bai toan gtln gtnn bieu thuc mu logarit nhieu bien so

BÀI TOÁN GTLN - GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT HAI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP Cách 1: Đánh giá, áp dụng BDT cơ bản đã biết như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki.. Thông thường ta thực hiện theo các bướ

BÀI TOÁN GTLN - GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT HAI BIẾN SỐ

PHƯƠNG PHÁP Cách 1: Đánh giá, áp dụng BDT cơ bản đã biết như BĐT Côsi và BĐT Bunhiacopxki

Cách 2: Áp dụng phương pháp hàm số, hàm đặc trưng

Thông thường ta thực hiện theo các bước sau :

Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau

Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên.

Xét hàm số f t( ) theo biến t Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f t( ) với t D∈

Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f t( ) với

• Nếu hàm số y f x= ( ) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì

Vậy GTNN của g x là ( ) 8 khi 1, 1

x= y=

Câu 2. Cho hai số thực dương a b thỏa mãn hệ thức: ,

2log2a−log2b≤log2(a+6b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

ab b P

Max f t = khi t =2 Vậy 1

x y

xy≤ +  =

Khi đó P=(2x2+y)(2y2+ +x) 9xy=2(x3+y3)+4x y2 2+10xy

≤ − + + = + + − ≤ VậyP = khi max 18 x y= = 1

Câu 4. Cho hai số thực a b > thỏa mãn , 0 log 22( a+ +1 log 3 1 6 0) 2( b+ − ≥) Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức 2a+3b là

Lời giải

Chọn B

Ta có log 22( a+ +1 log 3 1 6 0) 2( b+ − ≥) ⇔log2(2 1 3 1a+ )( b+ )≥6⇔(2a+1 3 1 64)( b+ ≥)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương 2a +1 và 3 1b + , ta được

Câu 5. Trong các nghiệm (x y; ) thỏa mãn bất phương trình

logx2+2y2(2x y+ )≥ Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức 1 T =2x y+ là

2

T = x y+ =

Câu 6. Xét các số nguyên dương a b sao cho phương trình , aln2 x b x+ ln + = có hai nghiệm phân 5 0

biệt x x và phương trình 1, 2 5log2x b+ logx a+ = có hai nghiệm phân biệt 0 x x thỏa mãn 3, 4

Điều kiện để hai phương trình aln2x b x+ ln + = và 5 0 5log2x b+ logx a+ = có hai nghiệm 0phân biệt là: b2−20a> 0

Từ đó suy ra S=2a b+3 ≥30⇒Smin =30 khi và chỉ khi 3

8

a b

log a b+logb a −9a +81 log≥ a b+log 18b a −9a =log a b+2log 3b a≥2 2

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4

2 3

3 1, 1

3

9log a 2log 3b

a a

( ) ( ) ( )

2

2 2

Câu 10 Cho hai số thực dương x y thỏa mãn , 2ln 2 5ln ( ) 2ln5

x = Từ đó ta có bảng biến thiên như sau:

Dựa vào BBT, ta suy ra 1 3 ( )

Biết rằng, giá trị của x3+ được viết dưới dạng y4 m

n với m,n là các số nguyên dương và

x y

x y x

2

M m− = D M m− =3 Lời giải

Câu 15. Cho các số thực x, y thỏa mãn 5 16.4+ x2 − 2y =(5 16+ x2 − 2y).72y x− + 2 2 Gọi M và m lần lượt là

giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 10 6 26

11

a b

t b

3 2

Một bất đẳng thức mà ta hay gặp: ( )( )( ) ( )3

3

1+a 1+b 1+ ≥ +c 1 abc

Có bổ đề sau: Cho các số thực dương a b c x y z m n p, , , , , , , , khi đó ta luôn có:

Cộng 3 bất đẳng thức trên có điều phải chứng minh

Quay lại bài khi đó phương trình trở thành: ( )( )( ) ( )3

Với bài toán này nếu đặt 2x y+ =a,2x y+ 2 =b,2x y− 3 = ⇒c 3abc = , đây chính là dạng trên 2x

Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi 2x y+ =2x y+ 2 =2x y− 3 ⇔ = = Vậy khi đó P e x y 0 =

Câu 19 Cho 2 số thực a b, không âm thỏa mãn log2( ) ( )ab ∈ 0;1 đồng

+ Biết rằng a b4 10 được viết dưới dạng

m n với a,b là các số nguyên dương Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ số (m n như vậy? ; )

A m∈( )0;1 B m∈( )1;2 C m∈( )2;3 D m∈( )3;5

Lời giải Chọn C

Bất đẳng thức Jensen và tính chất của hàm lồi

Cho hàm số f x liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b và n điểm tùy ý nên ; [ ]a b Ta có ;

Vế trái viết lại là x x+ y y

Vế trái của bất đẳng thức này có dạng '( ) '( ) ''( )( )

Vậy VT VP≥ Dấu “=” xảy ra khi x y= = 42⇒x y4 10 = 128 2 32 4 8 8 2= = =

Câu 20 Cho 2 số thực x y >, 1 thỏa mãn điều kiện:

Ý tưởng ở bài này là sẽ kiếm một điều kiện ràng buộc giữa x,y rồi sau đó chỉ ra giả thiết chỉ nhận duy nhất 1 bộ nghiệm Dưới đây là cách giải quyết của bài toán trên

Biến đổi giả thiết ta được: 1 log 32 2log 3 3 log 32 ( 2 ) 9log 2

loglog 38log3

x a

y b c xy

2c 5c 4 18 2 1c 2 1c c 4c 2

Chú ý với điều kiện x y >, 1 ta sẽ có a b c >, , 0 Mặt khác a b c+ + = ⇒ < 3 c 3

Suy ra ∆ ≤ , điều này đồng nghĩa 0 VT ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2 2 2

Từ đây suy ra 76 12 2 10;11[ ]

9

Câu 21 Cho hàm số y f x= ( ) (= x+1)(x+2)(x+3)(x+ + Khi đó, giá 4) m

trị m để giá trị cực tiểu của hàm số f x bằng với giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( )

P=log 3a( b+ +2 log 3) b( a+ với 2) ∀a b, ∈(1;2]nằm trong khoảng nào sau đây

A [ ]3;4 B [ ]5;6 C [ ]7;8 D [9;10 ]

Lời giải Chọn C

Cách 1: Ta có:

3 4 3

4 3

Suy ra P = khi và chỉ khi min 6 a b= =2

Khúc sau làm tương tự như cách 1 đã trình bày

Câu 22 Lần lượt cho hai số thực dương x y thỏa mãn phương trình sau đây: ,

Lời giải Chọn A

13

30 2 3013

Câu 24 Cho 2 số thực x,y thay đổi thỏa mãn x y+ + =1 2( x− +2 y+3)

Giá trị lớn nhất của biểu thức S=3x y+ − 4+ + +(x y 1 2) 7 − −x y −3(x2+y2) là a

b với a,b là các số nguyên dương và a

b tối giản Tính P a b= +

A P =8 B P =141 C P =148 D P =151

Lời giải Chọn A

Đây chính là đề thi THPT Quốc Gia 2016 đã được biến tấu để trở thành 1 câu hỏi trắc nghiệm

Vậy x2+y2 ≥5 148 148

1513

3

a a

b b

P= a+ b+ a b+ − a b+ đạt giá trị lớn nhất, giá trịa b− thuộc khoảng nào sau đây?

A ( )3;4 B ( )5;6 C ( )4;5 D.(2;3)

Lời giải Chọn D

P đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi S đạt giá trị lớn nhất

Giả sử S có giá trị lớn nhất Suy ra phương trình Sk2+(2S−1)k S+ + =1 0 có nghiệm

4 log 3

4

log a b− =t=log 3⇔ − =a b 2 ≈2,56

Câu 26 Cho hai số thực x và y thỏa mãn: x y+ = x+ +2 2y−4 Khi ấy,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 6

BÀI TOÁN GTLN - GTNN BIỂU THỨC MŨ – LOGARIT NHIỀU BIẾN SỐ

Câu 1. Cho x y z, , lần lượt là các số thực dương và thỏa mãn hệ phương trình sau

3log 3x y =3log 27x z =log xy 81yz > Khi biểu thức0 P x y z= 5 4 đạt giá trị nhỏ nhất thì

giá trị của 1000P nằm trong khoảng nào ?

Lời giải

Chọn B

Ta có hệ phương trình sau: 3log 3x( )y =3log 273x( z)=log3xy(81yz)≠0 (*)

Từ phương trình (*), ta có: 3log 3x( )y =3log 273x( z)=log3xy(81yz)= >k 0

Đặt:

( ) ( ) ( )

13

33log 3

3 1

− − +

2 10 17

3

Câu 2 Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn 2a+4 8b+ c=4 Gọi M m,

lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a= +2b c+3 Giá trị của biểu thức

Đặt a=log , 22x b=log , 32 y c=log2z Ta có S =log2( )xyz

3 3

2

4 3log 3

4 3log 3

Câu 3 Cho ba số thực thay đổi a b c > thỏa mãn , , 1 a b c+ + =6 Gọi x x là 1, 2

hai nghiệm của phương trình ( ) (2 )

loga x − +2 loga b+3loga c loga x−2022 0= Khi đó giá trị lớn nhất của x x là 1 2

A −2022 B 216 C 12 6log 3+ 2 D 108

Lời giải Chọn C

Do phương trình ( ) (2 )

loga x − +2 loga b+3loga c loga x−2022 0= có hai nghiệm x x nên ta suy 1, 2

ta hệ thức Viét như sau: (loga x1) (+ loga x2)=loga(x x1 2)= +2 loga b+3loga c

x x =a bc ≤ Như vậy giá trị lớn nhất của x x là1 2 108

Câu 4 Cho ba số thực không âm x y z thỏa mãn , , 2 2 2

2x +3y +5z =6 Giá trị lớn nhất của biểu thức T x= +3y+4znằm trong khoảng nào sau đây

A ( )4;5 B ( )5;6 C ( )6;7 D ( )7;8

Lời giải Chọn C

Câu 6 Cho ba số thực x y z ∈, , [ ]1;4 và đồng thời thỏa điều kiện xyz = Giá 16

trị lớn nhất của biểu thức T =2x+2y+2z−3 log( 2x+log2 y+log2 z) tương ứng là:

A 3 B 6 C 6 3 3+ D 4 2 6+

Lời giải Chọn D

Đầu tiên, ta khảo sát hàm số f x( )= −x 3log4 x−1 trên đoạn [ ]1;4 như sau:

=



 =

Tương tự như thế ta cũng thu được [ ]

[ ]

4 4

3log 1 0, 1;43log 1 0, 1;4

x − x+ x+ = x+ x− x−Xét hàm số sau: y f x= ( )= −x 2log3x− ∀ ∈1 x [ ]1;3

Câu 8.Cho ba số thực a > , 1 b > , 1 c > Biết rằng tồn tại số thực dương 1

x ≠ thỏa mãn hệ thức 1 alogb x =bloga x9 Khi đó, biểu thức T =log ( ) logc ab + b( )a bc2 đạt giá trị nhỏ nhất tương ứng bằng

Lời giải Chọn A

Với ba số thực a > , 1 b > , 1 c > , ta có: 1

( )log logb c log loga c b a loga c b a logb a

Do tồn tại số thực x > , 0 x ≠ thỏa mãn hệ thức 1 alogb x =bloga x9 nên áp dụng tính chất trên ta

được: alogb x =bloga x9 ⇔xlogb a =x9loga b

4logc b+logb c≥2 4logc b.logb c=4

Suy ra T ≥ Đẳng thức xảy ra khi 11 4log 23

log 3

logb

c b

Suy ra 2log ( ) log 1 , 1;1

Suy ra T =max 1 khi và chỉ khi (a b c =; ; ) (1;1;2) và các hoán vị

Câu 11. Cho x y z, , lần lượt là các số nguyên dương thỏa mãn hệ thức sau đây

Áp dụng bất đẳng thức Svac-Xo (hay gọi là cộng mẫu): 2 2 2 ( )2

Đầu tiên, ta có: log2(abc) 1 8 4ab log 42( ab) (4ab) log2 8 8

   

   Xét hàm số ( ) log2 , ( ) 1 1 0, ( )

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn A

Câu 16 Cho các số thực a b c, , lớn hơn 1 thỏa mãn

log2a≥ −(1 log log2b 2c)log 2bc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Biến đổi giả thiết ta được log2a≥ −(1 log log2b 2c)log 2bc

logloglog

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của S =10x2+10y2+z2

Bây giờ ta cần tìm số k dương sao cho 10x2+10y2+z2 ≥2k xy yz xz( + + )

Mà mặt khác log log2a 2b+log log2a 2c+log log2b 2c xy yz zx= + + ≥1

Nên suy ra 10x2+10y2+z2 ≥4(xy yz xz+ + )=4.1 4= Vậy S = min 4

Câu 17 Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn

log loga b+log logb c+3log logc a=1 Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=log2a+log2b+log2c là m n

không thể áp dụng phương pháp làm của bài trên, khi đó ta sẽ cần phải nghĩ ra cách đặt khác

Cách 1:

Đặt (log ;log ;loga b c) (→ ix jy kz, , )⇒ijxy jkyz+ +3kixz= 1

Tìm i j k sao cho thỏa mãn , , 3

3

j

ij kj= = ki⇒ = =i k (Cân bằng hệ số) Chọn j= ⇒ = =3 i k 1

Khi đó ta được (log ;log ;log ) ( ,3 , ) 3 3 3 1 1

3

a b c → x y z ⇒ xy+ yz+ xz= ⇒xy yz xz+ + =Khi đó ta có được đánh giá như sau:

Chú ý rằng ở giả thiết và yêu cầu của bài toán vai trò của 2 biến a c, là như nhau nên dấu

" "= sẽ xảy ra tại a c = , đây chính là điểm rơi mấu chốt của bài toán trên Khi đó ta có:

Câu 18 Cho các số thực dương x y z khi biểu thức , ,

P log 102( x2 7y2 15z2) 2log xy yz zx 2(x y z) 2log( )xyz

41

xy y z y

2 2

ab bc ac

Vậy suy ra không có bộ (a b c; ; )nào thỏa mãn

Câu 21 Hỏi có tất cả bao nhiêu bộ số thực (a b c; ; ) với a b c ∈, , [ ]0;1 , thỏa mãn a b c+ + =2và đồng

thời làm cho biểu thức T =34 4a a− 2 +16b b− 2 + +3 8c a2+4b2−6a−2bđạt giá trị lớn nhất ?

A 4 B 18 C.6 D. 6

Lời giải Chọn A

Để làm được câu hỏi trên, ta cần áp dụng bất đẳng thức: a x≤ +1 (a−1)x với ∀ ∈x [ ]0;1 và dấu bằng xảy ra tại 0

1

x x

=



 =

 Khi đó ta suy ra:

- 34 4a a− 2 ≤ +1 2 4( a−4a2) ⇒Dấu bằng xảy ra tại 22

=



 =

Suy ra T =34 4a a− 2 +16b b− 2 + +3 8c a2+4b2−6a−2b

Câu 22 Xét các số a b c > thỏa mãn log, , 1 a b+2logb c+3logc a=8 Khi đó giá trị lớn nhất của biểu

thức 2loga c+3logc b+12logb a nằm trong khoảng nào ?

A (15;20 ) B (25;30) C.(20;25) D. (30;35)

Lời giải Chọn D

x x

P= + + − + − + − được viết dưới dạng m

n với m,n là các số nguyên không âm

và m

n là phân số tối giản Hỏi m n+ có giá trị bằng bao nhiêu?

A 86 B 87 C.88 D. 89

Lời giải Chọn D

Từ đó, ta có tổng quát cho dạng này như sau:

Cho n số x x1; ; ;2 x n∈[ ; ],a b c>1 Khi đó ta luôn có

Cơ sở của phương pháp

• Nếu đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x= ( ) tại điểm

( 0; 0)

A x y , A không phải điểm uốn thì khi đó tồn tại một khoảng D chứa x sao cho 0

( )

f x ≥ax b+ hoặc f x( )≤ax b+ Đẳng thức xảy ra khi x x= 0

• Nếu đường thẳng y ax b= + là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x= ( ) tại điểm

( 0; 0)

A x y thì ta luôn phân tích được f x( ) (− ax b+ ) (= x x− 0) ( )k g x k, ≥ 2Sau đây ta áp dụng lý thuyết trên vào bài toán trên Chú ý ta có ∑ln(a +2 1) là một biểu thức đối xứng theo bốn biến a,b,c,d đồng thời giả thiết cũng là đối xứng nên ta sẽ dự đoán dấu " "=

4

a b c d= = = = Quay lại bất đẳng thức phụ mà ta đang đi tìm hệ số ln(t2+ ≥1) mt n+ , ta sẽ tìm m n sao cho ,hai đồ thị hàm số y=ln(t2+1 ,) y mt n= + tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ 1

4

t = ta được

817

Với dạng toán này ta sẽ xét tới bất đẳng thức phụ 4t ≤mt n t+ ∀ ∈, [ ]2;3

Thay t=2,t= ta được hệ phương trình 3 16 2 48

Như vậy Smax =16 khi t =2 với t a b c= + + ⇒ +m 2n=16 2.1 18+ =

Câu 26. Cho bốn số thực dương a b c d lớn hơn 1 thay đổi thoả mãn , , ,

a b c d+ + + =2021 Gọi x x là hai nghiệm của phương trình 1, 2

(loga x) ( logb x) (− +1 2loga b+3loga c+5loga d).logb x−logb a2020=0 Tìm giá trị biểu thức

2 3 5

2021

b c d a

−

Lời giải Chọn A

Câu 28 Cho x y z là các số thực dương với , , x y z ∈, , [ ]1;2 Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức P log log2 x 2 2 log log2 y 2 2 log log2z 2 2

a b c

Câu 29 Cho ba số thực x y z thỏa: , , 2 log2z+log2y=log log log2 x 2y 2z Giá trị nhỏ nhất của biểu

thức P=3log2 x +4 log2 y +5log2 z

yz xz xy có dạng m n Tính giá trị của biểu thức

M

N P

3log 4log 5log

Bên cạnh đó ta suy ra được 1( ) 1(1000 ), 1(1000 )

a c+ = h k l m+ + + = −n b d+ = − h

2 2996