Bài Hình lớp 9: Trí Chính viết lại theo sự giúp đỡ của Thầy Cô Nguyễn Thanh Toàn dựa vào Định lý Menelaus mà học sinh không chuyên vẫn đọc hiểu được Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn AB HO [r]
Trang 1Bài Hình lớp 9: Trí Chính viết lại theo sự giúp đỡ của Thầy Cô Nguyễn Thanh Toàn dựa vào Định
lý Menelaus mà học sinh không chuyên vẫn đọc hiểu được
Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) có 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H (H thuộc BC, E
thuộc AC, F thuộc AB)
a/.CM: Tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn Xác định tâm O của đường tròn này
b/.CM: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
c/.Đường thẳng vuông góc với HO tại O cắt các đường thẳng AB,AC,AD lần lượt tại V,T,I CM: I là trung điểm của đoạn thẳng VT
d/.Hai đường thẳng EF, BC cắt nhau tại K, FD cắt EB tại M, ED cắt FC tại N CM: 3 điểm K,M,N thẳng hàng
c\ Từ C kẻ đường thẳng song song VT cắt AD tại P cắt FV tại Q vì HO VT => HO CP và CO HP =>
O là trực tâm tam giác CHP => PO CH mà VF CH => PO //FV do O là trung điểm của BC => PO là đường trung bình tam giác CBQ => P là trung điểm của CQ Áp dụng bổ đề hình thang có I là trung điểm của VT
d/.Hai đường thẳng EF, BC cắt nhau tại K, FD cắt EB tại M, ED cắt FC tại N CM: 3 điểm K,M,N thẳng hàng
P
Trang 2Có FN là phân giác của EFD.
Suy ra
ND FD
NE FE
Có EM là phân giác của FED.
Suy ra
MF EF
MD ED
Gọi T là giao điểm của tia DA
và EF Có DA là phân giác của
FDE, Có KD DA Suy ra
KD là phân giác ngoài của
FDE Suy ra KE DE KF DF
Suy ra
1
ND KE MF FD DE EF
NE KF MD FE DF ED (1)
Gọi K’ là giao điểm của MN và EF
Qua F vẽ FQ//ED, Q K N ' Có
' '
K E EN
K F FQ , Có DN FQ DM FM ,
Có
'
ND K E MF ND EN QF
NE K F MD NE FQ ND (2)
Từ (1) và (2) Suy ra
' '
KE K E
KF K F Suy ra K K ' Vậy K,M,N thẳng hàng
d/ Áp dụng định lý melenauyt cho các tam giác:
tam giác AED cát tuyến HNC HAHD ND
NE .
CE
CA=1 tam giác: AFE cát tuyến KBC: KE
KF .
BF
BA .
CA
CE =1 tam giác: AFD cát tuyến BMH: BABF MF
MD
HD
HA=1 nhân theo vế được:
ND
NE .
KE
KF .
MF
MD=1 suy ra K,
M, N thẳng hàng
N