Một số tính chất của phần tử sinh của đại số đa thức xem như môđun trên đại số steenrod

TRẦN THỊ CHUNGMỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2019... Một trong những bài toán mang tính

TRẦN THỊ CHUNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHẦN TỬ SINH CỦA ĐẠI SỐ ĐA THỨC XEM NHƯ MÔĐUN

TRÊN ĐẠI SỐ STEENROD

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2019

Mở đầu

Ký hiệu P n = F2 [x 1 , x 2 , , x n ] là đại số đa thức trên trường F2 , gồm n biến

xi, mỗi biến có bậc 1.Đại số này đẳng cấu với đối đồng điều kỳ dị hệ số trên F2

của tích n-lần của không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều Do đó, nó có cấu trúc

là một môđun trái trên đại số Steenrod mod 2, A. Tác động trái của A trên Pn

được xác định tường minh bởi các tính chất sơ cấp của các toán tử Steenrod

Sqm, bậc m>0 (xem [16]) và công thức Cartan [2]

Sqm(f g) = X

i+j=m

Sqi(f )Sqj(g),

với mọi đa thức thuần nhất f, g ∈ Pn.

Một trong những bài toán mang tính thời sự, đang được nhiều nhà Tôpô đại

số nghiên cứu là bài toán xác định tường minh một hệ sinh tối tiểu củaPn đượcxét như một môđun trên đại số SteenrodA Bài toán này có tên gọi là bài toánhit, được nghiên cứu trước tiên bởi Peterson [10] và Singer [14] Về sau nó đượcnghiên cứu bởi nhiều tác giả như Crabb and Hubbuck [3], Janfada and Wood[4], Kameko [6], Mothebe [8], Nam [9], Phúc-Sum [11], Singer [15], Wood [21] vànhiều tác giả khác

Một đa thức thuần nhất bất kỳ f trong Pn được gọi là "hit" nếu nó có thểbiểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn f = P

m>0

Sqm(fm) trong đó fm là các đa thứcthuần nhất nào đó trong Pn. Xem F2 như một A-môđun tầm thường, bài toánhit được quy về xác định một hệ sinh tối tiểu của F2-không gian véctơ phân bậc

QPn :=F2⊗APn = Pn/A+Pn,

trong đó ký hiệu A+ là iđêan bổ sung của đại số A và A+Pn là tập hợp tất cảcác đa thức hit trong P n Qua các công trình của Peterson [10], Wood [21] vàSinger [14], có thể thấy rằng bài toán hit có mối quan hệ chặt chẽ với nhiều bàitoán kinh điển trong lý thuyết đồng luân như lý thuyết cobordism của các đatạp; bài toán phân tích ổn định không gian phân loại của các 2-nhóm Abel sơcấp; lý thuyết biểu diễn modular của các nhóm tuyến tính, .

Cho d là một số nguyên dương tùy ý và ký hiệu (QPn)d là không gian concủa QPn sinh bởi các lớp có phần tử đại diện là các đa thức thuần nhất bậc d

trong A-môđun Pn. Một trong những công cụ hữu hiệu để giải quyết bài toánhit là đồng cấu KamekoSqf0∗= (fSq0∗)(n,n+2d): (QPn)n+2d → (QPn)d. Đồng cấu nàyđược cảm sinh từ ánh xạ F2-tuyến tính ϕ : Pn −→ Pn xác định bởi:

ϕ(x) =



u nếu x = x 1 x 2 x n u2,

0 các trường hợp khác,

với x là đơn thức tùy ý trongP n

Bài toán hit đã được giải tường minh bởi Peterson [10] với số biến n 6 2.

Trường hợpn = 3 được Kameko nghiên cứu trong Luận án tiến sĩ [6] tại TrườngĐại học Johns Hopkins năm 1990 Sau đó, N Sum giải quyết cụ thể cho trườnghợp n = 4 trong các bài báo [17]

Như đã biết, giải bài toán hit tương đương với việc xác định một cơ sở củakhông gian véctơ QPn tại mỗi bậc d >0. Tuy nhiên, từ một kết quả của Woodtrong [21], chúng ta chỉ nghiên cứu không gian QPn tại các bậc d có dạng nhưsau:

d = t(2s− 1) + 2sm, (1)với t, s, m là các số nguyên không âm thỏa mãn µ(m) < t6n, trong đó

nếu và chỉ nếu τ >τ (n, m) = max{0, n − α(n + m) − ς(n + m)}, trong đó ký hiệu

α(k)là số các hệ số 1 trong khai triển nhị phân của k và ς(k)là số nguyên dươnglớn nhất p sao cho k chia hết cho 2p. Kết quả này là một mở rộng kết quả củaHưng trong [5] về tính chất đẳng cấu lặp của đồng cấu Kameko [6] Hơn nữa,thông qua kết quả của Tín-Sum [20], để xác định không gian QPn tại các dạngbậcd như trong (1), chúng ta chỉ cần xét các trường hợp 16s6τ (n, m).

Việc nghiên cứu bài toán hit tại các bậc d có dạng (1) là rất phức tạp và đòihỏi nhiều kỹ thuật Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, thông qua một vài tínhchất đặc biệt của các phần tử sinh của A-môđun P n, quá trình giải bài toán hit

có thể thuận lợi hơn Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chi tiết các kếtquả trong bài báo [18] về một số tính chất của các phần tử sinh của đại số đathức Pn được xét như một môđun trên đại số Steenrod Từ đó, nghiên cứu vàtính toán tường minh bài toán hit tại bậcd có dạng (1) với t = n = 5 và m = 10.

Cấu trúc của luận văn này gồm phần Mở đầu, Phần nội dung, Kết luận vàTài liệu tham khảo Phần nội dung của luận văn được chia thành 4 chương

• Chương 1 trình bày một số kiến thức đã biết về bài toán hit của Peterson.Các kiến thức trong chương này sẽ được sử dụng cho các chương tiếp theo

•Chương 2 trình bày cách xây dựng một số đồng cấu và chứng minh một vàitính chất đặc biệt của các phần tử sinh của đại số đa thức P n như một môđuntrên đại số Steenrod

• Trong Chương 3, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả trong [18] về bài toánhit đối với số biếnn = 5 và tại bậc d = 5(2s− 1) + 10.2 s với s là số nguyên không

và truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu và kinh nghiệm trong quá

trình nghiên cứu khoa học, để tác giả hoàn thành luận văn này một cách tốtnhất.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Quy Nhơn,Phòng đào tạo sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng quý thầy, cô giáogiảng dạy lớp Cao học Toán Đại số và lí thuyết số K20

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến các anh chị em học viên lớp Cao học ToánĐại số và lí thuyết số khóa 20, gia đình và bạn bè đã quan tâm và giúp đỡ tácgiả trong suốt 2 năm học Cao học tại trường Đại học Quy Nhơn

Cuối cùng, tác giả hy vọng rằng luận văn này là tài liệu hữu ích cho các sinhviên, học viên cao học đang tìm tòi và nghiên cứu về bài toán hit trong lĩnh vựcTôpô đại số

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về đại số Steenrod trên trường

F2 Các kiến thức trong phần này chủ yếu dựa theo các tài liệu [1, 2, 7, 13].Đại số Steenrod là đại số phân bậc, kết hợp, có đơn vị trên trường F2 sinhbởi các toán tử đối đồng điều

Sqm : Hd(X) → Hd+m(X),

là các phép biến đổi tự nhiên trên đối đồng điều kỳ dị của không gian tôpô X,xác định với mọid, m >0.Các toán tử này được gọi là toán tử Steenrod và giaohoán với "phép treo”; do đó chúng được gọi là các toán tử đối đồng điều ổn định.Đại số Steenrod thường được ký hiệu làA.

Năm 1950, Cartan [2] chỉ ra rằng

Sqm(xy) = X

i+j=m

Sqi(x)Sqj(y),

Một vài tính chất của toán tử Steenrod trong [7] như sau:

(i) Sqm(x) = 0 nếu m >deg(x).

(ii) Sq0 là toán tử đồng nhất

(iii) Sqm(x) = x2 nếu m =deg(x).

Mệnh đề 1.1.1 (Mosher-Tangora [7]) Với mỗi x ∈ H1(X), ta có

Sqm(xj) =



j m



xm+j,

trong đó mj
là hệ số được tính theo modulo 2.

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp như sau:



xm+1+j =



j + 1 m



xm+1+j.

Định lý 1.1.2 (Mosher-Tangora [7]) Toán tử Steenrod Sqm là không phân tíchđược khi và chỉ khi m có dạng m = 2k với k>0. Từ đó, đại số Steenrod sinh bởicác toán tử Sq0 và Sq2k với mọi k>0.

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh nếu Sqm không phân tích được thì

m = 2k với k>0.

Giả sử m = a + 2k với k là số nguyên dương lớn nhất sao cho2k 6m. Khi đó

0 < a < 2k. Theo quan hệ Adem, ta có

Steenrod, ta có

0 6= x2k+1 = Sq2k(x2k) = X

i 1 +i 2 +···+i r =2 k

Sqi1 Sqi2 Sqir (x2k) = 0.

Điều này là mâu thuẫn Vậy Sqm không phân tích được

Từ đó, chúng ta thấy rằng đại số Steenrod được sinh bởiSq0 và Sq2k với mọi

k>0.

Cho I = (i1, i2, , ir) là một bộ gồm r số nguyên dương Ta nói dãy I làdãy chấp nhận được nếu ij > 2ij+1 với 1 6 j 6 r − 1. Một tích các toán tử

Sqi1 Sqi2 Sqir được gọi là một đơn thức có độ dài r và có bậc lài1+ i2+ · · · + ir.

Đơn thức SqI := Sqi1 Sqi2 Sqir được gọi là đơn thức chấp nhận được nếu I làmột dãy chấp nhận được

Với mỗi s >0, ký hiệu As là F2-không gian véctơ sinh bởi các đơn thức SqI

bậc s. Ta nói degSqI = s nếu SqI ∈ As. Do đó, A = L

s >0

As. Ta cũng ký hiệu

A + = L

s>0

A s là ideal bổ sung của A sinh bởi các đơn thức bậc dương

Nhận xét 1.1.3 Giả sử SqI = Sqi1 Sqi2 · · · Sq i k là đơn thức không chấp nhậnđược Thế thì tồn tại s sao cho 0 < is < 2is+1.Khi đó, theo quan hệ Adem, ta có

Năm 1953, Serre [13] chỉ ra rằng các toán tử Steenrod sinh ra tất cả các toán

tử đối đồng điều ổn định và đại số Steenrod có một cơ sở cộng tính được gọi là

cơ sở chấp nhận được Kết quả này là định lý sau đây

Định lý 1.1.4 (Mosher-Tangora [7], Serre [13]) Tập hợp tất cả các đơn thứcchấp nhận được là một cơ sở cộng tính của đại số Steenrod A, xem như là F2-không gian véctơ phân bậc

Sau đây là một số ví dụ về cơ sở chấp nhận được và số chiều của F2-khônggian véctơAd với 16d 69.

Như đã trình bày trong phần Mở đầu, chúng tôi nghiên cứu bài toán tìm một

hệ sinh tối tiểu của F2-đại số đa thức phân bậcPn =F2[x1, , xn] được xét nhưmột môđun trên đại số SteenrodA Trong phần này, chúng tôi nhắc lại cấu trúc

A-môđun trái không ổn định của Pn.

Ký hiệu RP∞ là không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều Biết rằng H∗(RP∞) ∼ =

F2 [x] với x ∈ H1(RP∞); do đó theo Định lý K¨unneth về đối đồng điều kỳ dị, tacó

Cho α i (a) là hệ số thứ i trong khai triển nhị phân của một số nguyên không

âm a Điều đó nghĩa là a = α0(a)20+ α1(a)21+ α2(a)22+ , với αi(a) = 0 hoặc 1

với i ≥ 0. Khi đó đơn thức x được viết lại như sau:

với ω i (x) =P1≤j≤nα i−1 ν j (x) = degXJi−1(x), i ≥ 1.

Các dãy ω(x) và σ(x) theo thứ tự được gọi là véctơ trọng lượng và véctơ lũythừa liên kết với x

Cho ω = (ω1, ω2, , ωi, ) là một dãy các số nguyên không âm Dãy ω đượcgọi là véctơ trọng lượng nếu ωi = 0 nếu i  0 Chúng ta quy ước tập hợp tất

cả các véctơ trọng lượng và véctơ lũy thừa được sắp xếp thứ tự toàn phần theoquan hệ thứ tự từ điển bên trái

Với ω là một véctơ trọng lượng, định nghĩa degω = Σi>02i−1ωi Nếu có i0 =

0, i 1 , i 2 , , i r > 0 sao cho i 1 + i 2 + + i r = m, ω i 1 +i 2 + +i s−1 +t = b s , 1 ≤ j ≤ i s , 1 ≤

s ≤ r, và ωi = 0 với mọi i > m thì ta viết ω = (b(i1 )

Định nghĩa 1.3.2 Cho ω là một véctơ trọng lượng và hai đa thức thuần nhấtcùng bậc f, g trong P n

(i) f ≡ g khi và chỉ khi (f + g) ∈ A+Pn Nếu f ≡ 0 thì f gọi là đa thức hit.(ii) f ≡ω g khi và chỉ khi (f + g) ∈ A+Pn+ Pn−(ω)

(iii) f '(s,ω) g khi và chỉ khi (f + g) ∈ A+sPn+ Pn−(ω)

Dễ thấy các quan hệ trong (i), (ii) và (iii) là các quan hệ tương đương Nếu

f ≡ ω g thì f '( s, ω)g, với mọi s>0 Nếu x là một đơn thức bất kỳ trong P n và

ω = ω(x), thì ta kí hiệu x ' s g khi và chỉ khi f '(s,ω)g.

Mệnh đề 1.3.3 (Sum [17]) Chox, y là các đơn thức vàf, g là các đa thức thuầnnhất trong Pn sao cho degx =degf,degy =degg.

(i) Nếu ωi(x)61 với i > s và x 't f với t6s thì xy2s 't f y2s.

(ii) Nếu ωi(x) = 0 với i > s, x 's f và y 'r g thì xy2s 's+r f g2s.

Ký hiệu QPn(ω) là không gian thương của Pn(ω) theo quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.3.4 (Kameko [6]) Cho x, y là hai đơn thức cùng bậc trong Pn

Ta nói rằng x < y khi và chỉ khi một trong các điều sau đúng:

(i) ω(x) < ω(y);

(ii) ω(x) = ω(y) và σ(x) < σ(y)

Định nghĩa 1.3.5 (Kameko [6]) Một đơn thức x ∈ Pn được gọi là không chấpnhận được nếu tồn tại các đơn thứcy 1 , y 2 , , y m ,sao choy t < xvới t = 1, 2, , m

và x ≡ P

1 6t6m

y t

Đơn thức x bất kỳ trong Pn được gọi là chấp nhận được nếu nó không là đơnthức không chấp nhận được.

Định nghĩa 1.3.6 (Kameko [6]) Đơn thức x trong P n được gọi là không chấpnhận được chặt nếu tồn tại các đơn thứcy 1 , y 2 , , y m sao cho sao cho y t < xvới

với k = max{r : ω r (x) > 0} và đơn thức thích hợp g j ∈ P n

Từ các định nghĩa trên, rõ ràng tập hợp tất cả các đơn thức chấp nhậnđược cùng bậc trong Pn là một tập sinh cực tiểu của Pn như môđun trên đại sốSteenrod A

Định lý 1.3.7 (Kameko [6], Sum [17]) Cho x, y, w là các đơn thức trong Pn saocho ωi(x) = 0 với i > r > 0, ωs(w) 6= 0 và ωi(w) = 0 với i > s > 0

(i) Nếu w là không chấp nhận được thì xw2r cũng không chấp nhận được.(ii) Nếu w là không chấp nhận được chặt thì wy2s cũng không chấp nhận đượcchặt

Chúng tôi kết thúc phần này bằng việc nhắc lại một số kí hiệu Đặt

Pn0= h{x = x1a1 x2a2 xnan : a1a2 an = 0}i;

Pn+= h{x = x1a1 x2a2 xnan : a1a2 an > 0}i.

Khi đó, Pn0 và Pn+ là các A-môđun con của Pn Hơn nữa, ta có điều sau đây.Mệnh đề 1.3.8 Ta có sự phân tíchQPn thành tổng trực tiếp các F2-không giancon như sau:

QPn = QPn0⊕ QPn+,

trong đó, QPn0=F2⊗APn0 và QPn+ =F2⊗APn+

Từ mệnh đề này, nếu biết một hệ sinh tối tiểu trongA-môđunPn−1 thì ta cóthể dễ dàng xác định một cơ sở của QPn0. Do đó, để xác định QP n tại một dạngbậc nào đó, ta chỉ cần xác định một cơ sở của QPn+ tại dạng bậc đó

1.3.3 Đồng cấu Kameko và tiêu chuẩn đơn thức hit của Singer

Trong phần này, chúng tôi trình bày định nghĩa đồng cấu của Kameko [6] vàtính chất của nó Chúng tôi cũng nhắc lại một kết quả của Singer [15] về các đathức hit trongP n Các kiến thức này sẽ được sử dụng cho các chương tiếp theo.Định nghĩa 1.3.9 (Kameko [6]) Cho x là đơn thức bất kỳ trong Pn. Địnhnghĩa các F2-đồng cấu không gian véctơ ψ, ϕ : Pn → Pn xác định bởi

ψ(x) = x1x2 xnx2; ϕ(x) =

Định nghĩa 1.3.12 Một đơn thứcz trongPn được gọi là spike nếuνj(z) = 2sj −1

với sj là một số nguyên không âm vàj = 1, 2, , n. Nếu z là một đơn thức spikevới s 1 > s 2 > > s r−1 >s r > 0 và s j = 0 với j > r thì nó được gọi là đơn thứcspike cực tiểu

Mệnh đề 1.3.13 (Phúc-Sum [11]) Tất cả các đơn thức spike trong Pn là đơnthức chấp nhận được và các véctơ trọng lượng của nó là dãy giảm yếu Hơn nữa,nếu một véctơ trọng lượng ω là dãy giảm yếu và ω1 6 n thì có một đơn thứcspike z trong Pn sao cho ω(z) = ω

Định lý sau đây giúp cho ta xác định các đơn thức hit trong Pn mà khôngthông qua định nghĩa

Định lý 1.3.14 (Singer [15]) Cho x là đơn thức bậc d trong Pn, ở đó µ(d)6n.

Nếu z là đơn thức spike cực tiểu bậc d trong Pn mà ω(z) > ω(x) thì x là đơn thứchit

Chương 2

Một số tính chất về các phần tử

môđun trên đại số Steenrod

Trong chương này, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả trong các bài báo [18]

về cách xây dựng và một số tính chất của các phần tử sinh của đại số đa thức

Pn như một môđun trên đại số Steenrod

với i 0 = 0 và i r+1 = n + 1.

Định nghĩa 2.1.1 Cho (i; I) ∈ Nn, r = l(I) và u là một số nguyên thỏa mãn

16u6r Một đơn thứcx ∈ Pn−1 được gọi làu-tương thích đối với cặp (i; I)nếutất cả các điều sau đây là đúng:

(i) νi1−1(x) = νi2−1(x) = = νiu−1−1(x) = 2r− 1,

(ii) νiu−1(x) > 2r− 1,

(iii) α r−t (ν i u −1 (x)) = 1, ∀t, 16t 6u,

(iv) αr−t(νi−1(x)) = 1, ∀t, u < t6r

Rõ ràng, một đơn thức x chỉ có thể là u-tương thích đối với (i; I) ∈ Nn đãcho tối đại một giá trị của u Quy ước x là 1-tương thích với (i; ∅).

Với 16 i6n, định nghĩa đồng cấu F2-đại số f i : P n−1 −→ P n xác định bởi

(x2ir−1fi(x))/x(I,u) nếu tồn tại u sao cho

x là u-tương thích với (i, I),

0 các trường hợp khác

Khi đó ta có ánh xạ F2-tuyến tính , φ(i;I) : Pn−1−→ Pn Đặc biệt φ(i;∅) = fi

Ta dễ dàng thấy rằng nếu φ(i;I)(x) 6= 0 thì ω(φ(i;I)(x)) = ω(x)

Định nghĩa 2.1.3 Với bất kì (i; I) ∈ Nn, định nghĩa đồng cấu đại số p(i;I) :

Chú ý rằng p(i;I) cũng là một đồng cấu A-môđun Đặc biệt, p(i;∅)(x i ) = 0 và

p(i;I)(f i (y)) = y, ∀y ∈ P n−1

Bây giờ, cho tập hợp B ⊂ Pn, ta ký hiệu [B] = {[f ] : f ∈ B} Nếu B ⊂ Pn(ω),thì ta đặt [B]ω = {[f ]ω : f ∈ B}

Ta thấy rằng nếu B là tập sinh cực tiểu A-môđun P n−1 tại bậc n, thì Φ0(B)

là tập sinh cực tiểu củaA-môđun Pn0 tại bậc n và Φ+(B) ⊂ Pn+.

Từ đây trở về sau, chúng tôi luôn ký hiệu Bn(d) là tập hợp tất cả các đơnthức chấp nhận được bậc d trong P n Đặt

Giả thuyết 2.1.4 Nếu ω là một véctơ trọng lượng thì Φ(Bn−1(ω)) ⊆ Bn(ω).

Chúng ta thấy rằng nếu giả thuyết này đúng thì Φ(Bn−1(d)) ⊆ Bn(d), với d

là số nguyên dương bất kỳ Dựa vào các kết quả của Peterson [10], Kameko [6]

và Sum [17], giả thuyết này đúng với n 6 4. Trong Chương 3, chúng tôi sẽ chỉ

ra giả thuyết này cũng đúng cho trường hợp n = 5 và bất kỳ véctơ trọng lượngbậcd = 15.2s − 5 với s là số nguyên không âm tùy ý

Bổ đề 2.2.3 (Sum [17]) Cho (i; I) ∈ Nn và d, h, u là các số nguyên sao cho

l(I) = r < h6d và 16i < u6 n Khi đó ta có

φ(i;I)(X2hư1)Xu2dư2h 'r+2 φ(i;I∪u)(X2dư1).

Sau đây, chúng tôi trình bày phép chứng minh một số tính chất về các phần

tử sinh củaA-môđunPn. Các kết quả này là công cụ để nghiên cứu bài toán hit.Mệnh đề 2.2.4 Với bất kì số nguyên 0 < l6n,

Với 16u6l, sử dụng giả thiết quy nạp và Mệnh đề 1.3.3, ta có

Xu2l+1ưuư1(Xu2uư1x2uu)2l+1ưu 'l+1 Xu2l+1ưuư1(

n

X

t=u+1

Xt2uư1x2tu+

Xu2l+1ưuư1(Xt2uư1x2tu)2l+1ưu 'l φ(u;t)(X2l+1ư1)x2tl+1

Xu2l+1ưuư1(φ(i;I∪t)(X2uư1)x2tu)2l+1ưu 'l φ(i;I∪t∪u)(X2l+1ư1)x2tl+1.

Mệnh đề 2.2.6 Cho d, h, t, u là các số nguyên sao cho 1 6 u < d ư n + t, 0 <

t < h6n, x là một đơn thức trong P n Khi đó ta có

Z := φ(i;It)(X2dưuư1)X2dư2dưux2d 'nưt+1φ(i;It)(X2dư1)x2d.

Chứng minh Ta chứng minh mệnh đề này bằng quy nạp theo cặp (t, u)

Z 'nưt+1φ(t+1;It+1)(X2nưtư1)(Xt2dưn+tư1Xh2dưn+tư1ư1x2dưn+t)2nưt

= φ(t+1;It+1)(X2nưtư1)Xh2dư1ư2nưt(Xtx2)2dư1' nư1 φ(t+1;It+1)(X2dư1ư1)(X t x2)2dư1

= φ(t+2;I )(X2nưtư1ư1)(Xt+12dưn+tư1Xt2dưn+tx2dưn+t+1)2nưtư1.

Vìn − s + 26 n, mệnh đề đúng.

Bây giờ, bằng cách áp dụng các tính chất trên, chúng tôi chứng minh kếtquả sau đây Chú ý rằng, kết quả này đã được chứng minh trong [17] bằng cáchkhác

Chứng minh Đầu tiên, ta chứng minh quan hệ sau bằng quy nạp theo t >1.