Tài liệu Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL pdf

Trường THPT Thị Xã SaĐéc

ĐỀ THI OLYMPIC ĐBSCL

Môn: TOÁN – Khối 12

Bài 1:

Cho số nguyên n > 1 và số thực p > 0 Tìm giá trị lớn nhất của:



1

1

1

n

i

i

i x

x khi x i chạy khắp mọi giá trị thực không âm sao cho x p

n

i

i 



 1

Bài 2:

Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc oxy cho n véctơ :

OA1,OA2,,OA n , thỏa OA1  OA2  OA n 1

Chứng minh rằng có thể chọn ra k véctơ có tính chất :

4

1

2

k

i i

Bài 3:

Bài 4:

Giải phương trình sau : T4  4T3 6T2 4T  1  0

Bài 5:

Cho tam giác ABC, O là điểm tùy ý trong tam giác Đặt : OA = x; OB = y;

OC = z Gọi u, v, w tương ứng là các đường phân giác trong các góc  BOC,

 COA,  AOB củøa các tam giác BOC, COA, AOB

Chứng minh rằng : x  y z 2(u v w)

Trường THPT Thị Xã SaĐéc

ĐÁP ÁN

Bài 1:

Đặt : S = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn ; p = x1 +x2 + … + xn

Giả sử : xk = Max { x1,x2 , … , xn}

 S = 

1

1 1

n

i i

i x

x = 

k

i i

i x x

1

1+ 

1 1

n

k i i

i x

x  



1

1

k

i i

k x

x + 

1 1

n

k i i

k x

x  xk(p – xk) 

4

2

p

,(Côsi)

Vậy : Max S =

4

2

p khi xk = xk+1 = p/2 và xi = 0, i = 1,…n, i  k và i  k + 1

Bài 2:

Gọi (xi,yi) là tọa độ véctơ OA i , i = 1,…,n

Ta có: OA i  x i2 y i2  x i  y i , (1) Dấu ‘’=’’ xãy ra khi xi = 0 hay yi = 0















 OA1 OA2 OA n n x i n y i

Ta có:

4

1 0 1

2 2

1 2 2

1 2



i

x i ik

i ik

i i ik

i i ik

i

Bài 3:

Ta viết : 2 2

2 2

m

u

   = 2

k k k k k k m



  

Mặt khác, ta có nhận xét : với x (0,1) thì ln(x    1) x ln(1 x) , (1)

Thật vậy:

+ Xét f x( )  ln(x  1) x  '( ) 1 1 0, (0,1)

x



     

  , suy ra f(x)

nghịch biến trên (0,1)  f x( )  f(0)   0 ln(x  1) x , (2)

+ Xét g x( )  ln(1  x) x  '( ) 1 1 0, (0,1)

x



     

nghịch biến trên (0,1) g x( ) g(0)    0 x ln(1 x) , (3) Từ (2) và (3) suy ra (1) đã được chứng minh

Trường THPT Thị Xã SaĐéc

Aùp dụng (1) với 1

x

k m



 , ( k = 1, 2, 3, ) , ta được :

2 1

   

1

1

m



Tương tự: 1

2

m

       



3

m

       



1

2

m

1

1

m

k

k m





1 2

1 u m

m

  lim 2m ln 2

m u

Mặt khác 2 1 2 1

u u

m

 nên lim 2m1 lim 2m

m u  m u

Suy ra lim n ln 2

n u

Vậy : lim n ln 2

n u

  , (n=1, 2, 3, )

Bài 4:

Phương trình  4T( 1 T2) T4 6T2  1 (*)

Đặt



















 

















4 , 2 2 3

\ 2

; 2

tg T

1 1 6

) 1

( 4

2



















tg tg

tg tg

1 1

2 1 1

2 2

2

2

2











































tg tg tg tg

1 2 1

2 2









tg tg

tg4  1 , ( )

4

4  k kZ

4

.

16 k kZ



  

So điều kiện : 













2

; 2





 , suy ra

2 4

16 2







4

7 4

9  



Vì kZnên suy ra k 2 ,  1 , 0 , 1

Nếu k   2 thì

16

7









 







16

7

tg T

Tương tự : nếu k   1 , 0 , 1 thì























 



16

5 , 16

, 16

tg tg tg

T

Vậy nghiệm của phương trình là











  

16

5 , 16

, 16

3 , 16

tg tg tg

tg

Bài 5:

Trường THPT Thị Xã SaĐéc

Đầu tiên , ta chứng minh bổ đề sau:

‚ Nếu       thì p q r, , , ta luôn có:

p q r  qr pr  pq  ‛

2 cos cos cos

sin  cos  p sin  cos  q r 2qrcos 2pqcos( ) 2prcos

  2 2 2

r p  q  r p  r q  p  q 

+   2 2

p  q  p  q 

r p  q  p  q 

p q r qr  pr  pq 

Trở lại bài toán đầu bài :

Đặt :  AOB = 2 ;  AOC = 2 ;  BOC = 2 +  +  = 

Theo công thức tính đường phân giác trong tam giác , ta có :

y z x z x y

   Áp dụng bổ đề với p x q,  y r,  z ta có :

    

Hay x y z u. y z v. z x w. x y 2(u v w)

        

          

 

( theo bất đẳng thức Cauchy )