Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng trên không có điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 3x + 5y = 7.. Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại
Trang 1Đề & Hướng dẫn giải
thi Học sinh giỏi Toán Bảng A Lớp 9 Thành phố Hải Phòng Năm 2004-2005
Bài 1 : (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức : P = _ , Nx-y? tT- :
Bai 2 : (3,0 diém)
a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là
nghiệm của phương trình bậc hai (m — 2)x* — 2(m — 1)x + m = 0 Hãy xác định giá trị của m để số đo đường cao ứng với cạnh
2 huyền cda tam giéc la
b) Vẽ các đường thẳng x = 6 ; x = 42 ; y = 2 : y = 17 trên cùng
một hệ trục tọa độ Chứng minh rằng trong hình chữ nhật giới
hạn bởi các đường thẳng trên không có điểm nguyên nào thuộc đường thẳng 3x + 5y = 7
(Điểm M(x, y) được gọi là điểm nguyên nếu x, y cùng là số nguyên)
Bài 3 : (2,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện AD cắt BC tại E và
AB cắt CD tại F Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ
giác ABCD nội tiếp được đường tròn là : EA.ED + FA.FB = EF?2
Cho tam giác ABC cân ở A, AB = BC, đường cao AE
Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AC tại F a) Chứng minh rằng BF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ECF
b) Gọi M là giao điểm của BF với đường tròn (O) Chứng minh
rằng BMOC là tứ giác nội tiếp
5 : (0,5 điểm)
Mỗi điểm của mặt phẳng được gắn với một trong hai màu :
xanh hoặc trắng Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều, với cạnh bằng 1 hoặc x3 (đơn vị dài), có ba đỉnh cùng màu
b) Giải phương trình :
Trang 2
Bang A:
Bài 4 - 3) Với điều Kiên xe 8y £ 6ó x ý y Đa có:
„X3? vix-y? lŸ 7) My x-y : xy
Xét hai khả năng xy > 0 và xy < 0 ta đều dan dén két qua P = 1
b) Với điều kiện 0 < x < 4, quy đồng mẫu thức rổ khử mẫu ta đưa phương trình về
dạng: V(2+ vx} + V(2- vx}? « 32x c> (2+ vX}Ê +{2- vX} + 2/4 —x)) s 18x
la we '3x-8>0
+ 44 x) + 3x -§ «>2 ¬ ;
i{4- x}” = (3x - 8?
8
>=
<> 3 « x = 3 thỏa mãn điều kiên ban đấu
x3 ~3x2 =
Bài 2 : a) Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vưông là nghiệm của phương
trình bậc hai (m ~ 2)x* ~ 2m 1)x + m = 0 nên hai nghiệm của phương trình này phải
đương, do vậy ta có mz2;A20;P.=xy+x,>0;: S=x¿„xX >0,
Suy ra m < ÔÖ hoặc m > 2
Án dụng hệ thức lượng trong tam giác vuồng ta có :
thỏa mẩn
+
+ ——
x
- , từ đồ m z 4
oN _
4 ha
f-Öy b) Ta 06 3x + 5y =7 suy ra xe C TỶ „2-2y+ 2 3
Ta thay x, ý nguyên «2 y + 1 chia h&t cho 3
Đặt y + 1 = 3k & /à số nguyên), suy ra y = 3k - 1 = x = 4 - 5k
<k<6
Do 6 < x< 42 vá 2 <y < 17 suy ra { 38 ox 2 <=> không tồn tại k, bài toản được
«< ———~
t chứng minh
Bài 3 :
a) Điều kiện cần ; Nếu tứ giác ABCO nội tiếp thì CBA = ADF (cing bi voi ADC)
V8 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE, cắt EF tại điểm thứ hại M, tạ có CBA = AME {cung bu véi EBA), Suy ra ADF = AME => tứ giác MADF nội tiếp
>> AEMA «¿: AEDF và AFAM c› AFEB ~› EA.ED = EM.EF va FA.FB = FM.EF
Trang 3
+» EA,ED «+ FA.FB + EM.EF + FM.EF
= (EM + FM).EF = EF?
b) Điều kiện đủ : Nếu EA.ED + FA.FB = EF* vé
các đường tròn ngoai tiếp các tam giác ABE và DAF,
giả sử chúng cắt EF lần tượt tại M, N Ta sẽ chứng
mink M4 trùng với N
s6 | EAED = ENEF
suy ra EA.ED + FA.FB « EF2 = EN.EF + FM.FE = EF(EN + FM) => EN + FM = EF => Mai N
Từ đó ta có ; EMA = ABC (cùng bù với ABE) ; EMA = ADF (cùng bù với AMF) suy ra
ADF = ABC => ABC + ADC + 1802 hay tứ giác ABCD nội tiếp
Bai 4: Dat BC = Ga,
Vì nén BE = EC = CF =3a;
AB -: AC = 4a ; AF - AC - CF - a
Đã thấy OECF là tứ giác nội tiếp Để chứng
Ta
tỏ BF là tiếp tuyến của đưởng tròn ngoại tiếp M
tứ giác đỏ, ta phải chứng minh BF? : BE.BC ẳ
Ta có BE.BC - 3a.6a - †6a2, {1}
Kẻ FH vuông góc với 8C, ta od FH // AE, suy ra CH oF LS => CH = *CE-~ Sa
9 BH=BC~CH=6a~"a= a Vi BF? ~ BH® = FH? = CF? ~ CH? suy ra
Tu (1) va (2} suy ra BF* = BE.BC
Bài 5 : Xem Auting dén gidi bai 3, trang 9, TTT2 s6 32 (chuyền mục Nhìn ra thé giới)
Bang B:
Bài 1: b) Giải phương trình viS—2v6)" ~ (5 + 2V6)* =
Dat u = J(6~—2x/6)* z0;v = v(6+2v6)X +0 SU ra :
fuevo10 |u»s5: -2N6 u =5 +26
2 en - (5-28)?
J6 -26)X ~ v8 -2J8}2 = V5 -2v6)ˆ8
Trang 4
Bài 2 : bj Ta tim tất cả các giả trị của y để phương trình sau có nghiệm đối với ẩn x :
—— +2 yx? -4x+vw~ 3= O
x" 474
Nếu y œ 0, phương trình trên c6 nghiém x = Tả:
Nếu y z 0, phương trình là phương trình bậc hai, có nghiệm khi và chỉ khi :
(az0 ƒyzQ fy #0 yee Pee eg [4 sy <0
* c> “34 + s2 ‹ 3° 25 o>4 3) 9 C?>i
lÁy 20 4 ~ Y(y -3) >0 ly ~3y <4 lv 5] sr ! Y- 2: % 2 10 <y <4
Vậy tập giá tri của y là Í~1 ; 4] nên giá trị nhổ nhất cha y lA —-4 va gid tj Han nhất của
y là 4
Cc Bài 3 : a) Dé thấy tam giác OAB vuông cân tại ©
nén OAB = OBA = 45° va O thudc đườngtròn đường
kính AB Như vậy OMAB ià tứ giác nội tiếp, suy ra
OMC «= GBA «ACB =45° => OM | CN Tung ti
tạ có ON ¡ CM Suy ra O 1 truc tam cua tam giac
CMN, suy ra ỌC | MN
b) Các bạn hãy chứng mính OMBN là hình thang
can, suy ra MN = OB, suy ra YZ MN = AB
Bài 4 : Ta sẽ chứng mình AD? + AM.AF
Thật vậy : AAED ‹2 ACDF (g.g)
AE CŨ SS YE on EY ito AC = AD = CD AE CA
=> AAEC «> ACAF (c.g.c} => ACE = CFA
=> AACM © AAFC (g.g)
=> on = 2 => AC* = AMAF = AD? =AMAF
2 đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp
AMDF (đpcm)
Trang 5
Bai 1 = (2.0 diém)
a) RGt gon biéu thttc : P = vx°y” + Vx — y)? {= Lae }
b) Giải phương trình : (Ss — 2V/6)* + V4 +2VJ/6)* =10
Bai 2 : (3.0 diém)
a) SỐ do hai canh géc vuGng cia ms6t tam giac vudéng là
nghiém cia phucng trinh bac hai (m — 2)x* — 2(m — 1)x + m = Oo Hay xAac dinh gia tri cGa m dé s6& do duGngcac Ứng vỚi canh
huyén cia tam giac fa Fz:
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức - y —= “X*3
x^.+1
Bai 3 : (2.5 diém)
Cho tam gia&c ABC n6i tiép Guoeng tròn tam C©, có C = 45° Đường tròn đường kính AB cat cac canh AC va BC lền lượt Ởở
M va N
a) Chtmg minh MN vu6éng géc với CC
b) Chtmg minh 2 -MN = AB
Bai 4 : (2.0 diém)
không cắt hình thoi, mnhnrfng cết các đường thẳng AE, EC lần lượt tại E và F Goi M là giao điểm của AE và CE Chứng rninh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF Bai 5 - (0.5 diém)
M3&i diém cia mat phAang ducc ga&n vGi MSt trong hai mau - xanh hoac trang Chtmg minh rằng tổn tại rnỘt tarr giác déu, vGi canh bang 1 hoac V3 (Gon vi dai) có ba Ginh cing mau
Đề thi HSG Hải Phòng lớp 9 Bang B nam 2004-2005