Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

Gửi đến các bạn Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì kiểm tra. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC 

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 

.Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là  1

, 2

S  ah  trong đó a là độ dài một  cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. 

.Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các  công thức tính diện tích tam giác, tứ giác. 

B BÀI TẬP MINH HỌA 

Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc  nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 

Giải 

Gọi  là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường 

cao CH. Xét ACH  vuông tại H có  CH AC.sin  

Diện tích ABC là  1 . .

2

S AB CH  Do dó  1 . .sin

2

S AB AC    

Lưu ý: Nếu  90 ,0  ta có ngay  1

2

S  AB AC  

Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên. 

Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có  AC m BD n, ,  góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng . 

Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức 

1

sin

2

S  mn   Giải 

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử BOC.  

Vẽ AH BD CK, .BD   

Ta có AH OAsin ;   

sin

CK OC  và OA OC  AC.  

Diện tích tứ giác ABCD là: 

ABD CBD

Lưu ý: 

• Nếu ACBD ta có ngay  1 . 1

2AC BD 2m

• Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác  không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. 

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện 

tích tam giác ABC biết  a4 2cm b, 5 cm c, 7 cm.  

Giải 

Theo định lí côsin ta có: a2 b2c22 cos bc A  

Do đó  2 2 2

4 2 5 7 2.5.7.cos A  

Suy ra cos 3 sin 1 cos2 1 9 4

Vậy diện tích tam giác ABC là:  1 1 4  2

sin 5.7 14

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A Ta cũng có thể vận dụng định lí  côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cosC rồi suy ra sin )C   

Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có  AC BD 12 cm  Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45   Tính diện tích  lớn nhất của tứ giác đó. 

Giải 

Gọi O là giao điểm của AC và BD. 

Giả sử  45 AOD    

Diện tích tứ giác ABCD là: 

Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có: 

2

2

AC BD

     

Do đó  2 2 2.62 9 2 2

AC BD

Vậy maxS9 2cm2 khi AC BD 6 cm  

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC A, 60   Vẽ đường phân giác AD.  

Chứng minh rằng:  1 1 3

AB AC  AD  

Giải 

Ta có  

0

1 . .sin 30 1 . .1

ABD

sin 30

ACD

1 . .sin 60 1 . . 3

ABC

Mặt khác S ABD S ACDS ABC nên 1 . .1 1 . .1 1 . . 3

2 AB AD 2 2 AC AD 2 2AB AC 2   

Do đó AD AB AC   AB AC 3  

Suy ra AB AC 3 hay 1 1 3.

AB.AC AD AB AC AD

Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD 

và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. 

Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện 

tích nhỏ hơn 7cm2  

Giải 

Giả sử A B C  , khi đó  60A  và  3

sin

2

A   

Diện tích tam giác ABC là: 

 2

.sin 4.4 4 3 6,92 7

Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử 

  ,

A B C   từ đó suy ra  60 ,A   dẫn tới  3

sin

2

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

• Tính diện tích 

Bài 1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với 

sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD AC a,   và BAC 0   45   Chứng minh rằng diện tích 

của hình chữ nhật ABCD là  1 2

sin 2 2

Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho 

OC  OD  Chứng minh rằng  AOB

COD

S

m n

Bài 4. Tam giác nhọn ABC có  BC a CA b AB c , ,    Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng  minh rằng 

4cot

S

A

 

  Áp dụng với a39, 40, 41b c  và  45 A  Tính S. 

Bài 5. Cho góc xOy có số đo bằng 45   Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao 

cho OA OB 8 cm  Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB. 

Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 

1 ,

4

AM  AB   1 , 1 .

BN  BC CP CA  Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn 1

3  diện 

tích tam giác ABC. 

Bài 7. Cho đoạn thẳng AB5 cm  Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho  OA2 cm Trên một nửa 

mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh  cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE. 

Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các 

đường thẳng DC và BC. 

a) Chứng minh rằng  KAH ABC,từ đó suy ra KH  AC.sin ;B   

b) Cho AB a BC b ,   và B 60    Tính diện tích AHK  và tứ giác AKCH. 

• Chứng minh các hệ thức 

Bài 9. Cho tam giác ABC AB AC A(  ), 60  Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng 

BC tại N. Chứng minh rằng:  1 1 1

AB AC  AN   

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại  A AB AC  . Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh 

A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng:   

AM  AN  AC  

Bài 11. Cho tam giác ABC A,  90 0  Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 

2cos



Bài 12. Cho góc xOy có số đo bằng 30  Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA a  

Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C. 

Tính giá trị của tổng  1 1

OB OC   

Bài 13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình 

hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành. 

• Tính số đo góc. Tính độ dài 

Bài 14. Tam giác nhọn ABC có  AB4, 6cm BC; 5,5 cm và có diện tích là 9, 69cm2. Tính số đo 

góc B (làm tròn đến độ). 

Bài 15. Cho hình bình hành ABCD B, 90   Biết AB4cm BC, 3cm và diện tích của hình bình  hành là 6 3cm2. Tính số đo các góc của hình bình hành. 

Bài 16. Cho tam giác ABC có diện tích  S50cm2, 90 A    Trên hai cạnh AB và AC lần lượt  lấy các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là  1 1

2

S  S  Chứng minh rằng 

 

10 tan

2

Bài 17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết  AB4, 7cm AC, 5,3 cm và  72 A   Tính 

độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười). 

Bài 18. Cho tam giác ABC AB, 6 cm AC, 12 cm A, 120   Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài 

AD. 

Bài 19. Cho tam giác ABC AB, 5 cm BC, 7 cm CA, 8 cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài 

AD. 

Bài 20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết  1 1 1

,

AB AC  AD  tính số đo góc BAC. 

HƯỚNG DẪN    Bài 1. Xét hình bình hành ABCD D, 90      

Vẽ đường cao AH. 

Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có: 

.sin

AH AD   

Diện tích hình bình hành ABCD là: 

.sin

S CD AH CD AD     

Vậy S AD DC .sin    

Bài 2. Xét ABC  vuông tại B có 

cos cos ; sin sin

Diện tích hình chữ nhật ABCD là:  

2

cos sin sin cos

.2sin cos sin 2

 Bài 3. Tacó  1 . sin ; 1 sin

Do đó 

1 . sin

1 . sin 2

AOB

COD

OA OB

m n





Bài 4. Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a2 b2c22 cosbc A  

cos

2

A

bc

 

Ta có 

cos

cot

A

sin ) 2



Do đó 

4cot

S

A

 

Áp dụng: Với a39, 40, 41b c  và  45A  ta có: 

0

40 41 39

440

4 cot 45

 (đvdt) 

 Bài 5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S. 

sin sin 45

Nhưng 

8

OA OB

Do đó  2  2

.16 4 2 4

S   cm  khi OA OB 4cm  

Vậy maxS4 2cm2  

;

AM  ABBM  AB   

;

Ta đặt S AMP S S1; ; BMN S S2 CNP S3 và S ABC S  

Khi đó: 

1

sin sin sin

2

sin sin sin

3

sin sin sin

Vậy  1 2 3 1 1 1 17 .

8 4 3 24

S S S    S  S

17 7

24 24

MNP

24 24 3

MNP

Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10)  

Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có  3

4

BM  AB và chung chiều cao vẽ từ 4 

đỉnh N nên  2  

3 1

4 NAB

Xét các tam giác ABN và ABC có  1

3

BN  BC nên 

 

1 2

3

ABN

Từ (1) và (2) suy ra  2 3 1 1

4 3 4

Chứng minh tương tự ta được  3 1 ; 1 1

S  S S  S  

MNP

Bài 7. Ta có AOD BEO  (cùng phụ với  )BOE   

Ta đặt AOD thì BEO  

Xét AOD  vuông tại O, ta có:  2

cos cos

OA OD

Xét BEO  vuông tại B, ta có:  3

sin sin

OB OE

Diện tích tam giác DOE là: 

 

2 2 cos sin 2sin cos

Áp dụng bất đẳng thức x2y22xy ta được: 

sin cos  2sin cos  hay 12sinc so   

Thay vào (*) ta đươc:  6 6

2sin cos 1

S

 

(dấu “=” xảy ra khi sin cos   45)  

Vậy minS 6cm2 khi   45   

Nhận xét: Việc đặt AOD giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE, từ đó tính được  diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc . Do đó việc tìm min S đưa về tìm 

sin 

max cos  đơn giản hơn. 

Bài 8. a) Ta có AB CD/ /  mà AH CD nên AH AB.  

• ADH và ABK có: H  90 ;K     

 

D B   (hai góc đối của hình bình hành). 

Do đó ADH∽ABK(g.g).  

Suy ra AD AH

AB  AK   

Do đó  AK AH AH

AB  AD  BC  (vì AD BC )  

• KAH và ABC có KAH B (cùng phụ với  ;)BAK  



Do đó KAH ∽ABC (c.g.c).  

Suy ra KH AK

AC  AB  

Xét ABK  vuông tại K có sinB AK

AB

   

Vậy KH sinB

AC   hay KH AC.sinB  

b) Diện tích tam giác ABC là  1 . .sin 1 .sin 60 3

ab

Vì S KAH∽S ABC  nên  2  2 3

sin

4

KAH ABC

B

 

   

KAH ABC

sin 60

2

ABCD

ab

S ab    (dvdt) 

sin 60 cos 60 sin 60

ABK

2

1 .1 3 3

a

a a

.sin 60 cos 60 sin 60

ADH

2 2

1 .1 3 3

b b

Mặt khác S AKCH S ABCD S ABK S ADH  

AKCH

Bài 9. Ta có NAx NAB 180060 : 2 600  0  

1

.sin 60

2

1 . .sin 60

2

1

.sin 60

2

ANC

ANB

ABC

Vì S ANCS ANB  S ABC  

.sin 60 sin 60 .sin 60

Do đó AN AC AB   AB AC   

AC AB

 hay  1  1  1

5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên  AM  AN.  

0

.sin 45

2 2

ABM

0

1 . .sin 45 1 .

2 2

ABN

1

2

AMN

S  AM AN  (vì AMN  vuông tại A). 

Mặt khác, S ABM S ABN S AMN nên: 

2

1 2

AM A

AB



 hay   1 + 1 2

AM AN  AB ; 

b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45    

.sin 45 ;

ANC

.sin 45 ;

AMC

1 .

2

AMN

S  AM AN  (vì AMN  vuông tại A). 

Mặt khác, S ANCS AMC S AMN nên 1 2 1 2 1

2AC AN 2 2AC AM 2  2AM AN   

2

2

2





AN AM

AM A

AC

-AM AN  AC  

• Trường hợp góc A nhọn 

Ra đặt A  

.sin

ABD

1 . .sin ; 1 . .sin

  Mặt khác, S ABDS ACDS ABC nên 

1 . .sin 1 . .sin 1 . .sin

Suy ra  sin sin 2.sin cos

(vì sin 2sin cos )

2

Suy ra 

2.cos 2

AB AC



 dẫn tới 

2.cos



• Trường hợp góc A tù  

Ta đặt BAC thì BAx 180  .  

Khi đó BAx là góc nhọn. 

Ta có S ABDS ACD S ABC  

Do đó 1 sin 1 sin 1 sin 180 

.2.sin cos 2.sin 90 cos 90

1 . .2.cos sin

AB AC

 



2

Do đó 

2.cos 2

AB AC



 hay 

2.cos



Nhận xét: Nếu  90A  thì ta chứng minh được  1 1 2

,

AB AC  AD  vẫn phù hợp với kết luận của  bài toán. 

 Bài 12.  

.sin15 2

AOB

0

1 . .sin15

2

AOC

0

1

.sin 30

2

BOC

Mặt khác, S AOBS AOC S BOC  

.sin15 sin15 2sin15 cos15

Do đó OA OB OC  2OB OC cos15   

Suy ra  2 cos15

OB OC

Bài 13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo.  

Ta đặt OC OA x OD OB  , ,   y AD m CD n ,    

Giả sử AOD ADC   90   

Xét OCD có AOD là góc ngoài nên 

2 C1 O D

D   A   

Mặt khác   

D   D   Suy ra  

C D   

1 sin ; 1 sin

Mặt khác S ADO S DCO nên m y n x    

2

y n  y n  hay  AC AD

BD  DC  

Bài 14. Ta có  1

sin 2

S  AB BC B  

0

2 2.9, 69

4, 6.5,5

S

B

AB BC

Vậy B 50     

 Bài 15. Ta có SAB AC .sinB  

6 3 3

B

Vậy B    60 D 60 ; 120 A C     

Bài 16. Ta đặt ADx AE, . y   

Khi đó diện tích ADE là  1 1 sin ;

2

S  x y    

2 1

1 25 2

S  S  cm   

Ta có DE2x2y22 cosxy   

Mặt khác x2y22xy (dấu “=” xảy ra khi x y).  

Do đó DE2 2xy2 cosxy 2xy1 cos    

  1  100.2sin2

100 tan

 

100 10

Bài 17. Ta có 

2 cos



   (bài 5.11) 

Do đó 

1 1 2cos 36 10 2cos36

4,7 5,3  AD 4,7.5,3 AD   

Suy ra  4, 7.5,3.2.cos 360 4, 0 

10

Bài 18. Ta có 

2 cos



Do đó  1 1 2cos 600 1 1 4 

6 12  AD  4 ADAD cm   

Bài 19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong 

ABC

   

Ta thấy AC2AB2BC2 (vì 825272) nên góc B là góc nhọn, do 

dó ABC là tam giác nhọn. 

Theo định lí côsin ta có: 

2 2 2 2 cos 72 52 82 2.5.8cos

2

A  A   

Ta có: 

0

1 A 2 cos 30

AB AC  AD   

 

3 2

5 8 AD 40 AD AD 13 cm

Bài 20. Ta đặt BAC. Ta có 

2 cos

1  1  2

   

Mặt khác 1  1  1

Suy ra 

2 cos 1



2 cos 1 cos cos 60

     

Do đó  cos 600 1200

2

   

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Toán Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐