dụng tính chất (*) cho mỗi số hạng của tổng, ta không cần quan tâm đến dấu và lũy thừa có trong mỗi số hạng đó

Ví dụ 1.4. Tính các tổng sau

a S1=2.1.C2n+3.2.C3n+ · · · +n.(n−1).Cnn

b S2=1.2.3.C3n+2.3.4.Cn4+ .+ (n−2).(n−1)n.Cnn

Giáo viên đặt câu hỏi hướng dẫn HS làm ý a (ý b làm tương tự):

Câu hỏi 2: Với số hạng dạng (k−1)k.Cnk làm thế nào để cho các hệ số không phụ thuộc k?

Lời giải.

a Số hạng tổng quát trong tổng là(k−1)k.Cnk Áp dụng tính chất (*) hai lần liên tiếp,

ta có

(k−1)k.Ckn=n.(k−1).Ckn−−11=n(n−1).Cnk−−22, (2≤k≤n)

S1=n(n−1)(Cn0−2+C1n−2+Cn2−2+ · · · +Cnn−−22) =n(n−1).(1+1)n−2= n(n−1).2n−2

b Số hạng tổng quát trong tổng có dạng:(k−2).(k−1).k.Ckn

Áp dụng tính chất (*) ba lần kiên tiếp ta có

(k−2).(k−1).k.Cnk = n(k−2)(k−1)Ckn−−11=n(n−1)(k−2)Cnk−−22

=n(n−1)(n−2)Cnk−−33, (3≤k≤n)

S2=n(n−1)(n−2)C0n−3+C1n−3+ · · · +Cnn−3

=n(n−1)(n−2)(1+1)n−3 =n(n−1)(n−2).2n−3 Giáo viên nhận xét: Trong một số tổng chúng ta phải áp dụng tính chất (*) nhiều lần

để ”cân bằng” các hệ số

Ví dụ 1.5. Rút gọn tổng sau

S1 =12.C12012+22.C20122 +32.C32012+ +20122.C20122012 Giáo viên đặt câu hỏi định hướng:

Câu hỏi 1: Số hạng tổng quát của các số hạng trong tổng ở VT có dạng nào?

Câu hỏi 2: Có thể phân tích hệ số của số hạng k2C2012k để đưa về các số hạng dạng kCnk hay không?

Lời giải.Số hạng TQ trong tổng là k2Ck2012

Ta có

k2C2012k = k(k−1)C2012k +kC2012k =2012(k−1)C2011k−1+2012Ck2011−1

=2012.2011C2010k−2 +2012C2011k−1, (2≤k ≤2012)

Ta có

S1=C20121 +2012.2011(C20100 +C20101 +C22010+ · · · +C20102010) +2012(C12011+C20112 + · · · +C20112011)

=2012.2011(1+1)2010+2012+2012h(1+1)2011−1i

=2012.2011.22010+2012.22011 =2012.2013.22010 Giáo viên đặt câu hỏi để rút ra kết luận cho bài học: Từ những ví dụ trên hãy nêu dấu hiệu để có thể áp dụng tính chất (*)?

1.4 Dấu hiệu nhận biết để dùng công thức kCnk = nCnk−−11

Các hệ số đứng trước các số tổ hợp có dạng

+ Tăng dần 1, 2, 3, , n hoặc giảm dần n, n-1, n-2, 2, 1

+ Là tích các số tự nhiên liên tiếp 1.2, 2.3, 3.4 , , (n-1).n

+ Hoặc các hệ số có thể biến đổi dưa về các dạng trên

Bài 2.1. Rút gọn các tổng sau

a S=C1n+2.Cn2+3Cn3+ · · · +nCnn

b S= Cn0+2Cn1+3C2n+4C3n+ · · · + (n+1)Cnn

c S=3C0

n+4C1

n+5C2

n+ · · · + (n+3)Cn

n

d S= C1

n−2C2

n+3C3n−4C4

n+ · · · + (−1)n−1nCn

n

Bài 2.2. Chứng minh rằng

2.1C1n+3.2C2n+ · · · + (p+1)pCnp+ · · · + (n+1)nCnn=n(n+3)2n−2

Bài 2.3. Tìm hệ số của x14 trong khai triển: x8+ 1

x 2

n

, biết:

2.1C2n+3.2C3n+ · · · +n(n−1)Cnn =3584

Bài 2.4 S=2.C0n+3.Cn1+4.Cn2+ · · · + (n+2)Cnn Tìm n biết S=320

Bài 2.5. Tính S=C0n−2.C1n+3.Cn2−4.Cn3+ · · · + (−1)n(n+1)Cnn