Phức hóa liên hợp là một hướng tiếp cận khá hiệu quả trong việc tìm họ nghiệm của một số phương trình lượng giác cơ bản và cổ điển.. Cụ thể, ta có quy trình giải tương ứng như sau.[r]
Trang 1Giải Phương Trình Lượng Giác
Dương Trác Việt
hNhóm Casio Tư Duy.
Ngày 3 tháng 9 năm 2017
B ài viết trình bày đôi nét về phương
pháp phức hóa liên hợp và ứng
dụng của nó trong giải quyết một số
phương trình lượng giác cơ bản, cổ điển.
1 Ví dụ minh họa
1.1 Ví dụ 1
Giải phương trình
4 cos
4x−π
6
+ 2p2= 0
1 Vàow2;
2 Gán
• 4 −π
6i → A;
• cos−1 −2p2
4
i → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện 4 +11
12πi, suy ra
x =
11π
12
4 + k2π
4
⇔x = 11π
48 + k π
2 (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện 4 − 7
12πi, suy ra
x =−
7π
12
4 + k2π
4
⇔x = −7π
48 + k π
2 (k ∈ Z).
1.2 Ví dụ 2
Giải phương trình cos
5x
3 + π 12
= cos−x
4+7π 6
1 Vàow2;
2 Gán
• 5
3+ π
12i → A;
• −1
4+7π
6 i → B;
Trang 23 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện 23
12 +13
12πi, suy ra
x =
13π
12 23 12
+ k223π
12
⇔x = 13π
23 + k24π
23 (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện 17
12 −5
4πi, suy ra
x= −
5π
4 17 12
+ k217π
12
⇔x = −15π
17 + k24π
17 (k ∈ Z).
1.3 Ví dụ 3
Giải phương trình
2p
3 sin−3x − π
3
−p3= 0
1 Vàow2;
2 Gán
• −3 − π
3i → A;
• sin−1 p3
2p 3
i → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện −3 + 1
2πi, suy ra
x =
π
2
−3+ k2π
−3
⇔x = − π
6 + k2π
3 (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện −3 + 1
6πi, suy ra
x =
π
6
−3+ π
−3+ k2π
−3
⇔x = −7π
18 + k2π
3 (k ∈ Z).
1.4 Ví dụ 4
Giải phương trình sin
p
2x+π 8
= sin
x−3π
2
1 Vàow2;
2 Gán
• p2+π
8i → A;
• 1 −3π
2 i → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện −1+p2−13
8 πi, suy ra
13π
8
−1 +p2+ k 2π
−1 +p2
⇔x = −13+ 13p2
8 π + k 2 + 2p2 π
(k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện 1 +p2+11
8 πi, suy ra
x =
11π
8
1+p2+ π
1+p2+ k 2π
1+p2
⇔x = −19 + 19
p 2
8 π + k −2 + 2p2 π
(k ∈ Z).
Trang 31.5 Ví dụ 5
Giải phương trình
cos
7x
3
+ sin
7x
3 +7π 6
= cosπ
5− x
1.5.1 Biến đổi
Trước hết, ta biến đổi vế trái theo góc hơn
kém pi chia hai (chéo trừ, sine đổi thành cosine
giữ nguyên dấu cộng)
V T = cos7x
3
+ sin7x
3 +2π
3 +π 2
= cos
7x
3
+ cos
7x
3 +2π 3
Tiếp đến, ta rút gọn Vế trái bằng tổng hợp hai
dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
(Vật Lý 12)
• Vào w2;
• Nhập
1∠0 + 1∠2π
3 bấm=, máy hiện 1∠π
3;
• Suy ra (hai dao động theo cosine thì tổng
cũng là cosine)
V T = cos7x
3 +π 3
;
• Vậy phương trình đã cho tương đương
cos
7x
3 +π 3
= cos−x + π
5
1.5.2 Giải theo quy trình
1 Vàow2;
2 Gán
• 7
3+π
3i → A;
• −1 + π
5i → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện 10
3 − 2
15πi, suy ra
x = −
2π
15 10 3
+ k210π
3
⇔x = − π
25+ k3π
5 (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện 4
3− 8
15πi, suy ra
x =−
8π
15 4 3
+ k24π
3
⇔x = −2π
5 + k3π
2 (k ∈ Z).
1.6 Ví dụ 6
Giải phương trình
p
6−p2cos
3x
2 +π 3
+p6+p2sin
3x
2 +π 3
= 2p3
1 Vàow1,
• Nhập vào màn hình
Polp6−p2,p6+p2 bấm=;
• Gán cos−1 2p3
X
→ X ;
2 Vàow2, gán
• 3
2+π
3i − Y i → A;
• X i → B;
Trang 43 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện 3
2+1
4πi, suy ra
x =
1
4π
3 2
+ k23π
2
⇔x = π
6 + k4π
3 (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện 3
2− 1
12πi, suy ra
x = −
1
12π
3 2
+ k23π
2
⇔x = − π
18+ k4π
3 (k ∈ Z).
2 Kết luận
Phức hóa liên hợp là một hướng tiếp cận khá
hiệu quả trong việc tìm họ nghiệm của một số
phương trình lượng giác cơ bản và cổ điển Cụ
thể, ta có quy trình giải tương ứng như sau
2.1 cos (ax + b) = cos(cx + d)
1 Vàow2;
2 Gán
• a + bi → A;
• c + di → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện α + βi, suy ra
x =β
α + k
2π
α (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện γ + δi, suy ra
x = δ
γ + k
2π
γ (k ∈ Z).
2.2 sin (ax + b) = sin(cx + d)
1 Vàow2;
2 Gán
• a + bi → A;
• c + di → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện α + βi, suy ra
x =β
α + k
2π
α (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện γ + δi, suy ra
x =δ
γ+
π
γ + k
2π
γ (k ∈ Z).
2.3 C cos (ax + b) + S sin(ax + b) = m
1 Vàow1,
• Nhập Pol (C, S) bấm =;
• Gán cos−1 Vế phải
X
→ X ;
2 Vàow2, gán
• a + bi − Y i → A;
• X i → B;
3 Nhập vào màn hình
C on j g (A − B)
bấm=, máy hiện α + βi, suy ra
x =β
α + k
2π
α (k ∈ Z).
4 Nhập vào màn hình
C on j g (A + B)
bấm=, máy hiện γ + δi, suy ra
x = δ
γ + k
2π
γ (k ∈ Z).