Phương pháp phân tích và tổng hợp hệ thống điều khiển tự động sử dụng mô hình mờ T-S trên miền tần số

Bài viết đề xuất mô hình mờ Takagi-Sugeno (T-S) cải tiến trên miền tần số và đưa ra phương pháp phân tích và tổng hợp một lớp hệ thống điều khiển sử dụng mô hình mờ tương ứng. Đối tượng phi tuyến liên tục được mô tả bằng mô hình mờ T-S dạng hàm truyền và bộ điều khiển được giả thiết là tuyến tính.

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII Trường Đại học Giao thông vận tải

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG SỬ DỤNG MÔ HÌNH MỜ T-S TRÊN MIỀN TẦN SỐ

Đặng Hà Dũng 1* ,Lê Hùng Lân 1 , Trần Ngọc Tú 1

1Trường Đại học Giao thông Vận tải, Số 3 Cầu Giấy, Hà Nội

*Tác giả liên hệ: Email: dhdung@utc.edu.vn

Tóm tắt: Bài báo đề xuất mô hình mờ Takagi-Sugeno (T-S) cải tiến trên miền tần số

và đưa ra phương pháp phân tích và tổng hợp một lớp hệ thống điều khiển sử dụng mô hình mờ tương ứng Đối tượng phi tuyến liên tục được mô tả bằng mô hình mờ T-S dạng hàm truyền và bộ điều khiển được giả thiết là tuyến tính Trên cơ sở phân tích tính bất định dạng đa diện (polytope) của mô hình đối tượng mờ T-S một số phương pháp giải bài toán phân tích và tổng hợp hệ thống được đề xuất Các phương pháp đề

ra sử dụng đồ thị tần số có ưu điểm về sự trực quan và tổng quát cho cả những đối tượng có trễ

Từ khóa: mô hình mờ T-S, hệ điều khiển mờ, tính ổn định, ổn định hóa

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong số các phương pháp mô hình hóa đối tượng sử dụng logic mờ, mô hình mờ Takagi-Sugeno (T-S) [1] là một trong số các mô hình được sử dụng phổ biến nhất Bản chất của mô hình mờ T-S là mô tả hệ thống bằng các hệ thống tuyến tính cục bộ Đây

là phương pháp mô hình hóa toàn diện khi mọi đặc tính phi tuyến trơn của hệ thống điều khiển đều có thể được xấp xỉ bởi mô hình mờ T-S Trên thực tế, mô hình mờ T-S của hệ thống có thể được xây dựng từ đặc tính phi tuyến của đối tượng bằng cách tuyến tính hóa hoặc nhận dạng hệ thống tại các điểm làm việc Khi đối tượng được mô

tả bằng mô hình mờ T-S, kỹ thuật điều khiển bù song song (Paralell Distributed Compensation – PDC) [2-3] cho phép tổng hợp bộ điều khiển mờ T-S có cấu trúc tương tự mô hình đối tượng trên cơ sở thiết kế riêng từng bộ điều khiển cục bộ Quá trình phân tích tính ổn định của hệ thống kín được thực hiện thông qua sử dụng phương pháp Lyapunov Trong [2] Tanaka và Sugeno đã đưa ra điều kiện đủ để đảm bảo tính ổn định của hệ thống điều khiển mờ T-S theo phương pháp Lyapunov trực tiếp Wang và đồng nghiệp [3] đã phát triển một phương pháp thiết kế cho quá trình ổn định hóa của hệ phi tuyến dựa trên mô hình mờ T-S và thiết kế PDC Trong những nghiên cứu này điều kiện ổn định của hệ thống được đưa về giải các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequality - LMI) với các công cụ số trợ giúp [4] Đặc điểm của cách tiếp cận sử dụng mô hình mờ T-S hiện có là sử dụng mô hình ở miền thời gian dưới dạng diễn tả trạng thái Đồng thời việc sử dụng phương pháp Lyapunov

để phân tích và tổng hợp hệ thống tuy chặt chẽ về toán học nhưng khá cồng kềnh, phức tạp với số lượng các LMI cần giải lớn, hơn nữa tiêu chuẩn ổn định Lyapunov chỉ

là điều kiện đủ

Các phương pháp biểu diễn hệ thống trong miền tần số có nhiều ưu điểm trong ứng dụng thực tế Các đặc tính tần số có thể đưa ra các thông tin dưới dạng đồ thị trực quan, phản ánh sâu về hệ thống điều khiển cần nghiên cứu Đối với hệ điều khiển mờ, một số các nghiên cứu [5-8] đã thực hiện giải quyết vấn đề mô hình hóa, phân tích ổn định và thiết kế hệ thống sử dụng hướng tiếp cận trong miền tần số Tính ổn định của

hệ mờ được nghiên cứu trong [5-6] Điều kiện đủ cho việc phân tích ổn định tuyệt đối của hệ điều khiển mờ T-S dựa trên tiêu chuẩn Popov được trình bày trong [7] Trong [8], hướng tiếp cận mờ và tiêu chuẩn đường tròn mở rộng (Extended Circle Criterion) được kết hợp để phát triển một kỹ thuật thực nghiệm để kiểm tra tính ổn định của hệ điều khiển mờ Phương án thiết kế hệ phi tuyến mờ PDC sử dụng mô hình đối tượng Takagi-Sugeno-Kang trong miền tần số được trình bày trong [9]

Trong bài báo này, mô hình mờ T-S cải tiến trong miền tần số được đề xuất để

mô tả đối tượng điều khiển phi tuyến Khi đó đối tượng điều khiển được coi là đa giác (polytope) các hàm truyền và từ đó một số các phương pháp mới phân tích, tổng hợp

hệ thống điều khiển sử dụng bộ điều khiển tuyến tính sẽ được phát triển Các phương pháp này cung cấp hình ảnh đồ thị trực quan và giải pháp hiệu quả cho hệ thống điều khiển

2 MÔ HÌNH MỜ T-S CẢI TIẾN

Mô hình mờ T-S của hệ phi tuyến liên tục kinh điển, đề ra trong [1-2] như sau: Rule R i: IF z t1( ) is 1i

M and … and z t p( ) is M i p

THEN

.

( ) i ( ) i ( )

Trong đó R i là luật suy diễn thứ i, r là số luật, M i j, với i  r and j  p, là các tập mờ và A B i, i là các ma trận trạng thái với số chiều tương ứng của mô hình cục bộ

thứ i Vec tơ các biến giả thiết được định nghĩa là z t( ) = [ ( ) z t1 z t p( )] Sử dụng phương pháp giải mờ trọng tâm mô hình mờ T-S (1) được biểu diễn dưới dạng sau:

.

1

r

i

x t h z A x t Bu t

=

Trong đó hàm thuộc chuẩn hóa h z i( )có dạng

1

( ) ( )

( )

i

i i

z

h z

z





=

=

p i

j

=

= ,i  r (3)

Độ lớn hàm thuộc của các biến giả thiết trong tập mờ tương ứng i

j

M được ký hiệu là i j(z j) Lưu ý là các hàm thuộc chuẩn hóa thỏa mãn các tính chất lồi (convex)

sau:

0h z i( ) 1 ,

1

( ) 1

r i i

h z

=

=

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII Trường Đại học Giao thông vận tải

Trong bài báo này mô hình dạng hàm truyền được đề xuất thay cho diễn tả trạng thái Khi đó mô hình mờ T-S cải tiến của hệ phi tuyến liên tục có dạng sau:

Rule R i: IF z t1( ) is 1i

M and … and z t p( ) is i

p

M

THEN Y s i( )=P s U s i( ) ( ) (5) Trong đó Y s U s( ), ( )là các ảnh Laplace của các tín hiệu y t u t( ), ( )ra, vào đối tượng tương ứng và P s i( )là hàm truyền của mô hình cục bộ thứ i

Tương tự như (2) mô hình mờ T-S tổng hợp của (5) có dạng:

Y s h z Y s U s h z P s

= =  (6)

Ta có thể coi

là hàm truyền mờ T-S của đối tượng Rõ ràng, hệ thống mờ T-S là một lớp của các hệ bất định đa giác (polytopic) trong đó các bất định được tạo ra từ tính phi tuyến của các các hàm thuộc Vì vậy vấn đề nghiên cứu hệ thống có thể dựa vào cách tiếp cận ổn định bền vững Ký hiệu Q là đa diện (polytope) của các bất định:

1

r

i

=

Khi đó ứng với mỗi Rmiền giá trị (value set) được định nghĩa như sau:

P( , ) Q =P j( , ), ( )h h z i Q (9)

Bổ đề sau được rút ra trực tiếp từ [10,11] bổ đề cho phép xây dựng miền giá trị

( , )

P Q

Bổ đề: Miền giá trị P( , ) Q là một đa giác (polygon) trên mặt phẳng phức có số cạnh tối đa bằng r r −( 1) / 2, được sinh ra từ các cạnh của đa diện (polytope) Q

Dựa trên kết quả này ta có thể giải quyết một số bài toán phân tích và tổng hợp

hệ thống điều khiển mờ T-S có cấu trúc trên hình 1

Hình 1 Hệ thống điều khiển mờ T-S sử dụng bộ điều khiển tuyến tính

3 PHÂN TÍCH VÀ TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN MỜ T-S

Bài toán 1 Đánh giá ổn định hệ thống

Xét hệ thống điều khiển trên hình 1 Ký hiệu

1

W ( ) ( ) ( ) ( )

r

i

s C s h z P s

=

=  là hàm truyền hệ hở của hệ thống Khi đó từ (7) ta có thể xây dựng miền giá trị của Wh( )j :

Thực tế : W ( , )h  Q =C j( ) ( , )P Q (11) Xây dựng dòng các miền giá trị này khi thay đổi từ 0  cho phép đánh giá ổn định hệ thống kín trên hình 1 tương tự tiêu chuẩn Nyquist

Định lý 1 Hệ thống điều khiển mờ có cấu trúc trên hình 1 với mô hình đối tượng

mờ T-S (5) và bộ điều khiển tuyến tính có hàm truyền C(s) ổn định khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện sau:

• Hệ thống kín là ổn định với một đối tượng P s i i( ), [1, ]r bất kỳ

• Dòng các miền giá trị W ( , )h  Q , 0,)không bao điểm (-1, j0)

Điều kiện thứ nhất là điều kiện cần, có thể kiểm tra dễ dàng bằng cách xây dựng

đồ thị Nyquist W (h j)=C j( ) ( ) P j i  với hàm truyền cục bộ P s i( )bất kỳ

Bài toán 2 Đánh giá chất lượng hệ thống

Ổn định hệ thống kín được đảm bảo nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức Tuy nhiên bên cạnh yêu cầu cơ bản về ổn định hệ thống, thực tế hệ thống còn cần có độ dự trữ nhất định về ổn định (ổn định tương đối) Điều này có thể đạt được bằng cách hạn chế miền phân bố các nghiệm của phương trình đặc trưng Thông thường có hai dạng mô tả miền ổn định này, được thể hiện qua các độ dự trữ ổn định  và m , trong đó  là khoảng cách từ trục ảo đến nghiệm gần

nhất và =arccotg m là góc hợp bởi tia với trực thực âm Vấn đề kiểm tra đảm bảo độ

dự trữ ổn định cho trước có thể được giải quyết thông qua việc đánh giá ổn định hệ thống cùng phép thay j= − + j hay j= −m+ j vào công thức tính đặc tính tần

số Khi đó định lý 1 có thể mở rộng để đánh giá độ dự trữ ổn định hệ thống mờ T-S có cấu trúc trên hình 1 Các chỉ tiêu chất lượng miền tần số khác như độ dự trữ biên độ C

và pha G, … cũng có thể dễ dàng tính toán từ dòng các miền giá trị dạng đồ thị NyquistP j( ) ( )Q Các giá trị tương ứng của các chỉ tiêu miền thời gian như độ dao động và quá điều chỉnh  được mô tả trên bảng 1 [9]

Bảng 1 Một số các chỉ tiêu chất lượng thông dụng

 , % m M C G, deg 0,75 50 0,222 2,38 0,30 24 0,90 33 0,366 1,55 0,39 38 0,96 20 0,511 1,25 0,50 48

Bài toán 3 Tổng hợp bộ điều khiển tỷ lệ

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII Trường Đại học Giao thông vận tải

Giả sử bộ điều khiển tỷ lệ C s( )=k được sử dụng hệ thống điều khiển trên hình 1 Câu hỏi đặt ra là với bộ đối tượng mờ T-S (5) cho trước thì ta có thể tìm điều kiện của

k để hệ thống kín ổn định Bài toán này được giải dễ dàng bằng cách xây dựng dòng

các miền giá trị P( , ) Q , 0,) Điểm cắt xa nhất của dòng này với trục thực có

giá trị k* Khi đó hệ thống kín ổn định với mọi *

1/

k − k

4 VÍ DỤ

Xét hệ thống điều khiển mờ cho hệ thống nhiệt, đối tượng là hệ thống lò sấy trong [9] Tín hiệu ra điều khiển là nhiệt độ hơi sấy y(t) của đầu ra nhiệt Các mô hình xấp xỉ Ziegler-Nichols (Z-N) của đối tượng được xây dựng từ các dạng đáp ứng quá

độ của đối tượng tại nhiều điểm làm việc khác nhau Từ đó, ta thấy đặc tính làm việc của lò sấy là phi tuyến và có thể được xấp xỉ, tuyến tính hóa thành 3 vùng chồng lên nhau: vùng 1 trong khoảng tín hiệu ra y(t) = 20 – 50oC; vùng 2 trong khoảng đầu ra y(t) = 40 – 57oC; và vùng 3 trong khoảng nhiệt độ 50 – 80oC Trong mỗi vùng, mô hình hàm truyền xấp xỉ tuyến tính được nhận dạng theo kỹ thuật theo Z-N của đối tượng có dạng:

1

i s i i

i

K

T s



−

+

Tham số cụ thể của đối tượng được thể hiện trên bảng 2 Khi đó mô hình mờ T-S của đối tượng theo (5) sẽ bao gồm 3 luật, tương ứng với đầu ra là 3 hàm truyền xấp xỉ trong những khoảng nhiệt độ khác nhau của đối tượng Biến đầu vào tiền định của hệ

là nhiệt độ z(t) = y(t) để xác định vùng làm việc Kết quả suy luận ở đầu ra của các luật

mờ là các mô hình Z-N trong từng khoảng nhiệt độ khác nhau Để tổng hợp một bộ điều khiển PI cho đối tượng, trong [9] sử dụng mô hình trung bình cho đối tượng với các tham số được lấy trung bình từ mô hình tham số của đối tượng Mô hình trung bình Z-N của đối tượng, theo bảng 2, có dạng: ( ) 5.5

0

7.5

77 1

s

s

−

= + Với mô hình đối

tượng trung bình P0(s), theo Z-N, bộ điều khiển PI với tham số ( ) 0.25 1 1

87

C s

s

được xác định Tuy nhiên vấn đề đánh giá ổn định và phân tích chất lượng hệ thống điều khiển được tổng hợp chưa được đề cập và giải quyết trong [9]

Bảng 2 Tham số mô hình đối tượng nhiệt độ theo vùng nhiệt độ

Tham số của

mô hình

Ki Ti i

Từ những thông tin trên, ta sẽ lần lượt vận dụng các bài toán được trình bày ở trên trong phân tích tính ổn định và tổng hợp tham số bộ điều khiển (trường hợp điều khiển khuếch đại) cho đối tượng

Bài toán đánh giá ổn định và chất lượng điều khiển

Việc giải quyết được bài toán này sẽ trả lời cho câu hỏi liệu bộ điều khiển PI với

bộ tham số ở trên có đảm bảo độ ổn định cho đối tượng lò sấy nhiệt độ trong toàn bộ dải nhiệt độ làm việc và chất lượng mà bộ điều khiển mang lại cho hệ (xét theo bảng 1)

Hình 2 Dòng miền giá trị của hệ điều khiển nhiệt độ khi m = 0

Hình 2 cho ta thấy dòng miền giá trị (value set) của mạch hở

1

W ( ) ( ) ( ) ( )

r

i

s C s h z P s

=

=  không bao quanh điểm (-1, j0), vì vậy theo Định lý 1 bộ điều khiển PI đảm bảo tính ổn định cho hệ Tương tự như vậy khi thay các giá trị khác m = 0,222; 0,366 và 0,511; theo bảng 1, ta thấy bộ PI cũng mang lại chất lượng điều khiển tốt cho đối tượng Đảm bảo các thông số về độ quá hiệu chỉnh, độ dao động cũng như

độ dự trữ ổn định biên độ và nghiệm số Hình 3, 4 và 5 cho thấy các dòng miền giá trị không bao quanh điểm (-1, j0) khi m tương ứng nhận các giá trị 0,222; 0,366 và 0,511

Hình 3 Dòng miền giá trị khi m =0,222.

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII Trường Đại học Giao thông vận tải

Hình 4 Dòng miền giá trị khi m = 0,366.

Bài toán tổng hợp bộ điều khiển tỉ lệ cho đối tượng mờ T-S

Để tổng hợp bộ điều khiển tỷ lệ cho đối tượng ta dựa trên dòng miền giá trị (value set) của đối tượng P( , ) Q , 0,) Theo hình 6, ta có thể thấy, giao điểm

xa nhất của dòng này với trục thực là -0,525 Như vậy hệ thống kín sẽ ổn định với mọi

bộ điều khiển tỷ lệ có hệ số khuếch đại 1 1,9

0,525

p

K  Trên các hình 7 và 8 là các dòng miền giá trị của hệ khi sử dụng bộ điều khiển khuếch đại Kp lần lượt là 1,8 và 0,3 minh họa tính ổn định của hệ thống kín (theo định lý 1) Ngoài ra, có thể nhận thấy một cách trực quan độ dự trữ ổn định mà bộ điều khiển khuếch đại mang lại cho hệ Trên hình 9, kiểm tra chất lượng của bộ điều khiển Kp = 0,3 khi m = 0,222

Hình 5 Dòng miền giá trị khi m = 0,511

Hình 6 Dòng miền giá trị của đối tượng mờ T-S, xác định được Kp < 1,9

Hình 7 Đánh giá ổn định của hệ điều khiển nhiệt độ khi Kp = 1,8

Hình 8 Đánh giá ổn định của hệ điều khiển nhiệt độ khi Kp = 0,3

Hội nghị Khoa học công nghệ lần thứ XXII Trường Đại học Giao thông vận tải

Hình 9 Đánh giá chất lượng điều khiển khi Kp = 0,3 tại m = 0,222

5 KẾT LUẬN

Bài báo đã thực hiện việc đánh giá tính ổn định, khảo sát chất lượng điều khiển

và thực hiện tổng hợp bộ điều khiển ở dạng khuếch đại đối với đối tượng có động học được mô tả bởi mô hình mờ T-S Các bài toán trên được thực hiện dựa trên khảo sát dòng các value set của đối tượng và hệ điều khiển trong miền tần số Giải pháp được đưa ra cho thấy ưu điểm của phương pháp là có tính trực quan và tổng quát Đối tượng

áp dụng không chỉ cho đối tượng nhiệt độ với đặc điểm động học có trễ mà có thể mở rộng ra cho nhiều loại đối tượng Tính khả thi của phương pháp trong triển khai thực tiễn là cao bởi tính chất phi tuyến của hầu hết các đối tượng điều khiển và vấn đề tuyến tính hóa quanh các điểm làm việc hoàn toàn phù hợp với việc xây dựng mô hình đối tượng mờ T-S Những giải pháp được trình bày trong bài báo là cơ sở để phát triển

theo hướng tổng hợp đầy đủ các tham số của bộ PID

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] T Takagi, and M Sugeno, Fuzzy Identification of systems and its applications to modeling and control, IEEE Trans Syst Man, Cyber B, Cybern., vol SMC-15, no 1,

pp 116-132, 1985

[2] K Tanaka, M Sugeno, Stability analysis and design of fuzzy control systems, Fuzzy Sets Syst Vol 45, no 2, pp 135-156, 1992

[3] H.O Wang, K Tanaka, M.F Griffin, An approach to fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issues, IEEE Trans Fuzzy Syst., vol 4, no 1, pp 14-23,

1996

[4] K Tanaka, H Wang, Fuzzy Control Systems Design and Analysis: a Linear Matrix Inequality Approach, John Wiley & Sons, 2004

[5] Le Hung Lan, Robust stability of fuzzy parameter systems, Automation and Remote Control, N.4, pp 596-605, 2005

[6] Le Hung Lan, Zero Exclusion Principle Application in Computing Stability Margin of Systems with Fuzzy Parameters, in Proc 7th International Conference on Fuzzy Systems and Knowledge Discovery, Yantai, China, 2010, Vol.1, pp 382-386 [7] A S Bakefayat, A Heydari, Absolutely Stable of Takagi-Sugeno Fuzzy Control Systems by using Popov’s Criterion, Applied Mathematics, no 3, pp 1124-1127,

2012

[8] R.E Haber Guerra, G Schmitt-Braess, R.H Haber, A Alique, S Ros, Extended Circle Criterion: Stable Fuzzy Control of a Milling Process, in Proc 15th Triennial World Congress, Barcelona, Spain, 2002, pp 85-90

[9] S Yordanova, A Frequency Domain Approach for Design of Stable Fuzzy Logic Systems with Parallel Distributed Compensation, WSEAS Trans on Systems, Vol 15,

pp 85-93 2016

[10] Bartlett A, Hollot C, Lin H, Root locations of an entire polytope of polynomials:

it suffices to check the edges Mathematics of Control, Signals, and Systems 1988; 1:61–71

[11] M.Y.Fu, Polytope of polynomials with zeros in prescribed region: new criteria and algorithms, In Robustness in Identification and Control, (M Milanese, R Tempo, and A Vicino, eds.), pp 125-146, NY: Plenum, 1989