Tai lieu boi duong hoc sinh gioi Chuyen de 10 So phuc va ung dung Le Hoanh Pho

Bài toán 10.31: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a z là các căn bậc hai của a  i, a thay đổi b.. Vậy tập hợp các điểm [r]

Trang 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu

ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

- Số phức (dạng đại số): z a bi a b , ¡  a là phần thực, b là phần ảo của z Kí hiệu Re za, lm zb

- Số phức liên hiệp của số phức: z a bi a b, , ¡  là z a bi

Trang 2

- Cho số phức: z a bi với a b, ¡ ,z0, ta có rcosisin  với r0 là dạng lượng giác của số

 là một acgumen của z với số đo rađian

Góc lượng giác Ox OM,   k2 tức là các acgumen sai khác k2 với k

Khi z0 không có dạng lượng giác hoặc dạng lượng giác không xác định

- Nếu zrcosisin , 'z r' cos '  isin '  thì có:

Với n là số nguyên, n1 thì rcosisin  n r ncosnisinn 

Đặc biệt: cosisin n cosnisinn

Căn bậc hai, bậc n của số phức

- Số phức z là một căn bậc hai của số phức wz2 w

Ta có thể viết số phức w cần tìm thành dạng bình phương đủ, việc này thu gọn quá trình tìm căn bậc hai của w

- Số phức z là một căn bậc n của số phức wz n w

Đặc biệt căn của đơn vị: cosisin n 1

2cosn isinn cos 0 isin 0 k ,k 0,1, 2, ,n 1

Trang 3

i trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng phức Trục thực là trục

hoành và trục ảo là trục tung

- Nếu z z, ' biểu diễn bởi M M, ' thì zz' được biểu diễn bởi OMuuuurOM zuuuur', z' được biểu diễn bởi

OMuuuurOMuuuur M Muuuuuur

Tập điểm biểu diễn số phức:

- Gọi điểm M x y ; biểu diễn số phức z x yi x y , ¡ 

- Từ điều kiện cho thiết lập quan hệ giữa x và y hay quanh hệ giữa M và các điểm khác để xác định dạng loại tập

điểm cần tìm

2 CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 10.1: Thực hiện các phép tính sau:

Trang 4

i

i i i i i

z

z z

Trang 5

Trang 6

Vậy có hai căn bậc hai là 5 2 2 , 5 2 2 i   i

Bài toán 10.5: Tìm các căn bậc hai của w a bi a b , ¡ 

0

a b a x

Trang 7

Trang 8

a b

12

Trang 9

Trang 10

nên 1 3 1   2 2 cos sin

Trang 11

thì không có dạng lượng giác

b) 1 cos isin 1 cos isin 

2sin sin cos 2cos cos sin

Trang 12

- Khi sin0: nó có dạng lượng giác không xác định

- Khi sin0: dạng lượng giác là 2sin cos sin

Đặt zrcosisin ,r0,¡ thì: zrcosisin 

sin cos  cos sin

Trang 13

Trang 14

x yi z

Trang 15

Bài toán 10.16: Trong tất cả các số phức z thỏa mãn điều kiện sau



và 7sin12



Hướng dẫn giải

Trang 16

Bài toán 10.18: Cho a, b, c là ba số thực sao cho cos cos cosa b c0

Tìm phần ảo của số phức 1itana1itanb1itanc,

suy ra tanatanbtanctan tan tana b c   a b c k k¢

Từ khai triển của 1itana  1itanb  1itanc thì phần ảo của số phức

1itana1itanb1itanc bằng tanatanbtanctan tan tana b c

Vậy tanatanbtanctan tan tana b c khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của 

Do đó: 1 i tan a1itanb1 i tan c có acgumen là a b c  l

Vậy: tanatanbtanctan tan tana b c   a b c k k¢

Bài toán 10.19: Giải các phương trình nghiệm phức:

a) 2ix23x  4 i 0

z  i  zi  

Trang 17

Nên  có hai căn bậc hai là cosisin 

Vậy phương trình có 2 nghiệm: z1cos , z2 isin

Bài toán 10.20: Giải các phương trình nghiệm phức

Từ đó giải cho 2 nghiệm x 3 i x,   1 2i

Trang 18

Vậy phương trình cho có 3 nghiệm: x 2 i x,  3 i x,   1 2i

Bài toán 10.21: Giải phương trình nghiệm phức:

Vậy 3 nghiệm của phương trình là zi z,  2 i z,  1 i

Bài toán 10.22: Giải các phương trình nghiệm phức:

i

do đó z   3 i 3 2i hay z  i 2i

Trang 19

Trang 20

Bài toán 10.24: Giải phương trình nghiệm phức:     *

1 n 1 n 0,

z  z  n¥

Phương trình tương đương: z1 n  z1n,

vì z1 không thể là nghiệm, do đó ta có thể viết: 1

11

n z z

(Vì m 0 0  1 z không xác định nên ta loại bỏ 0)

Vậy phương trình có n1 nghiệm: z icotm

Trang 21

Vậy hệ có hai nghiệm z w,  là: 1; 1  và 1;1

Bài toán 10.26: Giải hệ phương trình:

312

z

z i

z i i

Trang 22

 chứng tỏ phần ảo của z bằng 1 Vậy z 1 i

Bài toán 10.27: Không giải phương trình 2  

Trang 23

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là trục thực Ox

Bài toán 10.30: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn từng điều kiện:

Trang 24

y x

 Vì với mỗi điểm  x y, của hyperbol này, tìm

a x y nên M vạch nên toàn bộ hai nhánh của hyperbol đó

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn căn bậc hai là hyperbol 1

2

y x

Trang 25

Bài toán 10.32: Chứng minh rằng:

a) Nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì w  z

b) Nếu z1 khác z2: z1  z2 khi và chỉ khi 1 2

5

2 3

n i z

Trang 26

5

2 3

n i z

  , với l nguyên dương

Bài toán 10.34: Tính sin 4 và cos 4 theo các lũy thừa của sin và cos

Trang 27

Từ đó có: cos 4cos46cos2sin2sin4

sin 44cos sin4cos sin 

Bài toán 10.35: Cho zcosisin   ¡  Chứng minh rằng:

Trang 28

Trang 29

Trang 30

Bài toán 10.41: Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số

phức z z z1, 2, 3

a) Trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Giả sử z1  z2  z3 Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi:

OGuuur  OA OBuuuruuurOCuuur

Vì OA OB OCuuur uuur uuur, , theo thứ tự biểu diễn z z z1, 2, 3 nên G biểu diễn số phức  1 2 3

1

3 z  z z

b) Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn tâm O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G

của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức G0 hay z1  z2 z3 0

Bài toán 10.42: Giải hệ phương trình:

Trang 31

Bài toán 10.43: Phân tích thành

a) Nhân tử bậc nhất của: f x cosnarccosx

Trang 32

Bài toán 10.44: Chứng minh:

a) x3mx3n1x3p2Mx2 x 1 với m, n, p nguyên dương

a) Để chứng minh đa thức f x  chia hết cho đa thức g x , ta chỉ cần chứng minh mọi nghiệm của g x 

đều là nghiệm của f x 

Nếu gọi w là nghiệm của x2 x 1 thì w2  w 1 0

hay w2   w 1 nên w3  w2    w w 1 w 1

Thay w vào đa thức thứ nhất ta có: w3mw3n1w3p2   1 w w2 0

Vậy w cũng là nghiệm của đa thức x2 x 1 (đpcm)

b) Gọi  là nghiệm của g x , ta có:

Trang 33

Bài toán 10.45: Cho n là số nguyên dương đa và đa thức P x  với các hệ số thực như sau

Trang 34

Trang 35

i i

21

11

Bài tập 10.4: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

a) cosisin ;cosisin

b) sinicos ;sin icos

Hướng dẫn

a) Dùng định nghĩa lượng giác và công thức lượng giác

Kết quả cos   isin   ;cos   isin 

Trang 36

b) Gọi z x yi x y, , ¡  và biến đổi tương đương Kết quả Elip

Bài tập 10.8: Chứng minh rằng:

a) Nếu phương trình a z n na n1z n1  a z2 2a z1 a0 0 với các hệ số thực có nghiệm phức là z0 thì z0

cũng là nghiệm của phương trình

b) A, B, C, D biểu diễn theo thứ tự các số:    1 i; 1 i i;2 ;2 2 i cùng nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn

Trang 37

a) Dùng định nghĩa nghiệm và số phức liên hiệp

b) Lập phương trình đường tròn qua A, B, C và thử tọa độ D

Hay nhận xét AC và AD, BA và BD vuông góc nhau nên thuộc đường tròn đường kính CD

Bài tập 10.9: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện:

z z

Bài tập 10.10: Chứng minh rằng đa thức P z  là hàm số chẵn của z£ khi và chỉ khi tồn tại Q z  thỏa mãn: P x Q z Q   z z, £

Hướng dẫn

Chứng minh bằng quy nạp theo m là số nghiệm khác 0 của đa thức P z , tức là tồn tại Q z  thỏa mãn

     

P z Q z Q z

Tiêu đề	Số Phức Và Ứng Dụng
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Chuyên Đề

Định dạng
Số trang	37
Dung lượng	816,69 KB