SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ)

I. PHẦN MỞ ĐẦU: 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Môn toán là môn khoa học tự nhiên, đây là môn học khó dạy, khó học, mà toán cực trị là một dạng bài tập khó mà học sinh khi gặp thường e ngại, hay bỏ bài tập dạng này. Vì thế tôi viết đề tài này nhằm giúp học sinh hệ thống kiến thức và phương pháp giải bài toán cực trị, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải bài toán cực trị một cách nhanh chóng và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập. 2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy cần phải viết đề tài phương pháp giải bài toán cực trị trong đại số. Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lôgic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn toán và các môn khoa học khác. 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số). 4. GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Khuôn khổ nghiên cứu:Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số) chương trình THCS. Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 7; 8; 9 trường THCS Lê Qúy Đôn. Thời gian: năm học 20132014; 20142015. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Trao đổi với đồng nghiệp về phương pháp giải toán cực trị. Nghiên cứu và trao đổi với học sinh giỏi toán khối 7; 8; 9. Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh. II. PHẦN NỘI DUNG 1.CƠ SỞ LÍ LUẬN: Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN hay Max ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min). Những bài toán như vậy gọi là bài toán cực trị. Trong hình học hay trong đại số đều có những dạng toán cực trị. Vì nội dung về bài toán cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập đến dạng toán cực trị (phần đại số). 2. THỰC TRẠNG : 2.1. Thuận lợi khó khăn: Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7 đã có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm cho học sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tôi khá tâm đắc với đề tài . Khó khăn: Bài toán cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó học sinh thường lúng túng chưa biết giải như thế nào. Trong sách giáo khoa hay sách bài tập cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị... 2.2. Thành công hạn chế : Thành công: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng toán cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụn

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

2 MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏitoán 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10 Tôi nhận thấy cần phải viết đề tàiphương pháp giải bài toán cực trị trong đại số

Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phươngpháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp họcsinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sángtạo cho học sinh

Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảmbảo tính chính xác, tính sư phạm Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạngtoán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môntoán và các môn khoa học khác

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số)

4 GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

- Khuôn khổ nghiên cứu:Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số) chương trình THCS

-Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 7; 8; 9 trường THCS Lê Qúy Đôn

-Thời gian: năm học 2013-2014; 2014-2015

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Trao đổi với đồng nghiệp về phương pháp giải toán cực trị

- Nghiên cứu và trao đổi với học sinh giỏi toán khối 7; 8; 9.

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh

II PHẦN NỘI DUNG

1.CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN hayMax ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min) Những bài toán như vậygọi là bài toán cực trị Trong hình học hay trong đại số đều có những dạng toán cựctrị Vì nội dung về bài toán cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên trong đề tàinày tôi chỉ đề cập đến dạng toán cực trị (phần đại số)

2 THỰC TRẠNG :

2.1 Thuận lợi -khó khăn :

-Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7 đã

có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm cho họcsinh càng hứng thú khi giải bài tập Do đó tôi khá tâm đắc với đề tài

-Khó khăn: Bài toán cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và

phong phú Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao Do đó học sinhthường lúng túng chưa biết giải như thế nào Trong sách giáo khoa hay sách bài tậpcũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị

2.2 Thành công - hạn chế :

-Thành công: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng toán

cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt hơn rấtnhiều Đó chính là sự thành công mà đề tài mang lại

-Hạn chế: Đề tài tôi chỉ bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho học sinh

yếu kém

2.3 Mặt mạnh - mặt yếu:

-Mặt mạnh: Đề tài tôi sắp xếp từ các dạng bài tập từ dể đến khó,từ đơn giản

đến phức tạp, từ lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp người đọc dễ hiểu

-Mặt yếu: Dùng từ trong đề tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của tôi còn

hạn chế nên viết đề tài khá lâu

2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố

Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải được học sinh

thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, từng bước giáo

viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn

-Giúp học sinh phát triển tư duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho việc họctốt môn toán cũng như các môn học khác.

-Ngoài ra khi giải các dạng bài tập về cực trị học sinh dễ mắc sai lầm khi giải

Do đó tôi thấy sự cần thiết viết đề tài này

2.5 Phân tích ,đánh giá các vấn đề:

Qua đề tài này để giúp học sinh tìm ra được cách giải và có lời giải hoàn hảo

về dạng toán cực trị Học sinh giải các dạng toán từ dễ đến khó vì thế tôi sắp xếpcách giải các dạng toán từ lớp 7, lớp 8 sau đó đến lớp 9

Trứớc hết ta cần hiểu rõ toán cực trị là gì ? Ta hiểu khái niệm là:

Cho biểu thức ta nói m là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức

được kí hiệu Nếu thõa mãn hai điều kiện sau:

+ Với mọi hay để được xác định thì

(m là hằng số) (1)+ Tồn tại sao cho (2)

2 Cho biểu thức ta nói n là giá trị nhỏ nhất (GTNN)

của biểu thức được kí hiệu Nếu thõa mãn hai điều kiện sau :

+ Với mọi hay để được xác định thì

( n là hằng số ) (3)1

+ Tồn tại sao cho (4)

Lưu ý : Trong tiếng latinh : Minimus (min) là nhỏ nhất

Maximus (Max) là lớn nhất

Nội dung của đề tài chia ra 5 phần chính như sau :

Phần 1 NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 7 Dạng 1 TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Giáo viên cho học sinh nắm vững về khái niệm giá trị tuyệt đối

Ta có :

Và lưu ý :

Thường thì nhữngbài toán dạng này đầu đề bài thường cho giá trị m, n là hằng

số không đổi Nên học sinh rất dễ tìm ra kết quả của bài toán cực trị

Ở lớp 7 các em làm quen dần với dạng toán cực trị, để sau này các em lên lớp trên tiếp cận nhanh với dạng toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Ví dụ 1 Tìm GTNN của các biểu thức sau :

Với ví dụ b tôi sẽ hướng dẫn học sinh dùng kí hiệu toán học để trình bày bài làm

b) Do Dấu xảy ra khi

Dạng 2 TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ HAI GIÁ TRI TUYỆT ĐỐI

Để giải quyết vấn đề này, học sinh nắm vững tính chất Với mọi x, y thuộc R thì:

Dấu xảy ra khi ( tức là x, y cùng dấu )

Ví dụ 3 Tìm GTNN của các biểu thức sau :

Giải

Phần 2 NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 8.

Sau khi học xong phần những hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cần cho học sinh rèn luyện giải các bài toán cực trị

Dạng 1 TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THƯC DẠNG NGUYÊN

1 Tìm GTNN (min) của biểu thức

Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức về dạng ( k là hằng số )

Vì Dấu ‘ = ’ xảy ra khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là k khi hay

2.Tìm GTLN ( max ) của biểu thức

Phương pháp giải : Đưa biểu thức về dạng ( k là hằng số)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là k khi hay

3.Tìm GTLN, GTNN của đa thức cao hơn bậc hai

Phương pháp giải : Ta có thể đặt ẩn phụ, hoặc biến đổi đưa về dạng 1, 2

Ví dụ 3 Tìm GTNN của

Giải

Bài 2 Tìm GTNN của biểu thức

2.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nhiều biến

Phương pháp giải : Tìm GTLN, GTNN lưu ý hằng đẳng thức

Ta sử dụng điều kiện để rút gọn biểu thức A

Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối vớ x

Thay y = 1 – x vào biểu thức A

Vậy GTNN của B là 3 khi y=1, x=1

Ví dụ 3 Cho các số x, y, z thõa mãn Tìm GTLN của biểu thức

Bài 1 Cho thõa mãn Tìm GTLN của

Bài 2 Cho x, y là hai số dương thõa mãn x + y = 100 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 3 Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 4 Cho a, b là hai số dương thõa mãn 3a + 5b = 12 Tìm GTLN của M = a.b Bài 5 Cho x, y là hai số dương có tích Tìm GTNN của biểu thức

Bài 6 Cho x, y, z là các số không âm thõa mãn đồng thức 3x + 2z = 51 và z + 5y

1 Nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi

Hai số và là hai số dương có tích không đổi (bằng 900) nên tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi

Bài 1 Tìm GTNN của biểu thức (với x > 0)

Bài 2 Tìm GTNN của biểu thức (với x > 0)

Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 4 Tìm GTLN của biểu thức

Bài 5 Tìm GTLN của biểu thức

Trên đây là một số dạng toán tìm GTLN, GTNN thường gặp ở học sinh lớp 8

Phần 3 NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9

Việc giải bài toán tìm GTLN, GTNN là một bài toán khó cần nhiều phươngpháp tùy thuộc vào dạng của bài toán, đặc trưng của đề bài, mà người giải phảinăng động phối hợp nhịp nhàng các giải pháp để giải quyết bài toán Sau đây làmột số phương pháp dành cho học sinh lớp 9

Dạng 1 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÓ SẴN ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC

1 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Ta luôn có :

(với a > 0)

( với a > 0 )

2 Bất đẳng thức cô -si ( cauchy ) cho các số không âm

 Nếu a, b là các số không âm thì Dấu khi a = b

 Nếu a, b, c là các số không âm thì Dấu khi a = b = c

Ví dụ 1 Tìm GTNN của biểu thức (với x > 1)

Vậy

Ví dụ 2 Tìm GTNN của biểu thức ( với x > 0)

Giải

Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương

Biến đổi biểu thức

Dấu‘ =’ xảy ra khi =

Bài 1 Cho biết x + y = 4 Tìm GTLN của biểu thức

Bài 2 Tìm GTLN của biểu thức

Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức (với x, y > 0 và )

Bài 4 Cho x, y >0 và Tìm GTNN của biểu thức

Bài 5 Tìm GTLN của biểu thức

Dạng 2 ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI

Đổi biến để tìm cực trị là một trong những cách giải hay để chúng ta tìm cực trịmới nhanh, dễ dàng cho học sinh tiếp cận, sau đây là một số ví dụ

Với x>0, y>0 theo bất đẳng thức cô-si: ;

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức biết

Bài 2 Tìm GTNN của biểu thức với x > y > 0

Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức với

Bài 4 Tìm GTNN của biểu thức với

Dạng 3 PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

(2)

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2)

* Trường hợp 2 : Với khi đó phương trình (2) có ngiệm khi và chỉ khi

Đến đây ta thấy vậy

Ta có vậy

Giải bài toán này học sinh cần nắm vững cống thức ngiệm của phương trình bậc hai Coi y là tham số, x là ẩn số

Nhận xét : Phương pháp giải trên gọi là phương pháp miền giá trị của hàm

số Đoạn là tập giá trị của hàm số.

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2) có nghiệm x = 0

* Trường hợp 2 : Với khi đó phương trình (2) có ngiệm, điều kiện cần và đủ tức là

Với vậy

vậy

Tóm lại tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và giải quyết nhiều bài toán khó về cực trị.

Phần 4 MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

 Sai lầm khi không chú ý đến điều kiện

Ví dụ 1 Tìm GTNN của biểu thức

Cách giải sai :

Biến đổi biểu thức

Vậy GTNN của A là khi (vô lí)

Cách giải đúng : Vì và nên với

Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0

Ví dụ 2 Tìm GTLN của biểu thức

Lời giải sai :

Phân thức B có tử không đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị nhỏ nhất

Ta có

Do đó GTNN của là 2 khi Vậy

Phân tích sai lầm : Tuy đáp số bài toán không sai nhưng lập luận sai khi khẳngđịnh phân thức B có tử không đổi nên B đạt GTLN khi mẫu nhỏ nhất Mà phải đưa

ra nhận xét tử và mẫu là các số dương

Ví dụ 3 Tìm GTLN của biểu thức

Lời giải sai :

Phân thức C có tử không đổi nên C có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị nhỏ nhất

Mà nên

Điều này không đúng vì không phải là giá trị lớn nhất Chẳng hạn x = 6 thì

 Những sai lầm trong phương pháp giải bài toán cực trị khi sử dụng bất đẳng thức cô-si

Ví dụ 4 Cho a>0 ; b> 0 và x>0 Tìm GTLN của biểu thức

Lời giải sai :

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số không âm, ta có :

( 1) ( 2)

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 2 số và Ta có

Nên

Vậy

Khi giải bài toán cực trị thường mắc những sai sót, sai lầm không đáng có

Nên tôi xin nhấn mạnh một số sai lầm trên mong đồng nghiệp góp ý thêm

Ngoài ra để bổ sung việc dạy và học tốt vấn để giải toán cực trị thì tôi xin đưa

ra phương pháp giải toán cực trị bằng máy tính bỏ túi

Phần 5 GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI

Giáo viên nên sử dụng máy tính fx-570VN PLUS, máy tính này có nhiều chức năng mới Ta có thể vận dụng để giải bài toán cực trị

Ví dụ 1 Cho hàm số ( 1) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức A( làm tròn 4 chữ số thập phân)

Giải

Đặt ( 2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có ẩn

x, còn y là tham số

( 3)

* Trường hợp 1 : Với y = 0 khi đó phương trình ( 3) có nghiệm

* Trường hợp 2 : Với khi đó phương trình ( 3) có ngiệm, điều kiện cần và đủ

tức là

Ấn trên máy (INEQ)

Kết quả

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (3) có nghiệm

* Trường hợp 2 : Với khi đó phương trình (3) có ngiệm, điều kiện cần và đủ

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Bài 2 Tìm GTNN của biểu thức

Bài 3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Tóm lại để giải được các bài tập trên, học sinh phải nắm chắc công thứcnghiệm phương trình bậc hai và giải bất phương trình bậc hai bằng máy tính thànhthạo

3 Giải pháp, biện pháp :

3.1 Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :

Học sinh nhận thức được giải toán cực trị không hề khó nếu chúng ta biết sửdụng đúng phương pháp và suy luận tốt thì sẽ gặt hái thành công nhất định

3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp :

-Nội dung các dạng toán cực trị

-Phương pháp giải mỗi dạng toán

-Các bài tập mẫu cho từng dạng

-Bài tập tự rèn cho học sinh

3.3 Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp.

Giúp học sinh phân loại và vận dụng tốt các phương pháp giải toán cực trị(phần đại số) một cách nhanh chóng có hiệu quả Pháp huy tính tích cực học tậptrong mỗi học sinh

3.4 Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:

Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ chặc chẻ với nhau, các bài toáncực trị đòi hỏi học sinh nắm vững chắc các kiến thức về cực trị từ thấp đến cao ,từđơn giản đến phức tạp,vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi ,từ lý thuyết đếnthực hành

3.5 Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học :

Bằng cách kiểm tra trên phiếu học tập của học sinh, qua các lần kiểm tra chấtlượng bài làm có nhiều khã quan hơn

4 Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học.

Qua nhiều năm giảng dạy và trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi chất lượng họctập của học sinh càng ngày nâng cao hơn qua kết quả khảo nghiệm

Năm học 2013-2014: kiểm tra 20 HS trên trung bình 12 em đạt 60%

Năm học 2014-2015: kiểm tra 20 HS trên trung bình 15 em đạt 75%

III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:

1 Kết luận:

Trong thực tế giảng dạy, khi áp dụng phương pháp giải dạng toán cực trị, họcsinh nắm vững kiến thức và học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này.

Dựa vào kết quả trên ta có thể thấy học sinh nắm vững kiến thức về giải toáncực trị ngày càng khả quan hơn

Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn toán.Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ để hướng dẫn học sinh giải bài toán cực trị mộtcách có hiệu quả và đạt kết quả tốt Để bài viết của tôi hoàn chỉnh hơn và giúp họcsinh học tốt, tôi rất mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để tôi dạy thành cônghơn.Tôi xin chân thành cảm ơn

2 Kiến nghị: Đối với lãnh đạo các cấp:

Tạo điều kiện thuận lợi và thời gian cho giáo viên được mở rộng, nâng caotrình độ chuyên môn nghiệp vụ Thường xuyên tổ chức, triển khai chuyên đề cụ thểnhững sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao để chúng tôi học hỏi

Đray Sáp, ngày 16 tháng 2 năm 2016

Người viết

Phạm Thị Nga

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG

………

………

………

………

………

………

CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN (Ký tên, đóng dấu) NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN ………

………

………

………

………

CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN

(Ký tên, đóng dấu)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT TÊN TÀI LIỆU TÁC GIẢ

01 Sách giáo khoa, sách bài tập 7;8; 9

02 Sách BDHSG 7;8;9 Trần Thị Vân Anh

03 Sách nâng cao và phát triển toán 9 Vũ Hữu Bình

04 Sách hướng giải toán trên máy tính Ca

sio

TS NguyễnThái Sơn