Lý thuyết và bài tập xác suất thống kê có lời giải

+ Chú ý: Để nhận biết một biến ngẫu nhiên X có tuân theo qui luật phân phối chuẩn hay không, ta chỉ cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn qui tắc hai xích ma và ba xích ma hay không.. 1 Số khá

BÀI LÀM

Câu 1:

1) Phân phối Poisson:

Biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số λ > 0 Ký hiệu X P ( λ ) nếu phân phối xác suất của nó có dạng:

2) Phân phối chuẩn:

Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn dạng tổng quát X N( , ) nếu hàm mật

độ của nó có dạng:

f(x) =

√

- Giá trị tới hạn chuẩn mức ký hiệu là giá trị của biến ngẫu nhiên U thỏa mãn:

- Quy tắc hai xích ma và ba xích ma:

Cho X N( , ) Khi đó:

+ P (| | < 2 ) = 2 (2) 0, 9544: gọi là qui tắc hai xích ma

+ P (| | < 3 ) = 2 (3) 0, 9973: gọi là qui tắc ba xích ma

+ Chú ý:

Để nhận biết một biến ngẫu nhiên X có tuân theo qui luật phân phối chuẩn hay

không, ta chỉ cần kiểm tra xem nó có thỏa mãn qui tắc hai xích ma và ba xích ma hay không

- Một số chú ý:

+ Khi sử dụng qui luật phân phối nhị thức X B(n,p), nếu n quá lớn (n 20) và p quá nhỏ (p < 0,1) thì ta dùng qui luật phân phối Poisson để thay thế cho qui luật phân phối nhị thức: X P(λ) với λ = n.p

+ Khi sử dụng qui luật phân phối nhị thức X B(n,p), nếu thỏa mãn hai điều kiện sau thì ta dùng qui luật phân phối chuẩn để thay thế:

Với n > 5 và

√ |√ √ | < 0,3 Khi đó, X N( , ) với = n.p và = npq, (q = 1 – p)

Như vậy, P (X = k)

√

=

√

√ ) Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong [a,b] được tính gần đúng là:

P( a ) hay P(a

√

√ )

3) Biến ngẫu nhiên liên tục và các đặc trưng của nó:

Biến ngẫu nhiên liên tục:

- Biến ngẫu nhiên là đại lượng mà kết quả của phép thử chỉ nhận một và chỉ một giá trị của nó tùy thuộc vào sự tác động của nhân tố ngẫu nhiên Các biến ngẫu nhiên

thường được ký hiệu: X, Y,Z, hoặc

- Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu giá trị của nó có thể nhận là tất cả mọi điểm trên khoảng (a,b) nào đó, a có thể là - và b có thể là +

Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục:

Mốt, ký hiệu , là giá trị của biến ngẫu nhiên làm cho hàm mật độ đạt cực đại nếu

là biến ngẫu nhiên liên tục

1) Số khách hàng vào siêu thị trong một giờ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật

Poisson với số khách trung bình là 8 khách hàng trong 1 giờ Tìm xác suất để trong một giờ nào đó có hơn 8 khách vào

Giải:

Gọi X là số khách hàng vào siêu thị trong vòng 1 giờ

Theo giả thiết X và E(X)= λ = 8

Vậy [

]

2) Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất như sau: {

Tính a Giải: f (x) = F’(x) = {

Theo tính chất hàm mật độ xác suất ∫

 ∫ ∫ ∫

∫ ∫

(a =1 => a = 2 3) Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: {

Tính xác suất để khi thực hiện3 lần phép thử thì có không quá 2 lần X > 0,5 Giải: Ta có: P(X > 0,5) = P(0,5< X< + ) = ∫ ∫ ∫

Gọi A là biến cố trong 3 lần thực hiện phép thử có không quá 2 lần X > 0,5 Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli nên ta có:

4) Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án được coi là một đại lượng ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn Theo đánh giá của ủy ban đầu tư thì lãi suất cao hơn 20% có xác suất 0,1587 và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228 Vậy khả năng đầu tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu? Giải: P(X > 20) = ( ) ( ) ( )

 ( )

 (1)

Tương tự: P(X > 25) = 0,0228 => (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy P(X > 0) = 0,5 -

= 0,5 -

= 0,5 + 0,4987 =0,9987 5) Năng suất lúa của một vùng là biến ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối chuẩn với tạ/ha và tạ/ha Tìm xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa ruộng có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha Giải: Gọi X là năng suất của thửa ruộng Theo giả thuyết X N(50; 3,6) Gọi A là biến cố thửa ruộng được gặt có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha P = P(A) = P(| | = P(49,5 = (

) (

)

( ) (

) (

)

Vậy xác suất để gặt ngẫu nhiên 3 thửa ruộng của vùng đó thì có 2 thửa ruộng có năng suất sai lệch so với năng suất trung bình không quá 0,5 tạ/ha là

( ( 0,033

6) Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại theo từng khu

vực gởi đi, máy đó có khả năng đọc 5000 bì thư trong 1 phút Khả năng đọc sai địa chỉ trên bìa thư là 0,04% Biết rằng các bì thư đọc một cách độc lập

a Tính số bì thư trung bình máy đó đọc sai trong mỗi phút

b Tính số bì thư có khả năng nhiều nhất mà máy đó đọc sai trong một phút

c Tính xác suất để trong một phút máy đó đọc sai ít nhất 3 bì thư

7) Một hãng hàng không cho phép được đặt vé vượt quá chỗ ngồi Một máy bay của

hãng có 95 chỗ ngồi và được bán với giá 300$ cho một vé Hãng đã bán ra 100 vé

cho một chuyến bay

a Nếu xác suất một khách hủy chuyến là 0,05; giả sử là độc lập, xác suất để máy

bay có đủ chỗ cho tất cả khách là bao nhiêu?

b Nếu hãng phải hoàn trả 300$ tiền vé và phí phạt 400$ cho mỗi hành khách không được bay, hỏi hãng sẽ phải trả trung bình bao nhiêu tiền cho mỗi

b Đặt g(x) = 12

Miền khảo sát: D = (0,1)

g’(x) = 24x – 36 = 0 ⌈

( )

e Gọi A là biến cố X nhận giá trị trong khoảng (0,4 ; 0,6) Theo câu d ta có

p = P(A) = 0,296 Vậy xác suất để trong 3 lần thực hiện phép thử có hai lần xảy ra biến cố A là:

9) Trọng lượng của một con gà là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng

lượng trung bình là 1kg và độ lệch chuẩn là 0.6kg Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên một con gà thì được con có trọng lượng

= ( ) ( )

=

c P( 1,4 < X < 1,8 ) = (

) (

)

= ( ) ( )

10) Một trường đại học có chỉ tiêu tuyển sinh là 3000 sinh viên a Giả sử 36000 thí sinh dự thi và xác suất thi đỗ của mỗi thí sinh là 15% Tính xác suất để số thí sinh trúng tuyển là không vượt quá chỉ tiêu b Cần cho phép tối đa bao nhiêu thí sinh dự thi sao cho xác suất thi đỗ 15% mà biến cố “số thí sinh trúng tuyển không vượt quá chỉ tiêu” có xác suất không nhỏ hơn 0,99 c Giả sử có 4260 thí sinh dự thi, xác suất để mỗi thí sinh thi đỗ là 70% Tính xác suất để trường đại học đó tuyển đúng chỉ tiêu cho phép Giải: a Gọi X là số thí sinh đỗ đại học Theo giả thiết: X

Ta có: {

√ |√

√

|

Nên X với √ √

Cần tính P( X

b Gọi n là số thí sinh dự thi X

Theo giả thiết: P( X

( )

Do hàm đồng biến nên

√ ĐK: n

Kết hợp đk ta được n

Vậy số thí sinh dự thi tối đa cho phép là 19234 (thí sinh)

c Gọi Y là số thí sinh thi đỗ vào trường đại học

1) Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình:

Cho tổng thể Khi đó, thủ tục kiểm định giả thiết về tham số được thực hiện như sau:

- Trường hợp 1: Nếu đã biết:

 Nếu miền bác bỏ một phía thì: ( | |√ )

 Nếu miền bác bỏ hai phía thì: ( | |√ )

- Trường hợp 2: Nếu chưa biết

{ √ }

{ √ | | }

Trong đó, các giá trị tới hạn được tra bảng theo công thức P(T < Xác suất mắc sai lầm loại II: Giả sử giá trị thực của là :

 Nếu miền bác bỏ một phía thì: ( | |

2) So sánh hai giá trị trung bình:

Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập Các cặp giả thiết để

Miền bác bỏ:

Trong đó, các giá trị tới hạn được tra bảng theo công thức P(U < ) =

- Trường hợp 2: nếu các phương sai chưa biết

Giả thuyết gốc:

Tiêu chuẩn kiểm định:

√

√ }

√ | | ⁄ }

Câu 4:

1) Trong năm trước, trọng lượng trung bình trước khi xuất chuồng của các con bò ở một

trại chăn nuôi là 380kg Năm nay người ta áp dụng thử một chế độ chăn nuôi mới với

hy vọng là bò sẽ tăng trọng lượng nhanh hơn Sau thời gian áp dụng, người ta lấy

ngẫu nhiên 50 con bò trước khi xuất chuồng đem cân thu được trọng lượng trung bình là 390kg Với mức ý nghĩa có thể cho rằng trọng lượng trung bình của các con bò trước khi xuất chuồng đã tăng lên hay không? Biết rằng trọng lượng các con bò là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn

là 35,2kg Tính giá trị P- value tương ứng Nếu trọng lượng xuất chuồng trung bình của các con bò thực sự là 395kg thì tính xác suất mắc sai lầm loại II trong kiểm định

trên

Giải:

Gọi X là trọng lượng của các con bò của trại chăn nuôi Theo giải thiết

Cặp giả thuyết cần kiểm định: {

Tiêu chuẩn kiểm định: √

Miền bác bỏ: ( )

Do U nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết Điều này có nghĩa là trọng lượng trung bình của các con bò trước khi xuất chuồng không tăng lên Giá trị P- value tương ứng là: P(U > 2,01)= 0,0222 Nếu thì xác suất mắc sai lầm loại II là: ( | |√

)

2) Trong thập niên 80, trọng lượng của thanh niên là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn vơi trọng lượng trung bình là 48kg Nay để xác định lại trọng lượng ấy, người ta chọn ngẫu nhiên 100 thanh niên để đo trọng lượng và được trọng lượng trung bình là 50kg và độ lệch chuẩn tổng thể Thử xem trọng lượng trung bình thanh niên hiện nay có thay đổi so với trước kia, với mức ý nghĩa 1% Tính xác suất mắc sai lầm loại II nếu trọng lượng trung bình thực sự là 51kg Giải: Gọi X là trọng lượng của thanh niên Đây là bài toán kiểm định tham số của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn khi đã biết phương sai tổng thể Cặp giả thuyết cần kiểm định là: {

Với n = 100; ta có:

Ta có: √ √

Miền bác bỏ:

Vì U nên chưa có cơ sở bác bỏ tức là trọng lượng sinh viên hiện nay không thay đổi so với trước kia, với mức ý nghĩa 1%

Xác suất mắc sai lầm loại II:

( | |√

3) Tại một xí nghiệp người ta xây dựng hai phương án gia công cùng một loại chi tiết

Để đánh giá xem chi phí trung bình về nguyên liệu theo hai phương án ấy có khác nhau hay không, người ta tiến hành sản xuất thử và thu được các kết quả sau:

Phương án 1: 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5

Phương án 2: 2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6

Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về vấn đề trên biết rằng chi phí nguyên liệu theo

cả hai phương án gia công đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với

4) Tỷ lệ khách hàng tiêu dùng một loại sản phẩm ở địa phương A là 60% Sau một

chiến dịch quảng cáo người ta muốn đánh giá xem chiến dịch quảng cáo này có thực

sự mang lại hiệu quả không Để làm điều đó, người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 400 khách hàng thì thấy có 250 người tiêu dùng loại sản phẩm nói trên Với mức ý nghĩa 0,05 hãy kết luận về hiệu quả của chiến dịch quảng cáo đó Tìm xác suất mắc sai lầm loại II khi tỷ lệ tiêu dùng sản phẩm thực sự là 0,65

√

√

√

√

5) Tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét ở một huyện miền núi là 0,07 Trong lần kiểm tra ngẫu

nhiên 350 người thấy có 30 người mang vi trùng sốt rét Với mức ý nghĩa 0,05, có thể cho rằng tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét trong vùng đã tăng lên hay không?

Giải:

Gọi p là tỷ lệ người mắc bệnh sốt rét

Đây là bài toán kiểm định tham số p của biến ngẫu nhiên phân phối A(p)

Cặp giả thuyết kiểm định:

{ Miền bác bỏ:

Ta có: n = 350 => f =

√

6) Trọng lượng đóng bao của các bao gạo trong một kho là biến ngẫu nhiên tuân theo

quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình là 50kg Nghi ngờ các bao gạo

bị đóng thiếu, người ta cân ngẫu nhiên 25 bao gạo và thu được bảng kết quả sau: Trọng lượng các bao gạo (kg) Số bao gạo tương ứng

a Hãy kết luận về điều nghi ngờ trên

b Tìm xác suất mắc sai lầm loại II khi trọng lượng đóng bao trung bình thực sự là 49,5kg

c Tính giá trị P

c Giá trị P- value tương ứng của kiểm định ở câu a là:

7) Để kiểm nghiệm hiệu quả của một loại thuôc tẩy giun cho lợn, người ta bắt ngẫu

nhiên14 con lợn từ một trại chăn nuôi và chia thành hai nhóm

Nhóm I (có 7 con lợn): Cho thuốc uống tẩy giun

Nhóm II (có 7 con lợn): không cho uống thuốc tẩy giun

Sau một thời gian dùng thuốc, khi giết thịt, hai nhóm lợn trên cho kết quả sau về số giun có trong những con lợn thuộc hai nhóm như sau:

{

Tiêu chuẩn kiểm định:

√ Ta có:

Vậy

√

Miền bác bỏ: ( ) ( )

Do T nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết Điều này có nghĩa là thuốc tẩy giun không làm giảm số lượng giun trong các con lợn hay thuốc tẩy giun không hiệu quả b Xác suất mắc sai lầm loại II:

( | |

√ )

8) Trọng lượng của một loại gà công nghiệp ở một trại chăn nuôi có phân phối Trọng lượng trung bình khi xuất chuồng năm trước là 2,8kg/con Năm nay, người ta sử dụng một loại thức ăn mới Cân thử 25 con khi xuất chuồng người ta tính được trung bình mẫu là 3,2kg và phương sai mẫu hiệu chỉnh 0,25 a Với mức ý nghĩa 5%, hãy kết luận xem loại thức ăn mới có thực sự làm tăng trọng lượng trung bình của đàn gà hay không? b Nếu trại chăn nuôi báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,3kg/con thì có chấp nhận được không với mức ý nghĩa 5%? Giải: Gọi X là trọng lượng của một con gà sau khi sử dụng loại thức ăn mới Giả thiết cho ta:  X có phân phối chuẩn  n =25  = 3,2(kg) 



a Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng với mức ý nghĩa

{

Vì n < 30; X có phân phối chuẩn

= D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau:

Vì n < 30; X có phân phối chuẩn chưa biết, nên ta kiểm định như sau:

Vì | | nên ta chấp nhận giả thiết

- Kết luận: với mức ý nghĩa 5%, báo cáo trọng lượng trung bình khi xuất chuồng là 3,3kg/con là chấp nhận được

9) Một hợp tác xã trồng thử 2 giống lúa, mỗi giống trên 30 thửa ruộng và được chăm

sóc như nhau Cuối vụ thu hoạch ta được số liệu như sau:

Năng suất trung bình (tạ/ha) Độ lệch chuẩn hiệu chỉnh

a Với mức ý nghĩa 2%, có thể xem năng suất của hai giống lúa trên là như nhau hay không?

b Với mức ý nghĩa 2%, có thể xem năng suất của giống lúa 2 cao hơn giống lúa 1 hay không?

Giải:

Gọi X, Y(tạ/ha) lần lượt là năng suất của giống lúa 1 và 2 Khi đó:

- Đối với X thì đề bài đã cho:

Vì | | nên ta chấp nhận giả thiết

- Kết luận: với mức ý nghĩa 2%, có thể xem năng suất của hai giống lúa trên

√

- Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm thỏa:

) = =

Ta được = 2,06

Vì – U = 1,7418 < 2,06 = nên ta chấp nhận giả thiết

- Kết luận: với mức ý nghĩa 2%, chưa thể xem năng suất của giống lúa 2 cao hơn giống lúa 1

10) Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng, người ta quan sát một mẫu và có

kết quả sau:

X/(cm) 95 – 105 105 – 115 115 – 125 125 – 135 135- 145 145- 155 155- 165

a Một tài liệu thống kê cũ cho rằng chiều cao trung bình của giống cây trồng trên là

127cm Hãy cho kết luận về tài liệu đó với mức ý nghĩa 1%

b Những cây trồng có chiều cao từ 135cm trở lên được gọi là những cây “cao”

Trước đây, tỷ lệ những cây “cao” của loại cây trồng trên là 40% Các số liệu trên

thu nhập được sau khi đã áp dụng một kỹ thuật mới Hãy cho kết luận về kỹ thuật

mới với mức ý nghĩa 5%

a Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng với mức ý nghĩa

{

Vì n chưa biết, nên ta có qui tắc kiểm định như sau: