Phương trình vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ

Mục tiêu: Do tính mới mẻ của lĩnh vực trên nên trong đề tài này chúng tôi muốn xây dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạngkhoảng nhằm ứng dụng cho việ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CÔNG TRÌNH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

S K C0 0 6 5 5 7

Mã SỐ: T2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

Chủ nhiệm đề tài: Th.S Trương Vĩnh An

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ

DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

Mã số: T2018-

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG TRỌNG ĐIỂM

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHOẢNG VỚI TRỄ

DƯỚI ĐẠO HÀM PHÂN THỨ

Mã số: T2018-

Chủ nhiệm đề tài: Th.S Trương Vĩnh An

TP HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018

Mục lục

Danh mục bảng biểu 2

Một số ký hiệu 3

Thông tin kết quả nghiên cứu 4

Mở đầu 8

CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 12

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 13

1.1 Giải tích khoảng 13

1.1.1 Các phép toán 13

1.1.2 Phép tính đạo hàm, tích phân 16

1.1.3 Thứ tự trong không gian mêtric khoảng 21

1.2 Giải tích phân thứ khoảng 23

1.2.1 Phép tính đạo hàm Riemann–Liouville 23

1.2.2 Phép tính đạo hàm Caputo 25

1.2.3 Phép tính đạo hàm Hadamard và Caputo-Hadamard 27

1.3 Một vài kết quả quan trọng trongR 34

Chương 2 Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ 41

2.1 Phương trình vi phân khoảng phân thứ có trễ 42

2.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 43

2.1.2 Phương pháp giải nghiệm 52

2.2 Phương trình vi-tích phân khoảng phân thứ với trễ 58

2.3 Kết luận Chương 2 64

Kết luận 66

Phụ lục 70

Danh mục bảng biểu

Trong báo cáo này ta dùng những hình vẽ với các ý nghĩa xác định dưới đây:

- Hình 1.1-1.5: Biểu diễn dáng điệu tích phân Hadamard, đạo hàm Hadamard

và đạo hàm Caputo-Hadamard của một số hàm khoảng

- Hình 2.1-2.2: Biểu diễn nghiệm của lớp phương trình vi khoảng với trễ dướiđạo hàm phân thứ

Một số kí hiệu

Trong báo cáo này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dướiđây:

DHX Đạo hàm Hukuhara của hàm X

DgHX Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm X

DgHX Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm X

dtm(·) Đạo hàm một bên của hàm một biến thực theo biến t

w(A) Độ rộng của khoảng A thuộc KC(R)

Γ(α) Hàm Gamma

Hiệu Hukuhara

gH Hiệu Hukuhara tổng quát

H[A, B] Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B thuộc KC(R)[A, A] Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trongR

L([a, b],(.)) Không gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên[a, b]

C([a, b],(.)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên[a, b]

AC([a, b],(.)) Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên[a, b]

C1([a, b],(.)) Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên[a, b]

Cσ :=C([a−σ, b],(.)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên[a−σ, b]

N Tập các số tự nhiên

, Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng

(A, B)+ Tích trong của hai khoảng A, B

Thông tin kết quả nghiên cứu

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Phương trình vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ

- Mã số: T2018-

- Chủ nhiệm: Trương Vĩnh An

- Cơ quan chủ trì: Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh

- Thời gian thực hiện: 12 tháng (Từ tháng 12 năm 2017 đến tháng 12 năm2018)

2 Mục tiêu: Do tính mới mẻ của lĩnh vực trên nên trong đề tài này chúng tôi muốn

xây dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạngkhoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn lớp bài toán vi phân khoảngvới đạo hàm phân thứ với trễ Một số ứng dụng thực tế cũng sẽ được xây dựng.Cuối cùng, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để giải lớp bài toán trên cũng

sẽ được nghiên cứu

3 Tính mới và sáng tạo: Ứng dụng của "lý thuyết không chắc chắn" vào phương

trình vi phân với bậc nguyên đã được sử dụng như một công cụ hiệu quả để xem xét

sự không chắc chắn trong những mô hình của thế giới thực Kết hợp hai lĩnh vực:giải tích phân thứ và phương trình vi phân khoảng (phương trình vi phân khôngchắc chắn), ta thu được phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm phân thứ Do

đó, đề tài này đề cập tới những lĩnh vực mới của toán học hiện đại, các kết quả của

đề tài sẽ được xuất bản trên những tạp chí có uy tín

4 Kết quả nghiên cứu:

- Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho một số lớp phương trình viphân khoảng dưới đạo hàm Caputo phân thứ và Caputo-Hadamard phân thứchịu ảnh hưởng của trễ bởi sử dụng định lý ánh xạ co yếu trong một khônggian các hàm khoảng được sắp xếp thứ tự và xấp xỉ dãy trong không gian cáchàm khoảng Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu ban đầu và bậcđạo hàm phân thứ của phương trình cũng được nghiên cứu

- Một kỹ thuật mới được đề xuất để giải nghiệm của phương trình vi phânkhoảng với trễ dưới đạo hàm Caputo phân thứ cũng được đề xuất Một vài ví

dụ minh hoạ cho phương pháp và một ví dụ ứng dụng cũng được trình bày

5 Sản phẩm: 01 bài ISI thuộc nhà xuất bản uy tín Springer và 01 bài ISI thuộc nhà

xuất bản uy tín IOS Press

[1] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, A new technique to solve the initial

val-ued problems for fractional fuzzy delay differential equations, Advances in Difference

Equations, Volume 2017:181 (2017)

[2]Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Hadamard-type fractional calculus for

fuzzy functions and existence theory for fuzzy fractional functional integro-differential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, (Accepted - 2019).

6 Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng: Sản phẩm của đề tài được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các học viên

cao học, nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành toán ứng dụng

(ký, họ và tên) (ký, họ và tên)

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: Interval-valued delay fractional differential equations

- Code number: T2018-

- Coordinator: Truong Vinh An

- Implementing institution: University of Technical Education, Ho Chi MinhCity, Vietnam

- Duration: from June, 2017 to June, 2018

2 Objective(s): Using some recent results of fixed point of weakly contractive

map-pings on the partially ordered space, the existence and uniqueness of solution forinterval fractional delay differential equations (IFDDEs) in the setting of the Ca-puto and Caputo-Hadamard generalized Hukuhara fractional differentiability arestudied The dependence of the solution on the order and the initial condition ofIFDDE is shown A new technique is proposed to find the exact solutions of IFDDE

by using the solutions of interval integer order delay differential equation Finally,some examples are given to illustrate the applications of our results

3 Creativeness and innovativeness: The results of this project are the new fields

of modern mathematical sciences All of the results of the project shall be published

in the prestigious journals in the world They will be contributed to opening upsome new fields in modern mathematics and its applications in various fields

4 Research results: We study the existence and uniqueness properties of solutions

to interval-valued delay fractional differential equations by using the results of fixedpoint of weakly contractive mappings on the partially ordered space We propose anew technique to find exact solutions of the above problem Besides, an example inreal-world is given In addition, the result of the fundamental theory of fuzzy frac-tional calculus in the Caputo-Hadamard setting is also introduced The existenceand uniqueness of solution of the initial value problem for fuzzy functional frac-tional integro-differential equations involving Caputo-Hadamard fractional deriva-tive are investigated

5 Products: 02 paper ISI (Springer)

[1] Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, A new technique to solve the initial

val-ued problems for fractional fuzzy delay differential equations, Advances in Difference

Equations, Volume 2017:181 (2017)

[2]Truong Vinh An, Ho Vu, Ngo Van Hoa, Hadamard-type fractional calculus for

fuzzy functions and existence theory for fuzzy fractional functional integro-differential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems, (Accepted - 2019).

6 Effects, transfer alternatives of reserach results and applicability: These

re-sults shall be contributed to train for the undergraduate and graduate levels

Mở đầu

1 Tổng quan tình hình nghiên cứu: Bắt đầu phát triển từ những năm 1695 cho

đến nay, giải tích phân thứ đã được tổng quát hóa cho việc xây dựng đạo hàm, tíchphân và cuối cùng là phương trình vi phân với bậc không nguyên Phương trình viphân được được hình thành từ những toán tử vi phân với bậc không nguyên đượcgọi là phương trình vi phân phân thứ (Fractional differential equations (FDEs)).Trong vài thập kỷ qua, nghiên cứu tính ứng dụng của giải tích phân thứ và phươngtrình vi phân phân thứ ngày càng được chú ý đến bởi vì bắt nguồn từ những nghiêncứu gần đây trong khoa học và kỹ thuật đã thể hiện rằng động lực của nhiều hệthống có thể được miêu tả một cách chính xác bởi sử dụng phương trình vi phânvới bậc không nguyên Những ứng dụng thành công của phương trình vi phân phânthứ trong những mô hình như: đo lường những tính chất đàn nhớt của vật liệu[21], điều khiển hệ động lực dưới đạo hàm phân thứ [7], xử lý tín hiệu [8] Hiệntại lĩnh vực này đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm, chú ý không chỉ trongnghiên cứu toán học mà còn trong những ngành khác Một trong những công trình

có sự ảnh hưởng rất lớn đến chủ đề của giải tích phân thứ, phương trình vi phânphân thứ và ứng dụng đã được trình bày trong tài liệu chuyên khảo của Podlubny[13] và nhóm tác giả Kilbas [25] Ứng dụng của "lý thuyết không chắc chắn" vàophương trình vi phân với bậc nguyên đã được sử dụng như một công cụ hiệu quả

để xem xét sự không chắc chắn trong những mô hình của thế giới thực Kết hợphai lĩnh vực: giải tích phân thứ và phương trình vi phân khoảng (phương trình viphân không chắc chắn), ta thu được phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàmphân thứ (đạo hàm không nguyên) Gần đây, phương trình vi phân với đạo hàmphân thứ xét dưới giả thuyết không chắc chắn đã thu hút được nhiều nhóm tác giảtrên thế giới trong cả hai lĩnh vực lý thuyết lẫn ứng dụng Trong thời gian gần đây,nhóm tác giả Agarwal [1, 2] đã đề xuất khái niệm của nghiệm cho phương trình viphân phân thứ với giả thuyết không chắc chắn (theo nghĩa mờ) Các tác giả đã xétkhái niệm khả vi Riemann-Liouville dạng mờ dựa vào khả vi Hukuhara để nghiêncứu và giải nghiệm của phương trình vi phân phân thứ dạng mờ Tiếp theo sau đó,nhóm tác giả Arshad và Lupulescu [6] đã nghiên cứu một vài kết quả cho tính chất

tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp phương trình vi phân phân thứ dạng mờ dướikhái niệm khả vi phân thứ Riemann-Liouville bởi sử dụng đạo hàm Hukuhara Bởi

sử dụng khả vi Hukuhara tổng quát nhóm tác giả Allahviranloo [3, 4] đã bước đầutổng quát hóa những khái niệm khả vi bởi việc nghiên cứu và xây dựng khả vi phânthứ Riemann-Liouville và Caputo cho các hàm mờ Sau đó, nhóm tác giả đã chứngminh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho lớp bài toán phương trình vi phân phânthứ dạng mờ Nhóm tác giả Mazandarani [20] đã nghiên cứu nghiệm số cho lớpphương trình vi phân phân thứ dạng mờ dưới khả vi phân thứ Caputo mờ bởi sửdụng phương pháp Euler Dưới khái niệm khả vi phân thứ Caputo mờ, nhóm tácgiả Fard [9] đã mở rộng và thiết lập một vài kết quả về giải tích phân thứ mờ vàcung cấp một vài điều kiện cần để thu được phương trình Euler-Lagrange phân thứdạng mờ cho cả hai bài toán biến phân phân thứ mờ ràng buộc và không ràng buộc.Malinowski [18] đã thiết lập một số khái niệm và kết quả về tích phân phân thứdạng mờ nhằm nghiên cứu phương trình tích phân phân thứ mờ ngẫu nhiên

2 Tính cấp thiết: Phương trình vi phân với trễ đóng một vai trò quan trọng cho sự

phát triển của những mô hình hệ thống trong sinh học, sinh thái học, kỹ thuật, vật

lý và những ngành khoa học khác, đặc biệt khi một hệ động lực được mô hình hóabởi phương trình vi phân mà thông thường chúng ta không thể chắc rằng những môhình này là hoàn chỉnh với những thông tin đầu vào về hệ động lực thường khôngđầy đủ, không chính xác hoặc mơ hồ Để khắc phục điều này, ta thường xét các bàitoán dưới khía cạnh của khoảng (hay còn gọi là không chắc chắn) Điều này dẫnđến việc nghiên cứu các mô hình của hệ động lực dưới phương trình trình vi phânkhoảng Hiện nay, phương trình vi phân khoảng đã và đang được nghiên cứu bởinhiều nhà khoa học và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Nghiên cứunhững dạng phương trình vi phân khoảng tạo nên sự thiết lập thích hợp cho những

mô hình toán của thế giới thực dưới những thông tin không chắc chắn hoặc mơ hồ

Do đó, việc nghiên cứu bài toán vi phân khoảng với trễ dưới đạo hàm phân thứ làthật sự cần thiết Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu tính chất nghiệm cho lớpbài toán trên như tính tồn tại, duy nhất, ổn định, v.v và tìm một số ứng dụng chomột số lớp bài toán Bên cạnh đó, Thuật toán cho các lớp bài toán này cũng đượcnghiên cứu

3 Mục tiêu: Do lĩnh vực trên là mới, nên trong đề tài này chúng tôi muốn xây

dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm của giải tích phân thứ dạng khoảngnhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn các lớp bài toán phương trình vi phânkhoảng Bên cạnh đó, việc đề xuất, phát triển các phương pháp để giải lớp bài toántrên cũng sẽ được nghiên cứu

4 Cách tiếp cận: Chúng tôi đã có một số kết quả khởi đầu trong lĩnh vực này Hiện

nay chúng tôi đang phân tích từ một số kết quả đạt được trên thế giới nhằm để tậptrung nghiên cứu thật sâu về lĩnh vực này.

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Sưu tầm và nghiên cứu sách tài liệu, các bài báo liên quan đã được đăng

- Tổ chức seminar theo nhóm

- Xây dựng và giải quyết mô hình lý thuyết trên

- Giải quyết các vấn đề đặt ra

- Thảo luận kết quả

- Tham gia hội nghị trong nước để được đánh giá về kết quả

- Xây dựng mô hình ứng dụng

- Tính toán, chạy số

- Gửi bài báo đến các tạp chí có uy tín

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về tồn tại và duy nhất nghiệm của mộtlớp phương trình vi phân giá trị khoảng dưới đạo hàm Caputo phân thứ vớichậm và tìm thuật giải cho lớp bài toán này

- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tồn tại, duy nhất nghiệm và thuật giải

7 Nội dung nghiên cứu:

Trong đề tài này, chúng tôi xây dựng, phát triển và tổng quát hóa các khái niệm củagiải tích phân thứ dạng khoảng nhằm ứng dụng cho việc nghiên cứu sâu hơn cáclớp bài toán phương trình vi phân khoảng Bên cạnh, việc phát triển các phươngpháp để giải các lớp bài toán trên cũng sẽ được nghiên cứu Cụ thể,

- Trong Mục 2.1, chúng tôi xét phương trình vi phân khoảng dưới đạo hàm Caputophân thứ với chậm có dạng:

(

(CDα

a +X)(t) = F(t, X(t), Xt), t ∈ [a, b]

X(t) = ϕ(t−a), t ∈ [a−σ, a] (0.1)

trong đó KC(R) là họ các tập compact khác rỗng trong R, α ∈ (0, 1) là bậc của

phương trình vi phân, ϕ là giá trị đầu dạng khoảng của bài toán và CDα

a +X là đạohàm phân thứ khoảng dạng Caputo của quá trình X

Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu lớp bài toán (2.1), chúng tôi sẽ giải quyết một số vấn đề sau:

- Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1) bởi sử dụng định lý ánh xạ

co yếu trong một không gian được sắp xếp thứ tự

- Sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào dữ liệu đầu và bậc của phương trình

Nội dung chính của đề tài được chia làm 2 chương cụ thể như sau,

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả

về giải tích khoảng, giải tích khoảng phân thứ và định lý ánh xạ co yếu trong mộtkhông gian được sắp xếp thứ tự nhằm ứng dụng cho việc chứng minh trong haichương tiếp theo

Chương 2: Phương trình tích phân khoảng phân thứ Trong chương này chúng

tôi trình bày về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phânkhoảng phân thứ với chậm bằng lý thuyết điểm bất động trong một không gianđược sắp xếp thứ tự Thuật giải cho lớp phương trình này cũng được trình bày.Hơn nữa, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi-tích phân khoảng

có trễ với khái niệm đạo hàm phân thứ Caputo-Hadamard bởi sử dụng công cụxấp xỉ dãy và định lý so sánh trong không gian các hàm khoảng cũng được trình bày

CÁC KÝ HIỆU TRONG LUẬN ÁN

CDα

a +X Đạo hàm Caputo bậc phân thứ α ∈ (0, 1) của hàm khoảng X

D+m, D−m Đạo hàm Dini trên và dưới của hàm thực m

DHX Đạo hàm Hukuhara của hàm khoảng X

DgHX Đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh của hàm khoảng X

DgHX Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm khoảng X

gH Hiệu Hukuhara tổng quát

H[A, B] Khoảng cách Hausdorff giữa 2 khoảng A, B

[A, A] Khoảng đóng (gọi tắt là khoảng) trongR

L([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng khả tích Lebesgue trên [a, b]

C([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [a, b]

AC([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục tuyệt đối trên[a, b]

C1([a, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng khả vi liên tục trên[a, b]

C([a−σ, b], KC(R)) Không gian các hàm khoảng liên tục trên [a−σ, b]

N Tập các số tự nhiên

, Thứ tự bé hơn và lớn hơn giữa hai khoảng

(A, B)+ Tích trong của hai khoảng A, B

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết phươngtrình vi phân thường và phương trình vi phân khoảng Các nội dung được sắp xếpnhư sau: Phần 1.1 giới thiệu các kiến thức về giải tích khoảng như: các phép toán,đạo hàm và tích phân của hàm khoảng; Phần 1.2 giới thiệu định nghĩa tích trongcủa hai hàm khoảng và một số tính chất quan trọng của tích trong; Phần 1.3 chúngtôi nhắc lại một số định lý trong lý thuyết phương trình vi phân thường Các chứngminh của định lý, tính chất, , trong luận án này được tìm thấy trong các sáchchuyên khảo như: Moore [22], Neumaier [23], Lakshmikantham và các đồng tácgiả [31, 32], Rudin [27] và một số bài báo như: Markov [19], Lupulescu [16, 17],Stefanini và Bede [30],

(ii) A+0=0+A, 0 ∈ KC(R) là phần tử không củaKC(R),

(iii) A+B = B+A,

(iv) λ(µA) = (λµ)A, với mọi λ, µ∈ R,

(v) 1A= A,

(vi) λ(A+B) = λA+λB, với mọi λ ∈ R,

(vii) (λ+µ)A = λA+µA, với mọi λ , µ∈ R, và λµ ≥0.

Định nghĩa 1.1.1 (Markov [19]) Cho A, B ∈ KC(R) Khoảng cách Hausdorff Hgiữa A và B được định nghĩa như sau:

Định lý 1.1.3. (KC(R), H)là không gian mêtric đầy đủ.

Định nghĩa 1.1.2 (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC(R) Nếu tồn tại mộtkhoảng C ∈ KC(R) sao cho A = B+C thì C được gọi là hiệu Hukuhara của A và

B Ta kí hiệu C = A B.

Tính chất 1.1.4 (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B, C, D∈ KC(R) Ta có

(i) nếu A B, A C tồn tại thì H[A B, A C] = H[B, C];

(ii) nếu A B, C D tồn tại thì H[A B, C D] = H[A+D, B+C];

(iii) nếu A B, A (B+C) tồn tại thì (A B) C tồn tại và (A B) C =

A (B+C);

(iv) nếu A B, A C, C B tồn tại thì (A B) (A C) tồn tại và (A B) (A C) = C B

Định nghĩa 1.1.3 (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC(R) Hiệu Hukuharatổng quát của A và B, kí hiệu A gHB, được định nghĩa như sau:

A gHB =

(

(a) [A−B, A−B], nếu w(A) ≥ w(B)(b) [A−B, A−B], nếu w(A) < w(B) (1.2)

Tính chất 1.1.5 (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B ∈ KC(R), trong đó A = [A, A]

(vi) A gH B = B gH A = C khi và chỉ khi C =0 và A = B.

Tính chất 1.1.6 (Stefanini và Bede [30]) Cho A, B∈ KC(R) Ta có,

H[A, B] = H[A gH B, 0]

Định nghĩa 1.1.4 (Markov [19]) Cho ánh xạ

X : [a, b] → KC(R)

t 7→X(t) = [X(t), X(t)].Nếu X(t)và X(t) là hai hàm thực xác định trên [a, b] thỏa X(t) ≤ X(t), ∀t ∈ [a, b]

thì X(t)được gọi là hàm khoảng

Chú ý 1.1.1 (i) Giới hạn và tính liên tục của hàm X : [a, b] → KC(R) được hiểutheo mêtric H

Ta có(C([a, b], KC(R)), H0) là không gian metric đầy đủ.

Chú ý 1.1.2 Nếu X : [a, b] → KC(R) là một hàm khoảng có độ rộng tăng hoặcgiảm thì hàm khoảng Y(t) = X(t) gHX(a) luôn có độ rộng tăng trên[a, b]

Cho γ ∈ [0, 1) Kí hiệu Cγ([a, b], KC(R)) là không gian của những hàm X :(a, b] →

KC(R) sao cho hàm (· − a)γX(·) ∈ C([a, b], KC(R)) Ta nhận thấy không gian

Cγ([a, b], KC(R)) đầy đủ với mêtric HCγ(X, Y) = X gHY C

Hàm khoảng X : [a, b] → KC(R) được gọi là liên tục tuyệt đối nếu cho bất kỳ

ε > 0, tồn tại số thực δ > 0 sao cho với mọi {(sk, tk); k = 1, 2, , n} của nhữngkhoảng mở rời rạc trong [a, b] với ∑n

Định nghĩa 1.1.5 (Lakshmikantham và các đồng tác giả [31], trang 14) Cho

X : (a, b) → KC(R) và t ∈ (a, b) Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tại t,nếu tồn tại DHX(t) ∈ KC(R) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara

Định nghĩa 1.1.6 (Stefanini và Bede [30]) Cho X : (a, b) → KC(R) và t ∈ (a, b)

Ta nói rằng X có đạo hàm Hukuhara tổng quát mạnh tại t, nếu tồn tại DgHX(t) ∈

KC(R) sao cho

(i) với mọi h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara X(t+h) X(t), X(t) X(t−h) tồntại và

Định nghĩa 1.1.8 (Stefanini và Bede [30]) Cho X : (a, b) → KC(R) và t ∈ (a, b)

Ta nói X có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DgHX(t) ∈ KC(R) saocho

DgHX(t) = lim

h → 0

X(t+h) gH X(t)

Tương tự, đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại t là

D−gHX(t) = lim

h → 0 −

1h



X(t+h) gHX(t)



Chú ý 1.1.3 (i) Đạo hàm Hukuhara tổng quát của X tại t tồn tại khi và chỉ khi đạo

hàm Hukuhara tổng quát trái và đạo hàm Hukuhara tổng quát phải tại t tồn tại và

bằng nhau.

(ii) Hàm X có đạo hàm Hukuhara tổng quát trên [a, b] nếu X có đạo hàm Hukuhara

tổng quát tại mọi điểmt ∈ (a, b), đạo hàm Hukuhara tổng quát trái tại b và đạo hàm

Hukuhara tổng quát phải tại a.

Định lý 1.1.8 (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [a, b] → KC(R) Nếu X(t) và X(t)

có đạo hàm tại t ∈ [a, b] thì hàm X(t) có đạo hàm Hukuhara tổng quát tạit ∈ [a, b]

và

DgHX(t) =

min d

dtX(t),

d

dtX(t)

, max d

Định nghĩa 1.1.9 (Stefanini và Bede [30]) Cho X : [a, b] → KC(R) Ta nói hàm X

có đạo hàm loại 1 tại t, nếu

Để thuận tiện, ta ký hiệu đạo hàm Hukuhara loại 1 là (i)− khả vi, loại 2 là (ii)−

khả vi

Định nghĩa 1.1.10 Cho X : [a, b] →KC(R), trong đó X(t) = [X(t), X(t)], t ∈ [a, b]

Ta nói rằng hàm X là w-tăng (hoặc w-giảm) trên[a, b] nếu hàm thực t 7→ w(X(t))

không giảm (hoặc không tăng) trên [a, b], viết ngắn gọn là X tăng (hoặc X giảm)

w-Nếu hàm X w-tăng hoặc w-giảm trên [a, b]thì ta nói hàm X w-đơn điệu trên [a, b]

Tính chất 1.1.9 (Stefanini và Bede [30], Lupulescu [17]) Cho X : [a, b] → KC(R),trong đó X(t) = [X(t), X(t)] với t ∈ [a, b] Nếu X w-đơn điệu và có đạo hàmHukuhara tổng quát trên [a, b] thì d

dtX(t) và

d

dtX(t) tồn tại với mọi t ∈ [a, b] Hơnnữa, ta có:

(i) DgHX(t) =  d

dtX(t),

d

dtX(t) nếu hàm X w-tăng,(ii) DgHX(t) =  d

dtX(t),

d

dtX(t)

nếu hàm X w-giảm

Chú ý 1.1.4 Cho X : [a, b] → KC(R) và các đạo hàm một phía d±

dtX(τ),

d±

dtX(τ)

tồn tại hữu hạn với τ ∈ (a, b).

Nếu X w-tăng trên [a, τ] và w-giảm trên [τ, b]thì

Nếu X w-giảm trên [a, τ]và w-tăng trên [τ, b]thì

Đạo hàm Hukuhara tổng quát tại τ tồn tại khi và chỉ khi D−gHX(τ) = D+gHX(τ), tức là

DgHY(t) =

(

[−2t, 2] nếu t ∈ [0, 1)[2, 2t] nếu t ∈ (1, 2]

Cho X : [a, b] → KC(R), trong đó X(t) = [X(t), X(t)] với t ∈ [a, b] Tích phân củahàm khoảng X trên[a, b]được định nghĩa như sau (xem Markov [19]):

Tính chất 1.1.12 (Stefanini và Bede [30]) Cho X ∈ C([a, b], KC(R)) Khi đó,

Do đó, Tính chất 1.1.15 không đúng với mọi t ∈ [0, 1].

1.1.3 Thứ tự trong không gian mêtric khoảng

Các khái niệm về thứ tự trong không gian các hàm khoảng và một số tính chất liênquan đến không gian thứ tự khoảng được trình bày trong [24]

Định nghĩa 1.1.11 Cho X, Y ∈ KC(R), với X = [X, X], Y = [Y, Y] Ta nói X  Yhoặc Y  X nếu X ≤Y và X ≤Y

(viii) nếu hiệu Hukuhara X Z và Y Z tồn tại thì X Y ⇔ X Z Y Z,

(ix) nếu hiệu HukuharaX Y và X Z tồn tại thì Y  Z ⇔ X Y  X Z,

(x) nếu X  Y  Z thì H[X, Y] ≤ H[X, Z]và H[Y, Z] ≤ H[X, Z]

Ta nói{Xk} ⊆ KC(R) là dãy không giảm nếu Xk  Xk+1 với mọi k ∈ N Tương tự,

{Yk} ⊆ KC(R) là dãy không tăng nếu Yk+1  Yk với mọi k ∈ N Ta có một số tính

(ii) Nếu (X)n∈N ⊂ C([a, b], KC(R)) là một dãy không giảm sao cho Xn → Xtrong C([a, b], KC(R)) thì Xn  X với mọi n∈ N.

(iii) Mỗi cặp phần tử trong C([a, b], KC(R)) đều có chặn trên và chặn dưới

1.2 Giải tích phân thứ khoảng

Trước khi trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích phân thứ khoảng, ta nhắc lạimột số khái niệm và kết quả cơ bản về đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville vàCaputo (xem Kilbas cùng các cộng sự [13], Samko cùng các cộng sự [28]) Giả sử

x ∈ L[a, b] (không gian các hàm thực khả tích Lebesgue và bị chặn trên[a, b]) Tích

phân phân thứ Riemann–Liouville với bậc không nguyên α∈ (0, 1)của hàm thực xđược định nghĩa như sau

Z t a

(t−s)−αx(s)ds (1.6)Nếu x ∈ L[a, b] là hàm thực sao cho Dα

a +x tồn tại trên [a, b] thì đạo hàm phân thứCaputo CDα

a +x với bậc α ∈ (0, 1) được định nghĩa như sau (xem Samko cùng cáccộng sự [28]):

(CDα

a +x)(t) = (Dα

a + [x(·) −x(a)])(t) (1.7)Cho AC[a, b] là không gian các hàm thực liên tục tuyệt đối trên [a, b] Nếu x ∈

(t−s)−α d

dsx(s)ds, (1.8)và

Dα

a +x
(t) = CDα

a +x(t) + (t−a)−α

Γ(1−α)x(a) (1.9)Hơn nữa, ta có

chặn trên[a, b] Cho hàm khoảng X = [X(t), X(t)] ∈ L([a, b], KC(R)) và α ∈ (0, 1).Tích phân phân thứ Riemann–Liouville của hàm X được định nghĩa:

Chú ý 1.2.2 ([17, Định lý 4]) Giả sử X, Y ∈ AC([a, b], KC(R)) và w-đơn điệu trên

[a, b] Ta có các tính chất sau thoả mãn với α ∈ (0, 1):

(i) Nếu X1−α và Y1−α cùng kiểu w-đơn điệu trên [a, b] thì

Hệ quả 1.2.2 [33] Cho X ∈ L([a, b], KC(R)) thoả mãn X1−α ∈ AC([a, b], KC(R)).Nếu d

a +X, α ∈ (0, 1), tồn tại trên[a, b] Khi đó, đạo hàm phân thứ

Caputo của hàm khoảng X với α∈ (0, 1) được định nghĩa

Chứng minh Vì X ∈ AC([a, b], KC(R)) nên t 7→ I1−α

a + X(t) và t 7→ I1−α

a + X(t)liên tụctuyệt đối trên[a, b] Suy ra, X1−α ∈ AC([a, b], KC(R)) và DgH(X1−α)(t)tồn tại trên

RLDα

a +X(t) =  Dα

a +X
(t), Dα

a +X
(t) , t ∈ [a, b] (1.19)Mặt khác, từ (1.9) ta được

1.2.3 Phép tính đạo hàm Hadamard và Caputo-Hadamard

Định nghĩa 1.2.1 Cho X ∈ L([a, b], KC(R)) Tích phân phân thứ Hadamard α > 0của hàm khoảng X được định nghĩa:

a +(X+Y)(t) = H=α

a +X(t) +H=α

a +Y(t), với t ∈ [a, b];(iii) w(H=α

Định nghĩa 1.2.2 Đạo hàm phân thứ Hadamard tổng quát với α ∈ (0, 1) của hàmkhoảng X được định nghĩa



HDα

a +X(t) :=tDgHH=1−α

a + X(t), t ∈ [a, b],nếu DgHH=1−α

a + u(t)tồn tại với t ∈ [a, b].Khẳng định sau đây có thể được suy ra từ Chú ý 4 trong [35]

Chú ý 1.2.9 Giả sử X, Y ∈ AC([a, b], KC(R)) có w-monotone trên [a, b] Ta có cáctính chất sau thỏa mãn:

Khẳng định sau có thể được suy ra từ Chú ý 3 trong [35] và Định lý 2.4 trong [29].

a + X(t) thỏa mãn w-giảm trên [a, b] thì ta được (HDα

(HDα

1 +X)(t) = (ln t)1−α

Γ(2−α)[1, 3].Tương tự, vì H=1−α

1 + Y(t) có w-giảm trên (1, 2) (xem Hình 1.2) và từ Chú ý

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

t 0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



HDα

a + H=βa+X(t) = H=(aβ+−α)X(t), t ∈ (a, b] (1.27)

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2

t -150

-100 -50 0 50 100

Hình 1.3: Đạo hàm phân thứ của Y với bậc α= 0.75

Chứng minh Lấy t ∈ (a, b], sử dụng công thức Dirichlet và đặt x = (ln τ −

Do đó (1.26) thỏa mãn Chứng minh của (1.27) được thực hiện tương tự:

Định nghĩa 1.2.3 Cho X ∈ L([a, b], KC(R)) sao cho HDα

a +X tồn tại trên [a, b] Đạo

hàm Caputo-Hadamard với bậc α ∈ (0, 1) của X được định nghĩa



C − HDα

a +X(t):=HDα

a + X(·) gH X(a)(t), t ∈ [a, b].Mối liên hệ giữa đạo hàm Hadamard và đạo hàm Caputo-Hadamard của nhữnghàm khoảng được phát biểu dưới định lý sau

Định lý 1.2.5 Nếu X ∈ AC([a, b], KC(R)) thỏa mãn w-đơn điệu và α ∈ (0, 1), thì

a +ψ
(t) và HDα

a +ψ(t) là đạo hàm Caputo-Hadamard và đạo hàm

Hadamard của hàm thực ψ(t) Hơn nữa, đạo hàm Caputo-Hadamard của hàm thực

ψ(t) được định nghĩa bởi:

Nếu X có w-tăng trên[a, b]hoặc X có w-giãm [a, b]và (H=1−α

Định lý 1.2.6 Cho X ∈ AC([a, b], KC(R)) Nếu X có w−đơn điệu, trong đó X(t) =[X(r), X(r)], t∈ [a, b], thì với α ∈ (0, 1) ta có

1.3 Một vài kết quả quan trọng trong R

Định lý 1.3.1 (Ang [5], trang 27) Cho dãy hàm fn : R → R tăng, khả tích trên R.

Nếu dãy các tích phân