Bài viết Dãy truy hồi tuyến tính cấp một - Một mô hình toán học đơn giản của nhiều bài toán thực tế trình bày các bài toán thực tế dẫn đến mô hình toán học là dãy truy hồi tuyến tính cấp một và ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong giải toán cũng như trong giải các bài toán thực tế. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài viết!
Trang 1D ÃY TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP MỘT
CỦA NHIỀU BÀI TOÁN THỰC TẾ
Lê Đại Hải, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội Mai Công Mãn, Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa
Tạ Duy Phượng, Cộng tác viên Viện Toán học
Tóm tắt nội dung
Bài viết trình bày các bài toán thực tế dẫn đến mô hình toán học là dãy truy hồi tuyến tính cấp một và ứng dụng dãy truy hồi tuyến tính cấp một trong giải toán cũng như trong giải các bài toán thực tế
1 Từ các bài toán thực tế
1.1 Sử dụng tài nguyên thiên nhiên
Ví dụ 1.1 (Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội,
Trung học Cơ sở, 2017) Dự báo với mức độ tiêu thụ dầu không đổi như hiện nay, trữ
lượng dầu sẽ hết sau 100 năm Thay vì mức độ tiêu thụ dầu không đổi, do nhu cầu thực
tế, mức tiêu thụ dầu năm sau tăng lên 5% so với năm trước Hỏi sau bao nhiêu năm số dầu dự trữ sẽ hết?
Lời giải. Giả thiết rằng mức tiêu thụ dầu hàng năm như hiện nay là A đơn vị Khi ấy trữ lượng dầu là 100A Nếu xnlà lượng dầu sử dụng vào năm thứ n thì x1 = A Với tỉ lệ tăng 5%/năm thì x2 =1.05x1 =1.05A và
xn=1.05xn − 1=1.052xn − 2 = · · · =1.05n−1x1=1.05n−1A
Tổng lượng dầu sử dụng sau n năm là
Sn =x1+x2+ · · · +xn= A+1.05A+ · · · +1.05n−1A= (1+1.05+ · · · +1.05n−1)A
= 1.05n−1 1.05−1 A=
1.05n−1 0.05 A.
Để xem lượng dầu sử dụng được bao lâu (với mức tăng hàng năm là 5%), ta cần xác định n để tổng lượng dầu bằng 100A, tức là 1.05
n−1 0.05 A=100A hay 1.05
n=100×0.05+
1
Trang 2Suy ra n= ln 6
ln 1.05 ≈36.72≈37 năm.
Lời bìnhLượng tiêu thụ dầu hàng năm tăng theo cấp số nhân
Tổng lượng dầu tiêu thụ sau n năm chính là tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân,
Sn =x1+x2+ · · · +xn= qn−1
Ví dụ này cho thấy, một mô hình toán học đơn giản nhất (cấp số nhân) cũng đã có thể dùng để phân tích những bài toán quan trọng của kinh tế
Ví dụ này cũng cho thấy tầm quan trọng của sự kiềm chế mức khai thác và sử dụng tài nguyên thiên nhiên như dầu mỏ, khí đốt, than đá, Nhưng do nhu cầu tiêu thụ, quá trình khai thác tài nguyên thiên nhiên tăng 5%/năm là hoàn toàn thực tế
1.2 Lạm phát Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bị mất giá Tỉ lệ phần trăm tăng lên
trong chỉ số giá bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm Ví dụ, khi nói tỉ
lệ lạm phát là 3%/năm, nghĩa là ta cần 1.03 đô-la khi mua một vật trị giá là 1 đô-la trước đây một năm (giả thiết vật cũ vẫn giữ nguyên giá) Với tỉ lệ lạm phát là 3%/năm thì
x1=1.03x0, x2 =1.03x1 =1.032x0, , xn=1, 03nx0 Sau 20 năm ta muốn mua một vật trị giá lúc đầu là 1000 đô-la thì cần số tiền là:
x20 = (1+ 3
100)
20×1000≈ 1806, 111235≈1806 đô-la
Ta đã sử dụng công thức tính số hạng thứ n của cấp số nhân
xn= (1+r%)xn− 1 = (1+r%)nx0 với r=3%, x0 =1000 và n=20
Mặc dù tỉ lệ lạm phát r = 3% là bình thường trong thực tế, sau một thời gian dài giá trị đồng tiền bị mất giá một cách đáng kể Ví dụ, với tỉ lệ lạm phát vẫn là 3%/năm, hỏi sau bao lâu thì giá trị đồng tiền chỉ còn một nửa? Để trả lời câu hỏi này ta cần tìm n sao cho
xn= (1+ 3
100)
nx0 =2x0 Vậy n = ln 2
ln 1.03 ≈23.44, tức là, sau khoảng 24 năm, ta cần 2 đô-la để mua một vật trị giá lúc đầu là 1 đô-la (với giả thiết vật sau 20 vẫn giữ nguyên giá như ban đầu)
1.3 Phân rã chất phóng xạ
Chất có chứa chất phóng xạ (quặng có chứa chất radium, ) thường xuyên phát ra một lượng chất phóng xạ và do đó lượng chất phóng xạ có trong chất ấy bị giảm dần
Thời gian mà chất phóng xạ giảm chỉ còn một nửa được gọi là chu kì bán rã.
Giả sử xnlà lượng chất phóng xạ còn lại sau n năm Nếu tỉ lệ phân rã là r thì
xn+ 1= (1−r)xn, n=0, 1, 2,
Ở đây, thay vì sử dụng tỉ lệ phần trăm như trong các bài toán kinh tế, ở đây ta dùng đại lượng r, 0<r<1
Đây cũng là cấp số nhân và xn= (1−r)nx0, trong đó x0là lượng chất phóng xạ ban đầu Nếu chu kì bán rã là H thì
Trang 3xH = 1
2x0, hay(1−r)
Hx0 = 1
2x0. Suy ra
1−r = (1
2)
1
H Thay vào phương trình trên ta được
xn = (1
2)
n
công thức (2.3) thường được sử dụng trong xác định niên đại carbon Khi hóa thạch được tìm thấy, người ta đo lượng còn lại của đồng vị carbon-14 Lí do là lượng carbon-14 trong động vật khi còn sống là không đổi, nhưng bắt đầu giảm khi động vật đã chết Chu kì bán rã của carbon-14 xấp xỉ 5730 năm
Ví dụ 1.2. Khi đo tỉ lệ carbon-14 trong một xác động vật chết, người ta thấy nồng độ carbon-14 chỉ còn 54% lượng carbon-14 ban đầu Để xác định thời gian động vật đó sống, ta sử dụng công thức (2.3) với xn =0.54x0và H=5730 Ta có
0, 54x0 =xn= (1
2)
n
5730 x0 hay
0, 54= (1
2)
n
5730 Suy ra
n=5730×ln 0, 54
−ln 2 ≈5094 năm.
Vậy động vật đó đã chết cách đây khoảng 5100 năm
1.4 Bài toán tăng trưởng dân số
Bài toán tăng trưởng dân số là một bài toán thực tế, thường xuyên được dùng làm đề
thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử từ năm 1996 đến nay Nội dung của nó
thường được phát biểu như sau
Dân số của một thành phố (một nước) A hiện nay là x0(người) Tỉ lệ tăng dân số hàng năm là r% Hỏi sau n năm, số dân của thành phố (nước) A sẽ là bao nhiêu người
Lời giải. Số dân sau một năm sẽ là x1 =x0+r%x0= (1+r%)x0
Số dân sau n năm sẽ là xn= (1+r%)xn− 1
Đây cũng chính là cấp số nhân Số dân của thành phố A sau n năm sẽ là
Nhận xét 1.1. Theo công thức (1.4), biết ba trong bốn đại lượng n, r, x0, xn, ta dễ dàng tính được đại lượng còn lại Cụ thể:
1) Biết n, r, x0 Khi ấy xnđược tính theo công thức (2.4);
2) Biết n, x0, xn Khi ấy
r = r xn n
Trang 43) Biết r, x0, xn Khi ấy
n=
ln xn
x0
ln(1+r%) =
ln xn−ln x0
4) Biết r, x0, xn Khi ấy
x0= xn
Ví dụ 1.3(Thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thừa
Thiên-Huế, Trung học cơ sở, 2006-2007) Dân số của một thành phố năm 2007 là 330.000
người
Câu 1Hỏi năm học 2007-2008, dự báo có bao nhiêu học sinh lớp 1 đến trường, biết trong
10 năm trở lại đây tỉ lệ tăng dân số mỗi năm của thành phố là 1.5% và thành phố thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1?
Câu 2Nếu đến năm học 2015-2016, thành phố chỉ đáp ứng được 120 phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh thì phải kiềm chế tỉ lệ tăng dân số mỗi năm
là bao nhiêu, bắt đầu từ năm 2007? (Kết quả lấy với 2 chữ số ở phần thập phân)
Lời giải Câu 1 Gọi a (đơn vị: người) là số dân đầu năm 2000 của thành phố Khi đó:
Số dân năm 2001 sẽ là a(1+ 1, 5
100);
Số dân năm 2007 sẽ là a(1+ 1, 5
100)
7
Vì số dân năm 2007 là 330000 (người) nên số dân năm 2000 là
a= 330000
(1+ 1, 5
100)
7
Chỉ có những em sinh năm 2001 mới đủ tuổi đi học (6 tuổi) vào lớp 1 ở năm học 2007-2008 Vậy số trẻ em (sinh năm 2001) học lớp 1 năm học 2007-2008 là
330000
(1+ 1, 5
100)
7 × 1, 5
100 ≈4460(em)
Lời bình
Trên thực tế, số trẻ em được sinh ra phải nhiều hơn, vì mức tăng trưởng dân số được tính theo công thức: r =(Số trẻ em sinh ra-số người chết)/số dân (của năm)
Câu 2.2Gọi x là tỉ lệ tăng dân số cần khống chế từ năm 2007
Vì số dân năm 2007 là 330000 người nên số dân năm 2008 là: 330000× (1+ x
100).
Số trẻ em sinh năm 2009 là: 330000× (1+ x
100) ×
x
100.
Vì chỉ có những trẻ em sinh năm 2009 mới đủ 6 tuổi vào học lớp 1 năm học 2015-2016
Ta có phương trình sau:
3300001+ x
100
· x
100 : 35=120(phòng)
hay
3300x+33x2
Trang 5Giải phương trình trên ta được:
x1 =1, 256928578; x2 =101, 2569286
Vậy tỉ lệ tăng dân số cần khống chế là 1, 25%
1.5 Bài toán lãi suất tiết kiệm
Bài toán lãi suất tiết kiệm cũng là một bài toán thực tế, thường xuyên được dùng làm
đề thi Giải toán trên máy tính điện tử từ năm 2000 đến nay Nó cũng đã xuất hiện trong đề
thi Trung học Phổ thông 2017 và 2018 Mặc dù phát biểu ngày càng phức tạp (theo thời gian), nhưng các bài toán dạng này thực chất cũng chỉ là áp dụng các công thức (1.1), (1.2),(1.4), (1.5), (1.6),(1.7)
Lãi képSau một đơn vị thời gian (tháng, năm), lãi được gộp vào vốn và được tính
lãi Loại lãi này được gọi là lãi kép.
Ví dụ 1.4(Thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thông 2018, Đề số 101 Câu 16; Đề số 107 Câu
20; Đề số 109 Câu 16; Đề số 115 Câu 16; Đề số 117 Câu 22; Đề số 123 Câu 19) Một người
gửi tiết kiệm vào một ngân hàng với lãi suất 7.5%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
Đáp số(khoanh tròn đáp án đúng): A 11 năm B 9 năm C 10 năm D 12 năm
Ghi chú: Để cho gọn, ở đây chỉ nêu đáp số của một Đề Đáp số các Đề khác đã được
trộntừ tổ hợp A, B, C, D
Lời giải. Gọi n là năm mà khi lĩnh tiền ra (cả gốc lẫn lãi) được gấp đôi số tiền gửi vào Khi ấy, theo công thức (6) ta có
n=
ln xn
x0
ln(1+r%) =
ln 2
ln(1.075) ≈9.58
Vậy với lãi suất 7.5%/năm, để được gấp đôi số tiền gửi vào cần khoảng 10 năm
Đáp án là C
Bài tập tương tự
Bài 1.1(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 102 Câu 24; Đề số 108 Câu 22; Đề số 110
Câu 22; Đề số 116 Câu 17; Đề số 118 Câu 22; Đề số 124 Câu 20) Một người gửi tiết kiệm
vào một ngân hàng với lãi suất 7, 2% /năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
Trang 6A 11 năm B 12 năm C 9 năm D 10 năm.
Bài 1.2(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 103 Câu 25; Đề số 105 Câu 22:; Đề số 111
Câu 22; Đề số 113 Câu 17; Đề số 119 Câu 22; Đề số 121 Câu 25) Một người gửi tiết kiệm
vào một ngân hàng với lãi suất 6, 6%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
A 11 năm B 10 năm C 13 năm D 12 năm
Bài 1.3(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2018 , Đề số 106 Câu 24; Đề số 104 Câu 16; Đề số 112
Câu 24; Đề số 114 Câu 16; Đề số 120 Câu 23: Đề số 122 Câu 16) Một người gửi tiết kiệm
vào một ngân hàng với lãi suất 6, 1%/năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra?
A 12 năm B 13 năm C 10 năm D 11 năm
Bài 1.4(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2017, Đề số 101 Câu 35; Đề số 107 Câu 31; Đề số 109
Câu 38; Đề số 115 Câu 33; Đề số 117 Câu 39; Đề số 123 Câu 41) Một người gửi 50 triệu
đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/ năm Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người
đó không rút tiền ra
A 13 năm B 14 năm C 12 năm D 11 năm
Bài 1.5(Thi Tốt nghiệp Phổ thông 2017, Đề số 102 Câu 41; Đề số 108 Câu 38; Đề số 110
Câu 43; Đề số 116 Câu 36; Đề số 118 Câu 40; Đề số 124 Câu 39) Đầu năm 2016, ông A
thành lập một công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm
2016 là 1 tỷ đồng Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dung để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2
tỷ đồng ?
A Năm 2023 B Năm 2022 C Năm 2021 D Năm 2020
Bài 1.6 (Sở Giáo dục – Đào tạo Thừa Thiên-Huế Đề thi học sinh giỏi tỉnh 2008-2009
Khối 12 Trung học phổ thông Đề chính thức Ngày thi: 17-12-2008) Lãi suất của tiền gửi
tiết kiệm của một số ngân hàng thời gian vừa qua liên tục thay đổi Bạn Châu gửi số tiền ban đầu là 5 triệu đồng với lãi suất 0, 7% tháng Sau chưa đầy một năm, thì lãi suất tăng lên 1, 15% tháng trong nửa năm tiếp theo và bạn Châu tiếp tục gửi; sau nửa năm đó lãi suất giảm xuống còn 0, 9% tháng, bạn Châu tiếp tục gửi thêm một số tháng tròn nữa, khi rút tiền bạn Châu được cả vốn lẫn lãi là 5 747 478,359 đồng (chưa làm tròn) Hỏi bạn
Trang 7Châu đã gửi tiền tiết kiệm trong bao nhiêu tháng?
1.6 Cuộn giấy, cuộn vải
Cuộn giấy gồm một lõi carton đường kính d0 bằng 4 cm và cuộn giấy quấn quanh lõi Cuộn giấy thường chứa 60 lá giấy mỗi lá dài 25 cm, do đó tổng chiều dài cuộn giấy
là 1500 cm Cho rằng giấy được quấn quanh một lõi đường kính d0, sau mỗi vòng quấn tổng đường kính của cuộn giấy tăng lên 2t, trong đó t là bề dày của giấy Giả sử xncm là tổng chiều dài cuộn giấy khi quấn n vòng quanh lõi, như vậy, x0= 0 Đường kính ngoài của cuộn giấy là dn = d0+2tn cm Điều này khiến chiều dài của cuộn giấy tăng lên từ vòng thứ n sang vòng thứ n+1 là xn+ 1 =xn+π(d0+2tn) Như vậy, ta có công thức
Để tìm được công thức nghiệm của phương trình này (công thức biểu diễn tường minh
xn từ công thức (1.8), ta cần có kiến thức về dãy truy hồi (phương trình sai phân) cấp một, được trình bày dưới đây
2 Mô hình toán học
Nhận xétTất cả các bài toán thực tế trình bày trong Mục 1 đều dẫn đến một mô hình
toán học đơn giản là Dãy truy hồi (hay Phương trình sai phân) tuyến tính cấp một.
2.1 Khái niệm
Dãy truy hồi (Phương trình sai phân) tuyến tính cấp một là dãy có dạng
xn+ 1 =qxn+dn, n=1, 2, (2.9) Nếu q=1, dn ≡dthì ta có
Đây chính là cấp số cộng (số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một số d không đổi).
Nếu dn≡0 thì ta có
Đây chính là cấp số nhân (số hạng sau bao giờ cũng bằng số hạng trước nhân với một số
qkhông đổi)
Dãy xn + 1=qxncòn được gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một thuần nhất.
Nếu dnkhông đồng nhất bằng 0 thì dãy (1.9) được gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một
không thuần nhất
Như vậy, dãy truy hồi tuyến tính cấp một là trường hợp tổng quát của cấp số cộng và cấp
số nhân
Trang 8Cho trước giá trị ban đầu x0và dãy dn, ta dễ dàng tính được nghiệm (số hạng tổng quát) của dãy truy hồi (1.9):
xn= qnx0+qn−1d0+qn−2d1+ · · · +qdn− 2+dn− 1 =qnx0+
n − 1
∑
k = 0
qn−1−kdk (2.12) Thật vậy, theo công thức (1.9) ta có:
x1=qx0+d0, x2 =qx1+d1=q(qx0+d0) +d1=q2x0+qd0+d1 Giả sử công thức (1.12) đúng với mọi n Khi ấy, theo (1.9) và giả thiết qui nạp, ta có:
xn+ 1 =qxn+dn= q
qnx0+n∑−1
k = 0
qn − 1 − kdk
+dn=qnx0+ ∑n
k = 0
qn − kdk Vậy công thức (1.12) được chứng minh
Nhận xét 2.2. Với giá trị ban đầu x0 và dãy dn cho trước, ta dễ dàng tính được nghiệm của dãy truy hồi (1.9) trên máy tính theo công thức định nghĩa (1.9) (công thức truy hồi) hoặc công thức nghiệm tổng quát (12) Đây chính là một trong những thế mạnh của máy tính điện tử
2.2 Nghiệm tổng quát của dãy truy hồi tuyến tính không thuần nhất
Khi chưa biết giá trị ban đầu x0, bằng qui nạp, ta dễ dàng chứng minh được rằng, dãy truy hồi tuyến tính cấp một thuần nhất xn + 1 = qxn có nghiệm tổng quát dạng
˜xn =Cqn, với C là một số bất kì
Dãy{¯xn}thỏa mãn (1.9) với mọi n được gọi là nghiệm riêng của (1.9) Ta có
Mệnh đề 2.1. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.9) có dạng
xn= ˜xn+ ¯xn, trong đó ˜xn =Cqnlà nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất
xn+ 1 =qxnvà ¯xnlà một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất (1.9)
Chứng minh. Giả sử ¯xnlà nghiệm riêng của (1.9), tức là ¯xn + 1 = q¯xn+dnvới mọi n và
˜xn =Cqnlà nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn+ 1 =qxn Khi ấy
xn+ 1 = ˜xn+ 1+¯xn+ 1 =Cqn+1+q¯xn+dn =q(Cqn+ ¯xn) +dn= q(˜xn+ ¯xn) +dn =qxn+dn Vậy xn = ˜xn+ ¯xn =Cqn+ ¯xnlà nghiệm tổng quát của (1.9)
Dễ dàng thấy rằng nghiệm của (1.9) ứng với giá trị ban đầu x0có dạng
xn =qnx0+ ¯xn
Tìm nghiệm riêng trong một số trường hợp đặc biệt
Theo Mệnh đề 2.1, để tìm công thức nghiệm của (1.9), ta phải tìm một nghiệm riêng Dưới đây ta sẽ tìm nghiệm riêng của dãy (1.9) trong một số trường hợp đặc biệt, tuy
Trang 9nhiên, vẫn tương đối tổng quát.
Mệnh đề 2.2Giả sử dn=Pk(n)là một đa thức bậc k của n
Nếu q 6=1 thì có thể tìm một nghiệm riêng ¯xncủa phương trình không thuần nhất (1.9) dưới dạng ¯xn=Qk(n)(đa thức bậc k của n )
Nếu q = 1 thì có thể tìm một nghiệm riêng ¯xn của phương trình (1.9) dưới dạng
¯xn =nQk(n)(đa thức bậc k+1 của n )
Chứng minh. Xem, Ví dụ, [6], trang 12; [7], trang 47
Ví dụ 2.5. Tìm nghiệm của phương trình
xn+ 1 =xn+2n2, x0 =1, n>0
Lời giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn + 1= xnlà xn=C
Vì q=1 và dn=2n2nên tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng (cao hơn dnmột bậc)
¯xn= n(C1n2+C2n+C3) Thay vào phương trình ta được đẳng thức sau đúng với mọi n>0 :
(n+1)[C1(n+1)2+C2(n+1) +C3] =n(C1n2+C2n+C3] +2n2
So sánh hệ số ta được
C1= 2
3, C2= −2, C3 =
4
3. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là
xn=C+2
3n
3−2n2+ 4
3n.
Từ điều kiện ban đầu x0=1 ta có C =1 Nghiệm ứng với điều kiện ban đầu x0=1 là
xn=1+2
3n
3−2n2+4
3n.
Chú ýMệnh đề 2.2 cũng đúng cho phương trình
axn+ 1+bxn=dn, n=1, 2, ,
là dạng tổng quát của (1.9)
Ví dụ 2.6. Tìm số hạng tổng quát của dãy số
3xn+ 1−2xn=n+1, x0 =1,
Lời giải. Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
3xn + 1−2xn =0⇔3xn + 1 = 2
3xn, n =0, 1, 2, là
xn= C(−b
a)
n =C(2
3)
n
Vì q = 2
3 6= 1 và dn = n+1 là một đa thức bậc nhất của n nên ta tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng đa thức bậc nhất ¯xn= C1n+C2
Thay vào phương trình đã cho ta có
3(C1(n+1) +C2) −2[C1n+C2] =n+1 đúng với mọi n Suy ra C1 = 1; C2 = −2 Vậy ¯xn = n−2 và nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là xn=C(2
3)
n+n−2
Trang 10Vì x0 = 1 nên C−1 = 2 hay C= 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho ứng với điều kiện ban đầu x0=1 là xn =3(2
3)
n+n−2
Trường hợp đặc biệt dn≡d
Nếu dn≡ dvới mọi n thì phương trình (1.9) có dạng
Nếu q 6=1 thì do dn = d(là đa thức bậc 0 với mọi n ) nên ta tìm một nghiệm riêng dạng
¯xn =c(đa thức cùng bậc với đa thức dn =d)
Thay vào phương trình xn + 1=qxn+dta được c= qc+d, suy ra c= d
1−q. Vậy nghiệm tổng quát của (13) có dạng xn= Cqn+ d
1−q. Nếu biết x0thì C = x0− d
1−q Nghiệm của phương trình (13) với điều kiện ban đầu x0 là
xn=qnx0+d(1−qn)
Nhận xétTrực tiếp, từ công thức (1.9), khi q6=1, ta cũng có:
xn =qxn− 1+d =q(qxn− 2+d) +d=q2xn− 2+qd+d=
=qnx0+ (qn−1+qn−2+ · · · +q+1)d=qnx0+ qn−1
q−1 d.
Khi q=1 thì (1.9) trở thành xn + 1= xn+d(cấp số cộng)
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất xn + 1= xnlà xn≡ C
Nghiệm riêng được tìm dưới dạng xn = cn (đa thức bậc nhất của n cao hơn đa thức
dn≡ dmột bậc)
Thay vào phương trình xn + 1= xn+dta được c(n+1) =cn+d Suy ra c=d
Vậy nghiệm tổng quát của dãy xn + 1 =xn+d(cấp số cộng) là xn=C+nd
Nếu x0cho trước thì xn =x0+nd
Đây chính là công thức tính số hạng tổng quát của cấp số cộng
Công thức này cũng dễ dàng chứng minh trực tiếp như sau:
xn =xn−1+d = (xn− 2+d) +d= · · · =x0+nd
Ta có công thức tổng các số hạng đầu của cấp số cộng:
Sn=x0+x1+ · · · +xn− 1= x0+ (x0+d) + · · · + (x0+ (n−1)d) =nx0+ n(n−1)
Trường hợp đặc biệt dn≡0
Nếu dn ≡0 thì từ công thức (1.14) ta lại có công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân
xn+ 1 =qxnlà xn =qnx0
Ta có công thức tổng Sncác số hạng đầu của cấp số nhân:
Sn= x0+x1+ · · · +xn− 1 =x0+qx0+q2x0+ · · · +qn−1x0
= 1+q+ · · · +qn−1 x0 = 1−qn
1−q x0.
Ghi chúỞ đây chỉ trình bày cách tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong một trường hợp đơn giản nhất (Mệnh đề 2.2) Có thể tìm hiểu thêm về phương trình sai phân bậc nhất qua các tài liệu [2]-[4], [6], [7]