Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sa[r]
Trang 1CHƯƠNG VI
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 2
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn 2
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian 2
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian: 2
2 Góc và cung lượng giác 2
b) Khái niệm góc, cung lượng giác và số đo của chúng 2
c) Hệ thức Sa-lơ 2
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 3
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 3
1 Phương pháp giải 3
2 Các ví dụ minh họa 3
3 Bài tập luyện tập 7
Trang 2CHƯƠNG VI
CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
§1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1 Đơn vị đo góc và cung tròn, độ dài cung tròn
a) Đơn vị rađian: Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung có số đo 1 rađian, gọi
tắt là cung 1 rađian Góc ở tâm chắn cung 1 rađian gọi là góc có số đo 1 rađian, gọi tắt là góc 1 rađian
1 rađian còn viết tắt là 1 rad
Vì tính thông dụng của đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số
đo của cung và góc
b) Độ dài cung tròn Quan hệ giữa độ và rađian:
Cung tròn bán kính R có số đo a(0£ £a 2p)
, có số đo 0 ( )
a £ £a
và có độ dài là l thì:
180
a
a
do đó 180
a a
p=
Đặc biệt:
0 0
180
180
p
æ ö÷ ç
=çç ÷÷÷ =
Trang 32 Góc và cung lượng giác.
Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu khối 11 ”
Gửi đến số điện thoại
2.360 =720 (hay 4p ), quay theo chiều âm một phần tư vòng ta nói nó quay
góc - 900(hay 2
p
-), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy(
25
7 vòng) thì nói
nó quay góc
0
25 360 7
(hay
50 7
p
-)…
Ta coi số đo của góc lượng giác (Ou Ov, )
là số đo của cung lượng giác UV
þ
c) Hệ thức Sa-lơ.
Với ba tia Ou Ov, ,Ow tùy ý ta có:
Sđ(Ou Ov +, )
Sđ(Ov Ow =, )
Sđ(Ou Ow, )+k2p(kÎ Z)
Sđ(Ou Ov -, )
Sđ(Ou Ow =, )
Sđ(Ow Ov, )+k2p(kÎ Z)
Với ba điểm tùy ý , ,U V W trên đường tròn định hướng ta có :
SđUV +
þ
Sđ VW =
þ
SđUWþ +k2p(kÎ Z)
SđUV
-þ
SđUW =
þ
SđWVþ +k2p(kÎ Z)
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1 : XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC
LƯỢNG GIÁC.
1 Phương pháp giải
Ngoài việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, công thức tính độ dài cung tròn khi biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Trang 4Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a (hay rad0 a ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a0+k3600 (hay a+k2p rad
, kÎ Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k Từ đó hai góc lượng
giác có cùng tia đầu và tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p
2 Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc 72 ra rađian:.0
A.
2
5
p
B
3 5
p
C
2 3
p
D
4 5
p
b) Đổi số đo của các góc 600 ra rađian:.0
A.
10
3
p
B
11 3
p
C
10 7
p
D
14 3
p
c) Đổi số đo của các góc - 37 45' 30''0 ra rađian:.
d) Đổi số đo của góc
5 18
p
sau ra độ:
e) Đổi số đo của góc
3 5
p
sau ra độ:
f) Đổi số đo của góc - 4sau ra độ:.
A - 2260 48'0 B 0
220 48'
226 48'
260 48'
-Lời giải:
Trang 5a) Vì
0
1
180rad
p
=
nên
p
- =- - çç ÷÷÷- çç ÷÷÷=çç ÷÷÷= »
b) Vì
0
180
1rad
p
æ ö÷
ç
=çç ÷÷÷
è ø nên
=çç ÷÷÷= =çç ÷÷÷=
0
- =- çç ÷÷÷=- çç ÷÷÷»
Ví dụ 2: Một đường tròn có bán kính 36m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a)
3
4
p
b) 510
c)
1
3
Lời giải:
Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có 180.
a
a
nên
a) Ta có
3
4
l=R a= p= p» m
b) Ta có
a
Trang 6c) Ta có
1
36 12 3
l=R a= = m
Ví dụ 3: Cho hình vuông A A A A nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp 0 1 2 4
theo chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ) Tính số đo của các cung lượng giác
0 i
A A
þ
, A A i j
þ
( ,i j=0,1, 2, 3, 4,i¹ j
)
Lời giải:
Ta có ·
A OA = nên sđ A A0þ 0=k p2
, kÎ Z
·
2
A OA p
=
nên sđA A0 1 2 k2
p p
= +
þ
, kÎ Z
·
A OA =p nên sđA A0þ 1= +p k2p, kÎ Z
·
2
A OA =p
nên sđ 0 3
3
A Aþ = p- p+k p= p+k p
, kÎ Z
i
A Aþ = p+k p
, i =0,1, 2, 3, kÎ Z
Theo hệ thức salơ ta có sđA A i j
þ
=sđA A0 j
þ
- sđA A0 i
þ
2
k p
2
j i p k
p
, kÎ Z.
Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou Ov, )
với 0£ £a 2p, biết một góc lượng
giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a)
33
4
p
A 4
p
B
3 4
p
C
11 4
p
D
7 4
p
O
A0
A1
Trang 7b)
291983
3
p
-A 3
p
B 5
p
C 7
p
D 6
p
c) 30
Lời giải:
a) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, )
có số đo là
33
2 ,
p+ p Î
Vì 0£ £a 2p nên
=-Suy ra 33 ( )4 2
a= + - p=
b) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, )
có số đo là
291983
2 ,
Vì 0£ £a 2p nên
p
,
Suy ra
291983
48664.2
c) Mọi góc lượng giác (Ou Ov, )
có số đo là 30+k2 ,p kÎ Z
Vì 0£ £a 2p nên
15
p
Trang 815 15
=-Suy ra a=30+ -( )4 2p=30 8- p» 4,867
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou Ov, )
có số đo 7
p
- Trong các số
-, những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu-, tia cuối với góc đã cho?
A
;
-B
;
p
-C
22 41
;
p
-D
;
Lời giải:
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau một bội của 2p do đó
Vì
( )
29
2 2
p æ öç p÷ p
- - -çç ÷÷÷=
22
3
æ ö÷ ç
- - -çç ÷÷÷
6
p- -æ öç p÷=p
è ø và
41
3.2
p- -æ öç p÷= p
nên các số
;
là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc
đã cho
Ví dụ 6: Cho sđ(Ou Ov, )=a
và sđ(Ou Ov', ')=b
Chứng minh rằng hai góc hình học , ' '
uOv u Ov bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b a- =k2p hoặc b a+ =k2p với kÎ Z.
Lời giải:
Ta có sđ(Ou Ov, )=a
và sđ(Ou Ov', ')=b
suy ra tồn tại a p a0, < 0£ p, f0,p b< 0 £p
và số nguyên k l sao cho 0, 0 a= +a0 k02 ,p b b= 0+l02p
Khi đó a0
là số đo của ·
uOv và b0
là số đo của ·' '
u Ov
Hai góc hình học uOv u Ov bằng nhau khi và chỉ khi , ' '
é = ê
= Û ê =-ë
Trang 9Û b a- =k2p hoặc b a+ =k2p với kÎ Z.
3 Bài tập luyện tập.
Bài 6.0: a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 20 ( chính xác đến 0,001 )0
a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: 40 25' ( chính xác đến 0,001 )0
a) Đổi số đo của góc sau ra rađian: - 270.( chính xác đến 0,001 )
A 0, 471- B 0, 477- C 0, 432- D 0, 472
-b) Đổi số đo của góc sau ra độ: 17
p
A 10 35' 58''0 B 10 3' 58''0 C 10 6' 58''0 D 10 35'8''0
b) Đổi số đo của góc sau ra độ:
2 7
p
-
A - 51 24'7 ''0 B - 5 24'9''0 C - 51 4' 9''0 D - 51 24' 9''0
b) Đổi số đo của góc sau ra độ: 5-
A - 286 28' 4''0 B - 286 2' 44''0 C - 28 28' 44''0 D - 286 28' 44''0
Lời giải:
Bài 6.0: a) 200 » 0, 349, 40 25'0 » 0,705, - 270» - 0, 471
b)
10 35' 58'', 51 24' 9'', 5 286 28' 44''
=-Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo
39 7
p
và 9
mp ( m là số nguyên ) có thể cùng tia đầu,
tia cuối được không?
Trang 10A.Không B.Có C Có thể có D A, B, C đều sai
Lời giải:
Bài 6.1: Giả sử hai góc có cùng tia đầu, tia cuối khi đó
39
2
m
k
p- p= p
, kÎ Z
7
m- = k Û m- k = Û m- k=
với ,k m ZÎ .
Vì vế trái là một số nguyên, vế phải là số thập phân nên dẫn tới vô lí
Vậy hai góc lương giác
39 7
p
và 9
mp ( m là số nguyên ) không thể cùng tia đầu, tia cuối.
Bài 6.2: Một đường tròn có bán kính 25m Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có
số đo là
a)
3
7
p
b) 490
c)
4
3
Lời giải:
Bài 6.2: a) Ta có
3
7
a
b) Ta có
49
a
Trang 11c) Ta có
4
25 33, 333 3
l=R a= » m
Bài 6.3: Tìm số đo a của góc lượng giác 0 (Ou Ov, )
với 0£ £a 360, biết một góc lượng giác cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a) 3950
b) - 10520
c) ( )0
20p
A ( )0
31p
B ( )0
25p
C ( )0
29p
D ( )0
20p
Lời giải:
20p