Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp khớp dẻo sử dụng hàm dạng chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ DỤNG HÀM DẠNG CHUYỂN VỊ XẤP XỈ ĐA THỨC BẬC 5

MÃ SỐ: T2015 – 19TĐ

Tp Hồ Chí Minh, 2015

S KC 0 0 4 7 6 3

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHÂN TÍCH PHI TUYẾN KHUNG THÉP PHẲNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỚP DẺO SỬ DỤNG

HÀM DẠNG CHUYỂN VỊ XẤP XỈ ĐA THỨC BẬC 5

Mã số: T2015 – 19TĐ

Chủ nhiệm đề tài:

ThS Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm Thành viên đề tài:

ThS Đặng Xuân Lam

TP HCM, 10/2015

1

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH VẼ 3

DANH MỤC BẢNG BIỂU 4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT 4

C HƯƠNG I MỞ ĐẦU 10

I.1 Tổng quan 10

I.2 Tình hình nghiên cứu 11

I.3 Tính cấp thiết của đề tài 14

I.4 Mục tiêu của đề tài 14

I.5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 15

I.6 Cách tiếp cận – Phương pháp nghiên cứu 15

I.7 Nội dung nghiên cứu 15

C HƯƠNG II CƠ SỞ LÝ THUYẾT 16

II.1 Giả thiết 16

II.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ chuyển vị bằng đa thức bậc 5 17

II.2.1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị và hàm ổn định 17

II.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5 18 II.3 Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử 21

II.4 Thành lập ma trận độ cứng phần tử dầm-cột 22

II.5 Phi tuyến vật liệu 25

II.5.1 Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư 25

II.5.2 Sự chảy dẻo do ảnh hưởng của nội lực 25

C HƯƠNG III CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH 28

III.1 Thuật toán chiều dài cung kết hợp với chuyển vị dư nhỏ nhất 28

III.2 Lưu đồ thuật toán 30

III.3 Chương trình phân tích 31

C HƯƠNG IV VÍ DỤ MINH HỌA 34

IV.1 Ví dụ 1 – Cột phi đàn hồi hai đầu khớp chịu tải tập trung 34

2 IV.2 Ví dụ 2 – Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung 36

IV.3 Ví dụ 3 – Khung 2 tầng 1 nhịp với các dạng liên kết chân cột 37

IV.4 Ví dụ 4 – Khung 2 tầng 1 nhịp Balling 40

IV.5 Ví dụ 5 – Khung 4 tầng 2 nhịp Kukreti và Zhou 42

IV.6 Ví dụ 6 – Khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali 43

IV.7 Ví dụ 7 – Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 44

C HƯƠNG V KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47

V.1 Kết luận 47

V.2 Kiến nghị 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

DANH MỤC HÌNH VẼ Hình II-1 Phần tử dầm-cột điển hình 17

Hình II-2 So sánh các hàm ổn định 20

Hình II-3 Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột 23

Hình II-4 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Orbison 26

Hình II-5 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Liew và cộng sự 26

Hình II-6 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Balling 27

Hình III-1 Lưu đồ thuật toán của chương trình 30

Hình IV-1 Cột thép phi đàn hồi hai đầu khớp chịu lực tập trung 34

Hình IV-2 Đường cường độ cột hai đầu khớp 35

Hình IV-3 Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung 36

Hình IV-4 Chuyển vị tại điểm đặt lực của dầm hai đầu ngàm 37

Hình IV-5 Khung 2 tầng 1 nhịp Lui và Chen 37

Hình IV-6 Đường tải trọng – chuyển vị (Đàn hồi – LK khớp) 38

Hình IV-7 Đường tải trọng – chuyển vị (Phi đàn hồi – LK khớp) 39

Hình IV-8 Đường tải trọng – chuyển vị (Đàn hồi – LK ngàm) 39

Hình IV-9 Đường tải trọng – chuyển vị (Phi đàn hồi – LK ngàm) 40

Hình IV-10 Khung 2 tầng 1 nhịp Balling 40

Hình IV-11 Đường tải trọng – chuyển vị khung 2 tầng 1 nhịp Balling 41

Hình IV-12 Khung 4 tầng 2 nhịp Kukreti và Zhou 42

Hình IV-13 Đường hệ số tải trọng – chuyển vị khung 4 tầng 2 nhịp 42

Hình IV-14 Khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali 43

Hình IV-15 Đường hệ số tải trọng – chuyển vị khung 4 tầng 1 nhịp 44

Hình IV-16 Khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 45

Hình IV-17 Chuyển vị đỉnh bên phải khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 46

DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng 1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s 181 2 Bảng 2 Lời giải của hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s đề xuất 201 2 Bảng 3 Định dạng file input.txt 31

Bảng 4 Hệ số tải giới hạn (P/Py ) của cột hai đầu khớp 35

Bảng 5 So sánh kết quả hệ số tải giới hạn λu của dầm 2 đầu ngàm 36

Bảng 6 So sánh hệ số tải giới hạn λu của khung 2 tầng 1 nhịp Lui và Chen 38

Bảng 7 Hệ số tải giới hạn λu của khung 4 tầng 1 nhịp Kassimali 44

Bảng 8 Đặc trưng hình học của khung Vogel 6 tầng 2 nhịp 45

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A Diện tích mặt cắt ngang cấu kiện b1, b2 Các hàm hiệu ứng cung

E Mô-đun đàn hồi của vật liệu

Et Mô-đun tiếp tuyến của vật liệu

e1, e2 Hệ số chảy dẻo ở hai đầu phần tử

F, P Lực dọc trục phần tử

I Mô-men quán tính của tiết diện

L Chiều dài của phần tử

M1, M2 Mô-men uốn ở hai đầu phần tử

My Mô-men chảy dẻo của phần tử

Py Lực dọc chảy dẻo của phần tử

5

s1, s2 Các hàm ổn định của phần tử dầm-cột đàn hồi

s’1, s’2 Đạo hàm các hàm ổn định của phần tử dầm-cột đàn hồi

sip (i = 1~3) Các hàm ổn định của phần tử dầm-cột phi đàn hồi

s’ip (i = 1~3) Đạo hàm các hàm ổn định của phần tử dầm-cột phi đàn hồi

u1, u4 Chuyển vị theo phương ngang của hai đầu phần tử

u2, u5 Chuyển vị theo phương đứng của hai đầu phần tử

u3, u6 Chuyển vị theo xoay của hai đầu phần tử

Z Mô-men quán tính dẻo của tiết diện

λu Hệ số tải giới hạn của hệ kết cấu

σy Ứng suất chảy dẻo của vật liệu

θ1, θ2 Góc xoay ở hai đầu phần tử

{P}, {∆P} Véc-tơ tải và véc-tơ tải gia tăng

{u}, {∆u} Véc-tơ chuyển vị và véc-tơ chuyển vị gia tăng

{z} Véc-tơ nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương

{Z} Véc-tơ nội lực nút phần tử trong tọa độ tổng thể

[kG] Ma trận độ cứng hình học của phần tử theo tọa độ địa phương

[kθ] Ma trận độ cứng hình học bậc cao của phần tử theo tọa độ địa phương

[kT] Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo tọa độ địa phương

[KT] Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử theo tọa độ tổng thể

[T] Ma trận chuyển đổi của cấu kiện khung phẳng

6

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA XD & CHƯD

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Tp HCM, ngày 24 tháng 10 năm 2015

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Phân tích phi tuyến khung thép phẳng bằng phương pháp khớp dẻo sử dụng hàm dạng chuyền vị xấp xỉ đa thức bậc 5

- Mã số: T2015 – 19TĐ

- Chủ nhiệm: Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm

- Cơ quan chủ trì: Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Tp HCM

- Thời gian thực hiện: từ tháng 06 năm 2014 đến tháng 10 năm 2015

2 Mục tiêu:

Phát triển phần tử dầm-cột sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 kết hợp với các khớp dẻo hiệu chỉnh ở hai đầu phần tử để phân tích ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu cho khung thép phẳng

Phát triển một chương trình phân tích tin cậy và hiệu quả cho phân tích ứng xử phi tuyến của khung thép phẳng

3 Tính mới và sáng tạo:

Nghiên cứu này trình bày một phần tử dầm-cột có thể mô phỏng tác động bậc hai và sự chảy dẻo của kết cấu khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp

xỉ bằng hàm đa thức bậc 5 thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện Từ đó một ma trận độ cứng với các hàm ổn định có xét đến hiệu ứng cung được thiết lập để giả lập chính xác tác động bậc hai

Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo

Một chương trình phân tích phi tuyến cho kết cấu khung thép phẳng được phát

triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa trên thuật toán giải phi tuyến theo

phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất và kết

quả phân tích của nó được chứng minh là tin cậy qua các ví dụ số

4 Kết quả nghiên cứu:

Để kiểm tra độ chính xác và hiệu quả tính toán của chương trình, kết quả phân

tích được so sánh với các kết quả có sẵn trong các tài liệu khác Thông qua các ví

dụ số, chương trình đề xuất được chứng minh là một công cụ đáng tin cậy và hiệu

quả trong việc tiên đoán khả năng chịu lực của hệ kết cấu

5 Sản phẩm:

Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh,

Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường Phân tích phi tuyến khung thép phẳng

dùng hàm chuyển vị đa thức bậc năm Hội nghị Khoa học Công nghệ Trường Đại

học Bách khoa Tp.HCM lần thứ 14, 2015

Đoàn Ngọc Tịnh Nghiêm, Lê Nguyễn Công Tín, Nguyễn Thị Thùy Linh,

Nguyễn Tấn Hưng, Ngô Hữu Cường Phân tích phi tuyến khung thép phẳng

dùng hàm chuyển vị đa thức bậc năm Tạp chí Xây dựng, Số 10 (2015)

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:

Chương trình máy tính được phát triển có thể được ứng dụng để phân tích nâng

cao kết cấu phục vụ việc nghiên cứu, giảng dạy kết cấu thép nâng cao

Đưa vào giảng dạy theo dạng chuyên đề tại trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật Tp.HCM

- Coordinator: Tinh-Nghiem Doan-Ngoc

- Implementing institution: HCMC University of Technology and Education

- Duration: from June 2014 to October 2015

2 Objective(s):

- Generate a formula of beam-column element using fifth-order polynomial displacement function in combination with refined plastic hinges at two ends for geometric and material non-linear analysis of planar steel frames

- Develop a reliable and efficient program for non-linear analysis of planar steel frames

3 Creativeness and innovativeness:

This research presents a beam-column element capable of modeling the order effects and the inelasticity of planar steel frame structures under static loads The displacement function of a beam-column member subjected to axial forces and bending moments at the ends is approximately assumed to be a fifth-order polynomial function satisfying the compatible and equilibrium conditions at the mid-length and ends of the member Then a stiffness matrix with stability functions considering the bowing effect is formulated in order to simulate the second-order effects accurately

second-The end plasticity factors are used to model the gradual plastification of two end element sections by plastic-hinge assumption

A structural nonlinear analysis program of steel frame structures is developed by MATLAB programming language based on the arc-length method combined with

9

minimum residual displacement method and its analysis results are proved to be

reliable through some numerical examples

4 Research results:

It is verified for accuracy and computational efficiency by comparing the

predictions with other results available in the literature Through a variety of

numerical examples, the proposed program proves to be a reliable and efficient tool

in predicting strength and behavior of steel structures

5 Products:

Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Cong-Tin Le-Nguyen, Thuy-Linh Nguyen-Thi,

Tan-Hung Nguyen, Cuong Ngo-Huu Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames

Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function 14th Conference on Science

and Technology, HCMUT Vietnam, (2015)

Tinh-Nghiem Doan-Ngoc, Cong-Tin Le-Nguyen, Thuy-Linh Nguyen-Thi,

Tan-Hung Nguyen, Cuong Ngo-Huu Nonlinear Analysis Of Planar Steel Frames

Using Fifth-Order Polynomial Displacement Function Construction Magazine, 10

(2015)

6 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability:

The proposed program can be applied in advanced analysis for the purpose of

researching and teaching advanced analysis of steel structures

This research can be discussed as a special subject at HCMC University of

Technology and Education

Do việc phân tích phải trải qua nhiều bước lặp và ma trận độ cứng luôn được cập nhật sau mỗi bước gia tải nên thời gian và khối lượng tính toán của bài toán phân tích phi tuyến sẽ lớn hơn nhiều so với bài toán phân tích đàn hồi tuyến tính Một phân tích phi tuyến cho khung thép cần kể đến các yếu tố chính sau: phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu

Phân tích phi tuyến hình học có kể đến ảnh hưởng do sự biến đổi hình học và

sự phân bố ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện, do đó ma trận độ cứng sẽ có thêm các ẩn số chuyển vị so với ma trận độ cứng thông thường Nếu trong phân tích tuyến tính thì lời giải có thể tìm trực tiếp thì trong phân tích phi tuyến hình học lời giải phải dùng đến phương pháp gia tải từng bước do có sự biến đổi về mặt hình học của kết cấu sau mỗi bước tải

Phân tích phi tuyến vật liệu là phân tích có kể đến ứng xử phi đàn hồi của vật liệu Có hai phương pháp thường được sử dụng khi phân tích phi tuiyến vật liệu là phương pháp khớp dẻo và phương pháp vùng dẻo

Phương pháp khớp dẻo (plastic hinge) còn gọi là phương pháp dầm-cột là mô

hình đơn giản, dễ sử dụng và phổ biến nhất Trong phương pháp khớp dẻo giả thiết

sự chảy dẻo chỉ xảy ra trong một vùng nhỏ ở hai đầu phần tử, phần còn lại được giả

thuyết vẫn còn đàn hồi

Phương pháp vùng dẻo (plastic zone), hay còn gọi là phương pháp dẻo phân

bố (distributed plasticity), là phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên việc chia cấu

kiện thành nhiều phần tử dọc theo chiều dài và chia mặt cắt ngang tiết diện thành

nhiều thớ Phương pháp này có thể: mô phỏng sự lan truyền dẻo qua mặt cắt ngang

và dọc theo chiều dài cấu kiện Tuy nhiên khối lượng tính toán và lưu trữ trong

phương pháp này là khá lớn Do vậy, phương pháp này thường chỉ được dùng trong

nghiên cứu để kiểm tra độ tin cậy các phương pháp phân tích khác

I.2 Tình hình nghiên cứu

Với tính hiệu quả về mặt tính toán, phương pháp dầm-cột đã được nghiên cứu

sâu rộng trong phân tích khung thép chịu tải trọng tĩnh và động Phương pháp này

dựa vào việc mô phỏng cấu kiện bằng việc chia cấu kiện thành một hay hai phần tử

Lui EM và Chen WF (1986) [14] phân tích ứng xử của khung thép phẳng dùng

phương pháp khớp dẻo Ứng xử phi tuyến của liên kết được mô phỏng bằng hàm

mũ và có kể đến sự gia tải và dỡ tải của liên kết

Hsieh SH và Deierlein GG (1991) [9] phân tích phi tuyến khung không gian

có liên kết nửa cứng Ứng xử phi tuyến vật liệu được kể đến bởi việc sử dụng

phương pháp khớp dẻo có ma trận giảm dẻo dựa trên mặt dẻo ba tham số để mô

phỏng sự chảy dẻo của mặt cắt ngang do tác động của lực dọc trục và mômen uốn

theo hai phương

Đã có một số nghiên cứu sử dụng hàm dạng bậc ba và hyperbole của Krahula

(1967), Krajcinovic (1969), Mei (1970) và Barsoum & Gallagher (1970) Các hàm

này có thể mô phỏng chính xác hàm dạng của một vài dạng kết cấu đơn giản, tuy

nhiên các hàm trên không cho kết quả chính xác đối với các bài toán về ổn định và

do đó việc sử dụng hàm nội suy đa thức bậc cao là vẫn cần thiết So và Chan (1991)

đề xuất hàm đa thức bậc bốn và cho kết quả tốt hơn hàm bậc ba, tuy nhiên kết quả phân tích là không chính xác khi sử dụng một phần tử cho một cấu kiện của kết cấu Chan và Zhou (1994) [6] đã phát triển một phần tử dùng đa thức bậc 5 cho hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu tải đầu mút theo phương pháp cân bằng từng điểm rời rạc (Pointwise Equilibrating Polynomial - PEP) cho phân tích phi tuyến khung thép phẳng chịu tải trọng tĩnh Trong phân tích chỉ cần sử dụng một phần tử cho mỗi cấu kiện của kết cấu nhưng kết quả vẫn đạt độ chính xác cao Phân tích phi tuyến vật liệu sử dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh

Liew JYR, Chen WF, Chen H (2000) [13] đã phát triển phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của đầu mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo đơn giản

Kim SE và Choi SH (2001) [11] trình bày một phương pháp phân tích nâng cao khung thép không gian có xét đến các yếu tố phi tuyến hình học, vật liệu và liên kết bằng cách dùng hàm ổn định và phương pháp khớp dẻo

Ngo-Huu C, Kim SE và Oh JR (2008) [15] đề xuất phương pháp khớp dẻo thớ

có chiều dài khớp thớ bằng không để phân tích phi tuyến vật liệu và dùng hàm ổn định truyền thống để phân tích phi tuyến hình học cho phần tử dầm-cột của khung thép không gian chịu tải tĩnh Sau đó, Tai TH và Kim SE (2011) [23] cũng dùng phương pháp trên để phân tích ứng xử động của hệ khung thép không gian Tuy nhiên, ở phương pháp trên, quan hệ lực dọc và chuyển vị bỏ qua ảnh hưởng của góc xoay hai đầu phần tử

Ngo-Huu C, Kim SE (2009) [16] đã phát triển một phần tử dầm-cột khớp thớ phi tuyến cho mô phỏng khung thép không gian chịu tải tĩnh Tác động phi đàn hồi được mô phỏng dựa vào phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh, cấu kiện được chia thành ba phần tử gồm hai phần tử khớp thớ hai đầu có chiều dài hữu hạn và một phần tử đàn hồi ở giữa Hàm ổn định truyền thống có được từ lời giải giải tích của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu được sử dụng để mô

13

phỏng ứng xử bậc hai của phần tử đàn hồi ở giữa Lực dọc bỏ qua ảnh hưởng của

góc xoay hai đầu phần tử

Chiorean CG (2009) [8] đã đề xuất một phương pháp dầm cột mới cho phân

tích phi tuyến khung thép không gian có liên kết nửa cứng Quan hệ lực – biến dạng

phi đàn hồi phi tuyến và hàm ổn định được dùng để mô phỏng tác động phi tuyến

vật liệu và hình học

Chin-Long Lee và Filip C Flippou (2009) [7] đề xuất một phần tử dầm-cột sử

dụng phương pháp khớp thớ với chiều dài khớp thớ thay đổi (Spreading Inelastic

Zone Element – SIZE) để phân tích ứng xử kết cấu dưới tác dụng của tải lặp

Aslam Kassimali và Juan J Garcilazo (2010) [1] phân tích phi tuyến hình học

khung thép phẳng đàn hồi có xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ Phương pháp đề xuất

sử dụng lý thuyết dầm-cột có xét đến hàm ổn định và hàm hiệu ứng cung được trình

bày trước đó bởi Oran (1973) [18] và Kassimali (1976) [19] Trong nghiên cứu này,

quan hệ lực dọc và góc xoay hai đầu phần tử được kể đến thông qua các hàm hiệu

ứng cung được thiết lập dựa trên các hàm ổn định truyền thống

R.J Balling và J.W Lyon (2010) [21] đề xuất phần tử đồng xoay mới kết hợp

lý thuyết khớp dẻo để áp dụng cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu cho

khung thép Phần tử đồng xoay được phát triển có ưu điểm là chỉ cần mô phỏng một

phần tử cho một cấu kiện mà vẫn đạt độ chính xác cao, tuy nhiên, phần tử khớp dẻo

được đề xuất vẫn là khớp dẻo cứng và sự chảy dẻo dần dần của khớp dẻo vẫn chưa

được kể đến

Thanh-Nam Le, Jean-Marc Battini và Mohammed Hjiaj (2011) [24] đề xuất

phần tử dầm đồng xoay trong phân tích động khung thép phẳng đàn hồi Nghiên cứu

sử dụng hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 3 cho phần tử dầm nên quan hệ giữa

mô-men và góc xoay chưa xét đến ảnh hưởng của lực dọc

C.K Iu and M.A Bradford (2012) [10] đề xuất phần tử dầm-cột bậc 4 trong

phân tích phi tuyến hình học cho khung thép đàn hồi Ma trận độ cứng phần tử

dầm-cột được xây dựng từ hàm năng lượng

14

I.3 Tính cấp thiết của đề tài

Thông thường, khi hệ kết cấu ứng xử phi tuyến, phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) được sử dụng để phân tích Phương pháp này chia nhỏ một cấu kiện thành nhiều phần tử con, mức độ chính xác phụ thuộc vào số lượng phần tử con được chia

Do việc phân tích phải qua nhiều bước lặp và phải cập nhật lại ma trận độ cứng kết cấu sau mỗi bước gia tải nên khối lượng tính toán và dữ liệu lưu trữ của bài toán phân tích phi tuyến theo phương pháp này sẽ rất lớn Việc giảm khối lượng tính toán mà vẫn đảm bảo độ chính xác ứng xử phi tuyến của hệ kết cấu là cần thiết và

có tính thực tiễn cao

Trong phương pháp dầm-cột, yếu tố phi tuyến hình học do sự tương tác giữa lực dọc và mô-men uốn được tính đến bằng việc cải tiến các hàm ổn định từ lời giải của phương trình vi phân cân bằng chịu tải đầu mút Yếu tố phi tuyến vật liệu được được xét đến bằng cách sử dụng mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh Ưu điểm của việc sử dụng phương pháp dầm-cột là chỉ cần sử dụng một hoặc hai phần tử con trên một cấu kiện là có thể mô phỏng khá chính xác ứng xử phi tuyến của kết cấu, do đó hiệu quả tính toán sẽ cao hơn so với phương pháp PTHH truyền thống

Tác giả tiếp tục phát triển phương pháp dầm-cột bằng cách: i) đơn giản hóa lời giải giải tích của hàm chuyển vị bằng việc xấp xỉ với hàm đa thức bậc 5; ii) thiết lập

ma trận độ cứng phần tử có kể đến ảnh hưởng của góc xoay hai đầu phần tử; iii) sử dụng phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh để phản ánh chính xác hơn ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu của kết cấu khung thép phẳng khi chịu tải

I.4 Mục tiêu của đề tài

• Phát triển trận độ cứng mới cho phần tử dầm-cột dựa trên việc xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa thức bậc 5 kết hợp với các khớp dẻo hiệu chỉnh ở hai đầu phần tử để phân tích ứng xử phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu cho khung thép phẳng

• Phát triển một chương trình phân tích tin cậy và hiệu quả cho phân tích ứng

xử phi tuyến của khung thép phẳng

I.5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu:

• Khung thép phi đàn hồi chịu tải trọng tĩnh

Phạm vi nghiên cứu:

• Khung thép phẳng có liên kết cứng

I.6 Cách tiếp cận – Phương pháp nghiên cứu

Cách tiếp cận:

• Cơ sở lý thuyết của phương pháp dầm-cột và phương pháp khớp dẻo

• Các kết quả của các phương pháp và hướng phân tích có trước

Phương pháp nghiên cứu:

• Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với lập chương trình tính toán

• So sánh, đánh giá, phân tích các kết quả

I.7 Nội dung nghiên cứu

• Nghiên cứu tổng quan tình hình nghiên cứu liên quan đến đề tài

• Xây dựng ma trận độ cứng mới mô phỏng ứng xử bậc hai của phần tử dựa

vào phương pháp dầm-cột dựa trên việc xấp xỉ hàm chuyển vị bằng hàm đa

thức bậc 5, kết hợp với các mô hình khớp dẻo hiệu chỉnh để mô phỏng sự

chảy dẻo dần dần của khớp dẻo

• Xây dựng lưu đồ thuật toán phân tích phi tuyến cho hệ kết cấu

• Xây dựng chương trình phân tích bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB để tự

động hóa quá trình phân tích

• So sánh kết quả phân tích với các nghiên cứu trước đó để chứng minh độ

tin cậy và tính hiệu quả của phương pháp đề xuất

Chương này trình bày cách xây dựng ma trận độ cứng phần tử có xem xét tác động phi tuyến hình học theo lý thuyết dầm-cột Hiệu ứng cung được kể đến để xem xét sự thay đổi chiều dài phần tử do sự uốn cong của phần tử khi chịu lực Các hệ số chảy dẻo đầu mút được sử dụng để mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của tiết diện hai đầu phần tử theo giả thiết khớp dẻo Hàm chuyển vị của cấu kiện dầm-cột chịu lực dọc và mômen uốn ở hai đầu mút được giả định xấp xỉ bằng hàm đa thức bậc năm thỏa các điều kiện tương thích và cân bằng tại hai đầu mút và ở chính giữa cấu kiện (theo Chan và Zhou [6]) Ưu điểm của việc sử dụng hàm này là sự đơn giản trong việc thiết lập công thức mà vẫn đảm bảo độ chính xác như hàm ổn định lượng giác truyền thống Đây là những đóng góp chính của đề tài này

II.1 Giả thiết

Những giả thiết sau đây được sử dụng trong việc thành lập phần tử dầm-cột đồng xoay:

(1) Phần tử ban đầu thẳng và có dạng lăng trụ

(2) Mặt cắt ngang trước và sau biến dạng luôn phẳng và vuông góc với trục phần tử

(3) Bỏ qua biến dạng ngoài mặt phẳng và biến dạng cắt

(4) Bỏ qua ảnh hưởng của hệ số Poisson

(5) Sự mất ổn định cục bộ của cấu kiện và sự mất ổn định tổng thể của dầm không xảy ra

(6) Biến dạng của phần tử là nhỏ, nhưng chuyển vị của hệ kết cấu có thể lớn (7) Các đặc trưng mặt cắt ngang (kể cả mô-đun đàn hồi) được giả thiết là không đổi dọc theo chiều dài phần tử

(8) Mô hình khớp dẻo sử dụng các đường cường độ dẻo đã được đề xuất bởi Orbison, LRFD và Balling (sẽ được trình bày ở phần sau) tùy theo các ví

dụ phân tích

17

II.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ chuyển vị bằng đa thức bậc 5

II.2.1 Lời giải giải tích của hàm chuyển vị và hàm ổn định

Xét phần tử dầm-cột điển hình chịu lực dọc trục và mô-men uốn ở hai đầu như

Trong đó, s , s được gọi là các hàm ổn định Kết quả lời giải giải tích của 1 2

hàm chuyển vị ∆( )x và các hàm ổn định s , s được trình bày như trong Bảng 1 1 2

sinh s

λ = cho cả hai trường hợp F ≤ 0 và F > 0)

II.2.2 Các hàm ổn định khi xấp xỉ hàm chuyển vị bằng đa thức bậc 5

Việc thực hiện các phép biển đổi toán học trong quá trình thiết lập công thức bằng việc sử dụng nghiệm giải tích chính xác của hàm chuyển vị ∆( )x có các hàm

ổn định s , s như trình bày ở trên rất phức tạp Để đơn giản hóa việc biến đổi toán 1 2học mà vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết, hàm chuyển vị ∆( )x được tác giả xấp

xỉ thành các đa thức bậc 5 và từ đó biểu thức các hàm ổn định cũng sẽ có dạng đơn giản và dễ xử lý hơn Bên cạnh đó, hàm chuyển vị xấp xỉ đa thức bậc 5 phản ánh tốt hơn ứng xử phi tuyến hình học của phần tử dầm-cột so với việc sử dụng hàm dạng Hermit bậc 3 thông thường của phần tử dầm vì có xét đến tác động của lực dọc

Hàm chuyển vị ∆( )x được xấp xỉ như sau:

x a x a x a x a x a x a

∆ = + + + + + (4)

Các hệ số a i 0 ~ 5i( = ) được xác định từ việc cho hàm chuyển vị giả thiết ở

trên thỏa các điều kiện tương thích và điều kiện cân bằng Các phương trình được

trình bày như sau:

L

x

2 2

L q 48 q 80 13q 832q 3840 5q 192q 3840 a

L q 48 q 80 4q 3q 160 2q 80 a

L q 48 q 80 4q

L q 48 q 80 13q 832q 3840 5q 192q 3840 a

L q 48 q 80 4q 3q 160 2q 80 a

L q 48 q 80 4q

a

L q 80

=

= θ + + θ + + + θ

2 1

21

Kết quả các hàm ổn định đề xuất và hàm ổn định truyền thống theo lời giải

giải tích được trình bày như trong Hình II-2 cho thấy hàm ổn định đề xuất có độ

chính xác khá cao Với các hàm ổn định đề xuất, ta dễ dàng xác định được các đạo

hàm của các hàm ổn định s , s1′ ′2 trong các công thức tính toán nội lực nút phần tử ở

phần sau

II.3 Quan hệ nội lực và góc xoay hai đầu phần tử

Theo Hình II-1, lực dọc F có xét đến biến dạng của phần tử được xác định như

Trong đó, b , b là các hàm hiệu ứng cung (bowing functions) được xác định 1 2

theo các hàm ổn định s , s và 1 2 q = λ như sau: 2

Gọi e tương ứng là hệ số chảy dẻo mô tả mức độ chảy dẻo ở hai đầu mút 1,2

phần tử (0 e , e≤ 1 2≤1); trong đó, e có giá trị bằng 1 nếu tiết diện vẫn còn hoàn 1,2

22

toàn đàn hồi, bằng 0 nếu tiết diện đã chảy dẻo hoàn toàn và có giá trị nằm giữa 0 và

1 nếu tiết diện đang chảy dẻo Theo Liew và cộng sự [13], quan hệ mô-men và góc xoay được viết lại như sau:

  ′ ′ ′ 

=  ± θ + θ θ + θ

  (22) (Biểu thức lấy dấu “+” khi F > 0 và dấu “– ” khi F ≤ 0)

Hình II-3 Lực và chuyển vị đầu mút phần tử dầm-cột

Nội lực nút phần tử trong tọa độ địa phương và trong hệ tọa độ tổng thể:

Ma trận độ cứng phần tử trong tọa độ địa phương được thành lập bằng cách

lấy đạo hàm nội lực nút phần tử theo các chuyển vị:

k k kθ

 =   +

      (34) Trong đó

Ma trận độ cứng phần tử dầm-cột đề xuất ở trên có xét đến ảnh hưởng bậc hai

và tác động phi tuyến vật liệu thông qua các hàm ổn định s , s , s đã được hiệu 1p 2p 3pchỉnh theo các hệ số chảy dẻo và các góc xoay ở hai đầu phần tử

25

II.5 Phi tuyến vật liệu

II.5.1 Sự chảy dẻo do tác động của ứng suất dư

Để kể đến tác động của ứng suất dư (ỨSD) trong mặt cắt tiết diện dưới tác

dụng của lực dọc, khái niệm mô-đun tiếp tuyến Et đã được trình bày bởi các tác giả

P >

II.5.2 Sự chảy dẻo do ảnh hưởng của nội lực

Mô-đun tiếp tuyến Et chỉ kể đến ảnh hưởng của lực dọc trong phần tử mà chưa

kể đến ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn Khái niệm đường cường

độ dẻo được đưa ra để kể đến ảnh hưởng đồng thời của lực dọc và mô-men uốn trên

cơ sở nội lực của phần tử Một số đường cường độ dẻo đã được đề xuất bởi các tác

giả như sau:

Orbison [20]

P M P M1.15 3.67 1

dùng hai mặt chảy dẻo đồng dạng cho phép mô phỏng sự chảy dẻo dần dần của đầu

26

mút phần tử thay vì sự chảy dẻo đột ngột của thường thấy trong phân tích khớp dẻo đơn giản Hệ số chảy dẻo e1,2=h( )α = α4 1(− α được xác định theo thông số dẻo )

α, với α là được tính theo độ lớn của lực dọc và mô-men ở hai đầu của cấu kiện

Hình II-4 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Orbison

Hình II-5 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Liew và cộng sự

Hình II-6 Đường cường độ chảy dẻo được đề xuất bởi Balling

Trong phương pháp khớp dẻo hiệu chỉnh, đường cường độ bắt đầu chảy dẻo

(α = 0.5) được xây dựng cùng với đường cường độ chảy dẻo (α = 1) Khi nội lực

phần tử di chuyển bên trong hoặc bên trên đường cường độ bắt đầu chảy dẻo (α ≤

0.5) thì phần tử hoàn toàn đàn hồi (e = 1) Khi nội lực phần tử di chuyển bên 1,2

ngoài đường cường độ bắt đầu chảy dẻo và bên trong đường cường độ chảy dẻo (0.5

< α < 1), phần tử bắt đầu chảy dẻo và hệ số chảy dẻo e giảm dần Khi nội lực 1,2

phần tử di chuyển bên ngoài đường cường độ chảy dẻo (α ≥ 1), phần tử hoàn toàn

chảy dẻo (e = 0) và nội lực phần tử được đưa trở về đường cường độ chảy dẻo 1,2

trong những lần gia tăng tải tiếp theo

Một chương trình ứng dụng được phát triển bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa vào thuật toán giải phi tuyến chiều dài cung (Arc Length Method – AL) kết hợp với thuật toán chuyển vị dư nhỏ nhất (Minimum Residual Displacement Method – MRD) để áp dụng phân tích phi đàn hồi bậc hai cho cấu kiện dầm-cột thép chịu tải trọng tĩnh Dữ liệu đầu vào của các hệ kết cấu dễ dàng được khai báo thông báo thông qua file input.txt nằm ngoài chương trình phân tích Nội dung của thuật toán giải phi tuyến, định dạng file dữ liệu đầu vào và lưu đồ thuật toán sẽ được trình bày ở chương này

III.1 Thuật toán chiều dài cung kết hợp với chuyển vị dư nhỏ nhất

Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư nhỏ nhất (AL-MRD) được Chan và Zhou [6] đề xuất

để giải hệ phương trình phi tuyến

Nội dung cụ thể của thuật toán giải phi tuyến AL-MRD được trình bày như các phương trình bên dưới

Phương trình cân bằng gia tăng của hệ kết cấu được trình bày như sau:

T

u u K − P P

∆ + ∆λ∆ = ∆ + ∆λ∆ (42) Trong đó:

{ }∆P là véc-tơ lực không cân bằng

{ }∆u là véc-tơ gia số chuyển vị

{ }∆P là véc-tơ song song với véc-tơ tải

{ }∆u là véc-tơ chuyển vị kết hợp

∆λ là hệ số điều chỉnh tải

29

Ở bước mỗi bước gia tải thứ i, lấy hệ số gia tải ∆λ theo công thức của i

phương pháp chiều dài cung:

Ở mỗi bước giải lặp thứ j trong mỗi bước gia tải, hệ số điều chỉnh tải ∆λ ( )

được xác định từ điều kiện chuyển vị dư nhỏ nhất:

So với các thuật toán giải phi tuyến truyền thống như thuật toán Euler,

Newton-Raphson hay Newton-Raphson kết hợp với thuật toán điều chỉnh hệ số gia

tải theo công hằng, thuật toán chiều dài cung kết hợp với phương pháp chuyển vị dư

nhỏ nhất (AL-MRD) có tính hiệu quả và tốc độ hội tụ cao trong việc giảm số bước

gia tải và tự dò tìm giá trị tải giới hạn của hệ kết cấu do trong phương trình cân bằng

gia tăng của hệ kết cấu có xét đến hệ số điều chỉnh tải ∆λ cho mỗi bước lặp thứ j ( )

trong từng bước gia tải thứ i Đây cũng là một điểm nổi bật của đề tài nghiên cứu

này

30

III.2 Lưu đồ thuật toán

Hình III-1 Lưu đồ thuật toán của chương trình

III.3 Chương trình phân tích

Một chương trình phân tích được viết bằng ngôn ngữ lập trình MATLAB dựa

vào lưu đồ thuật toán đã trình bày ở trên để phân tích phi tuyến khung thép phẳng

chịu tải trọng tĩnh

Để dễ dàng nhập số liệu đầu vào, một file input.txt được thiết lập riêng ngoài

chương trình, có định dạng như trong Bảng 1:

Bảng 3 Định dạng file input.txt

Khối dữ liệu Cột Biến số Diễn giải

1 nel Số phần tử của hệ kết cấu

2 σy Ứng suất chảy dẻo

4 1 ~ nel Ai Vector tiết diện các phần tử (nel giá trị)

5 1 ~ nel Zi phần tử (nel giá trị) Vector Mô-men kháng dẻo các

Khối dữ liệu Cột Biến số Diễn giải

6 1 ~ nel Ii Vector Mô-men quán tính các

phần tử (nel giá trị)

1 Tọa độ x của các nút

7

2 xycoord Tọa độ y của các nút

1 nodes(1) Điểm đầu của các phần tử

8

2 nodes(2) Điểm cuối của các phần tử

9 1 nres Số điều kiện ràng buộc

10 nres bcdof Các chuyển vị bị ràng buộc

11 1 npointload Số tải tập trung không đổi

12 1 ~ npointload {pointP0} Các vị trí đặt tải tập trung không

đổi

13 1 ~ npointload {P0} Giá trị các tải tập trung không đổi

14 1 npointload1 Số tải tập trung gia tăng

15 1 ~ npointload1 {pointPpush} Các vị trí đặt tải tập trung gia tăng

16 1 ~ npointload1 {Ppush} Giá trị các tải tập trung gia tăng

17 1 ndisload không đổi Số phần tử có tải phân bố đều

18 1 ~ ndisload {ele_disq0} không đổi Các phần tử có tải phân bố đều

19 1 ~ ndisload {q0} Giá trị các tải phân bố đều không

đổi

20 1 ndisload1 Số phần tử có tải phân bố đều gia

tăng

21 1 ~ ndisload1 {ele_disqpush} gia tăng Các phần tử có tải phân bố đều

22 1 ~ ndisload1 {qpush} tăng Giá trị các tải phân bố đều gia

23 1 λmax Hệ số tải lớn nhất

33

Khối dữ liệu Cột Biến số Diễn giải

24 1 icheck Chỉ số chuyển vị cần theo dõi

25 1 Error Sai số cho phép

26 1 ei(min) Giá trị độ hệ số chảy dẻo tối thiểu

27 1 ∆λf0 Bước gia tải ban đầu

28 1 AL Chiều dài cung (arc-length)

Lưu ý:

Để phân tích một hệ kết cấu, ta tiến hành rời rạc hóa kết cấu, đánh số nút, đánh

số phần tử và nhập các thông số cần thiết vào tập tin văn bản “input.txt” theo định

dạng được quy định ở trên Chương trình sẽ đọc tập tin này để nhập liệu

Chương trình phân tích không mặc định trước các hệ đơn vị tính, kết quả phân

tích được xuất ra theo cùng thứ nguyên với dữ liệu đầu vào

34

Chương này trình bày các ví dụ đã được các tác giả khác nghiên cứu và công

bố trước đó trong phân tích phi tuyến khung thép phẳng đàn hồi và phi đàn hồi Kết quả phân tích được so sánh để kiểm tra mức độ chính xác và tính khả thi của phương pháp đề xuất cũng như chương trình ứng dụng được xây dựng bởi tác giả

IV.1 Ví dụ 1 – Cột phi đàn hồi hai đầu khớp chịu tải tập trung

Phân tích phi tuyến được thực hiện cho cột thép phi đàn hồi hai đầu khớp chịu lực nén đúng tâm P tại đầu mút như Hình IV-1

Hình IV-1 Cột thép phi đàn hồi hai đầu khớp chịu lực tập trung

Các thông số về kích thước, tiết diện và vật liệu được cho như sau: Mô-đun đàn hồi E = 200 GPa; Ứng suất chảy dẻo σy = 250 MPa; Cột sử dụng tiết diện W8×31 Lực tập trung P tăng dần đến khi cột phá hoại, chiều dài L của cột được thay đổi để có độ mảnh cột ( ) ( 2 )

C L / ry y/ E

λ = σ π thay đổi tương ứng trong các trường hợp khác nhau từ 0 đến 5 Ví dụ này đã được Ngo-Huu và Kim [16] phân tích vào năm 2009 trong các trường hợp có và không có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện Trong phân tích Ngo-Huu và Kim sử dụng phương pháp khớp thớ có chiều dài khác 0 (cấu kiện được chia làm 3 phần tử: phần tử đàn hồi ở giữa, sử dụng hàm ổn định truyền thống; 2 phần tử khớp thớ ở hai đầu)

Ở ví dụ này, tác giả sử dụng một phần tử đề xuất cho cấu kiện Kết quả đường

cường độ cột được trình bày như trong Bảng 4 và Hình IV-2

Bảng 4 Hệ số tải giới hạn (P/P y ) của cột hai đầu khớp

Kim Tác giả Sai số (%) CRC Ngo-Huu và

Kim Tác giả Sai số (%)

Hình IV-2 Đường cường độ cột hai đầu khớp

Kết quả quan hệ (P / P − λ của cột trùng sát với kết quả của lời giải lý y C)

thuyết Euler, kết quả nghiên cứu của CRC, Ngo-Huu và Kim khi không xét và có xét đến ảnh hưởng của ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện

IV.2 Ví dụ 2 – Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung

Dầm hai đầu ngàm chịu tải tập trung có kích thước và tiết diện như trong Hình IV-3 đã được Liew và cộng sự phân tích vào năm 1992, sau đó Chan và Chui [4] (2000) phân tích lại bằng phương pháp khớp dẻo cứng (Elastic-Plastic Hinge – EPH) và khớp dẻo hiệu chỉnh (Refined Plastic Hinge – RPH) Thông số vật liệu được cho như sau: E = 205 GPa và σy = 235 MPa, Mp = 188.705 kNm Ứng suất dư ban đầu trong cấu kiện lấy theo mô hình ESSC [25] (σ σ =r/ y 0.5)

2 1992 Liew và cộng sự Khớp dẻo hiệu chỉnh 8.91 0.00

3 2000 Chan và Chui Khớp dẻo cứng 8.99 0.90

4 2000 Chan và Chui Khớp dẻo hiệu chỉnh 8.97 0.67

5 2015 Tác giả Khớp dẻo hiệu chỉnh 8.992 0.92

Bảng 5 trình bày kết quả so sánh hệ số tải giới hạn λu với các nghiên cứu trước của Liew và cộng sự, Chan và Chui Sai số của hệ số tải giới hạn của phương pháp

đề xuất là 0.92% Đường quan hệ hệ số tải – chuyển vị của điểm đặt lực so sánh với các kết quả trước đó của Chan và Chui được trình bày như trong Hình IV-4