Còn khi các tính chất đặc biệt không có, thì hệ * sẽ được giải theo một sơ đồ chung sẽ được trình bày trong các ví dụ sau.. Nhìn chung, các dạng thường gặp đều dựa trên một vài đặc thù c
Trang 1
PHẦN I:
HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT
Hệ bậc hai với hai ẩn x,y :
*
a x b xy c y d x e y f
Trong trường hợp đặc biệt (đối xứng loại 1, loại 2, đẳng cấp) thì các cách tính sẽ đơn giản hơn Còn khi các tính chất đặc biệt không có, thì hệ (*) sẽ được giải theo một sơ
đồ chung sẽ được trình bày trong các ví dụ sau Tuy nhiên, phương pháp này không phải là tối ưu Nhìn chung, các dạng thường gặp đều dựa trên một vài đặc thù của dạng bậc hai Nếu biết khai thác các tính chất đặc biệt đó ta sẽ tìm được lời giải ngắn gọn
MỘT SỐ VÍ DỤ :
Ví dụ 1 : Giải hệ :
2 2
2 2
2( ) 11
Giải :
Xét x = 0 thì hệ có dạng :
2
2
2 11
hệ này vô nghiệm
Xét x0 Đặt y = x
Khi đó hệ đã cho có dạng :
2 2
2 2
Đặt 2
x z ta được hệ :
2
2
2
2
2 2
2
2 2
;
2 1 2
26 7
11 2 2
x
z
D
D
D
Vì D x 0 nên nếu 4 1 0thì D = 0, hệ có nghiệm
4
:
Trang 2
;
Điều kiện 2
x z cho ta phương trình để tính
2
2
23
+)Với 2 thì 1
2
x y
23
thì
23
44 23 44
x
y
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là :
23
,
17
x x
y
y
Ví dụ 2 : Giải hệ :
2 2
2 12
Giải :
Xét x = 0 Khi đó hệ có dạng :
2 2
2 12
Hệ này vô nghiệm
Xét x0 Đặt yx
Khi đó hệ đã cho trở thành :
2 2
2 2
Đặt x2
= z ta được hệ :
2 2 2
;
Trang 3
2
3 2 2
2
2 2
18 45
z
x
D
D
D
D thì hệ vô nghiệm Xét 1
Điều kiện z = x2
cho ta phương trình để xác định
2
2
z
x z
x
D z
D D
D
x
D
2
2
2 153 90 180 0
0
2
+) Khi 0 thì D = 5; Dx = 15 x 3 y 0
+) Khi 2 thì D = 81; Dx = 81 x 1 y 2
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: 3; 0
Ví dụ 3 : Xác định giá trị của m để hệ sau có nghiệm :
2
2
Giải :
Để ý rằng :
Trang 4
Hệ đã cho
2
Nếu m < 0 thì (3) vô nghiệm Vậy hệ vô nghiệm
Xét m0 Nhận xét rằng để x, y thỏa mãn (3) m 0cần chọn x, y thỏa mãn hệ :
1
1 0
1
2
x x
Thế vào (1) và (2) ta được :
2
2
0 1
1 2.1 2.1 2
2
m
m m
Vậy với m0 thì hệ đã cho nhận 1
, 1,
2
là một nghiệm
Kết luận : Hệ có nghiệm khi và chỉ khi m0
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi 2 1 3
1, 3
m
hệ sau có nghiệm
2 2
2
1
Trước khi bước vào giải toán ta hãy phân tích bài toán trước
Ta có hệ đã cho tương đương với
2 2
2
2 2
2
2 2
1
1
2
3
Điều kiện cần để hệ có nghiệm là (3) phải có nghiệm,do đó 5 0 5
m m
Xét (x, y) thỏa mãn điều kiện :
Trang 5
0
4
m
, thế vào (1) ta được 1 1
4 thỏa mãn
Thế vào (2) ta được 1
2 m
Vậy bất phương trình hệ quả không cho ta kết quả cần tìm
Giải : Viết hệ đã cho dưới dạng :
1
Xét nghiệm dạng (x, y) = (0, )
Khi đó, ta có :
2 1
1 m 1
m
Vậy điều kiện để tồn tại nghiệm dạng 0, là 1 m 1 khi đó ta được nghiệm
x y, 0,m (*)
Tương tự, xét nghiệm x y, t t,
Khi đó ta được hệ xác định t :
2
2
12 4
t t
f f
Kết hợp với (*) ta có : với 2 1 3
1, 3
m
thì hệ đã cho có nghiệm
BÀI TẬP :
1, Giải các hệ sau :
2
2, Giải và biện luận các hệ :
3, Xác các giá trị của a và b để hệ sau có nghiệm :
Trang 6
PHẦN II :
Giới hạn của hàm số I/ Kiến thức cơ bản
A.Giới hạn hữu hạn
Giả sử (a;b)là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xỏc định trờn khoảng (a;b) \ x0 Khi đú
0 0
xlim f (x )x L
nếu dãy số (x )n trong tập hợp
0
(a;b) \ x mà limxn x0,ta đều cú limf (x )n L
B.Giới hạn vụ cực
xlim f (x)x 0 hay lim f (x) x x 0
limx x , ta đều cú limf (x )n hay limf (x )n
*Giới hạn hàm số tại vụ cực
+/ Giả sử ta cú hàm số f xỏc định trờn (a; ) Ta núi rằng hàm số f cú giới hạn
là số thực L khi x dần đến nếu với mọi dóy (x )n trong khoảng (a; ) mà
n
limx ,ta đều cú limf (x )n L
Ta viết
1.Một số định lý về giới hạn
Định lý 1: Giả sử
0
0
0
xlim f (x).g(x)x L.M đặ c biệt lim cf (x)x x cL.
d/
0
x x
Định lý 2: Giả sử
0 0
xlim f (x )x L
a/
0
xlim f (x)x L
Trang 7
b/
0
3 3
0
c/ Nếu f (x) 0 x J \ {x }0 ,trong đó J là một khoảng nào đó chứa điểm x0 thì
0 0
x x
2 Giới hạn một bên
+/ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x ;b)0 Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0),nếu với mỗi dãy (x )n trong
khoảng (x ;b)0 mà limxn x0,ta đều có limf (x )n L
Ta viết
0
xlim f (x)x L
+/ Định nghĩa tương tự cho
0
xlim f (x)x L
+/ Hàm số có giới hạn tại x0 và
0
xlim f (x)x L
0
xlim f (x)x
, xlim f (x)x0
xlim f (x)x xlimx L
3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
+/ Nếu
0
xlim f (x)x
0
x x
1
f (x)
+/ Quy tắc 1
Nếu
0
xlim f (x).g(x)x
0
xlim f (x)x
0
xlim f (x).g(x)x
Quy tắc 2:
0
xlim f (x)x L 0
0
0
x J \ {x } , trong đó J làmộy khoảng nào đó chứa điểm x0,thì
0
x x
f (x) lim g(x)
bảng sau:
0
x x
f (x) lim g(x)
4 Một số dạng vô định
Trang 8
Dạng 0
0:
Cách khử :
+/ Phân tích tử và mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dưới dấu căn thì có thể nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp
Dạng
:
+/ Chia cả tử và mẫu cho xk,với k là số mũ cao nhất của biến số x.(Hay phân tích tử và mẫu thành tích chứa nhân tử xn rồi giản ước)
+/ Nếu u(x) và v(x) có chứa biến x trong dấu căn, thì đưa xk ra ngoài (k là bậc cao nhất của x trong căn) trước khi chia cả tử và mẫu cho lũy thừa của x
Dạng và dạng 0 :
+/ Nhân và chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy đồng mẫu để đưa về cùng một phân thức
II Kĩ năng cơ bản
Vận dụng linh hoạt các định lý về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn
vô cực để giải các bài toán về giới hạn hàm số
III Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
2
x 2
lim
x 1
Giải :
+/ Hàm số
2
f (x)
x 1
xác định trên ¡ \ 1
+/ Giả sử xn là dãy số tùy ý mà xn 2
Khi đó
n
n
+/ Vậy
2
x 2
x 1
Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
2 2
x 1
lim
Giải :
+/ Hàm số
2 2
f (x)
xác định trên 1
\ 1, 2
+/ Giả sử xn là dãy số tùy ý mà xn 1
Khi đó
Trang 9
2
n n
lim
1
2
lim
2
+/ Vậy
2 2
x 1
lim
3
Ví dụ 3: Tính
1/ 2
x 5
lim
2/ 2
x 5
lim
Giải :
1/ Ta có :
2
2/ Ta có :
2
lim
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
f (x)
Tính
x 1
limf (x)
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định trên tập ¡
+/
xlim f (x)1 xlim(4x1 2) 6
+/ Do
lim f (x) lim f (x) 6
x 1
Ví dụ 5: Tính
x
1 lim
3/
2 2 x
2/
3 2 x
lim
Giải :
Trang 10
1/ Ta có
3
3
1
3 x
3 x
1
x
3
2
2
x
2
x 1
3
lim x
1
=
2 2
7 1
1 x
x
x
V× limx
7 1
1
x
Ví dụ 6: Tính
1/
2
x 0
lim
x
2/
3
x 2
lim
3/
2
x 1
lim
Giải :
1/ Ta cã
Trang 11
2
x 0
3
2
2 /
1 lim
1 3
Tacã
=
3/ Ta có
Mặt khác
2
x 1
1 =lim
1 =
8
3
x 1 3
1 lim
1 =
12
Vậy
2
x 1
lim
Ví dụ 7: Tính
x
1/ lim
2 2 x
2/ lim
Trang 12
x
Giải:
2 x
3 1 x 5
1
x
5 3
x x = lim
1 1 x = 5
2 2
x
x
2
1
x 2
x = lim
2
x = lim
= 4 .
2
x
x
x
x = lim
1
x 1 = lim
1
x 1
=
2
IV.Bài tập
Bài1:Dùng định nghĩa tính giới hạn
Trang 13
x 3
1/ lim
2
x 2
2/ lim
Bài 2 : Tính
2 2
x 1
2 2
x 2
1/ lim
2/ lim
Bài 3: Tìm a để hàm số
2
f (x)
3ax 4 khi x 2
Có giới hạn khi x dần đến 2
Bài 4: Tính
Bài 5:Tính
3
x
Bài 6 :Tính
2
2
2
3 3
3
x 1
Bài 7: Tính giới hạn sau theo a
Trang 14
2
2
x a
x a