Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm

Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm Phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao bằng phương pháp phần tử biên trung tâm

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn này, nghiên cứu tính hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm (gọi tắt là SBFEM), phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích ứng xử bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao Phương trình chủ đạo phương pháp phần tử biên trung tâm được thiết lập để phân tích bài toán chịu tải trọng bậc cao và điều kiện biên hỗn hợp Các bài toán được khảo sát để xem xét hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm như độ chính xác, khả năng hội tụ

so với lời giải tham khảo Kết quả đã chứng tỏ được tính hiệu quả, chính xác của phương pháp phần tử biên trung tâm với phương pháp phần tử hữu hạn ở Việt Nam đang sử dụng hiện nay

ABSTRACT

This study presented the effectiveness of Scaled boundary finite element method (SBFEM) for analysis of the two-dimensional elasticity problem The scaled boundary finite element formulation is formulated within general framework including the influence of distributed body source, mixed boundary condition, contributions of the side face Several examples are explored to veify the proposed method with analytical solution The result demonstrates its vast capapility, computational efficiency of the proposed method It is also effecitve numerical

method that has been using in Vietnam

MỤC LỤC

TRANG

LÝ LỊCH KHOA HỌC i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CẢM ƠN iii

TÓM TẮT ĐỒ ÁN iv

ABSTRACT v

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU viii

DANH SÁCH CÁC CHỮ VIẾT TẮT ix

DANH SÁCH CÁC HÌNH x

DANH SÁCH CÁC BẢNG xii

1

1.1 Đặt vấn đề 1

1.2 Tổng quan tình hình nghiên cứu 1

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước 1

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước 4

1.3 Mục đích nghiên cứu 4

1.4 Phương pháp nghiên cứu 5

1.5 Tính mới của đề tài 5

5

2.1 Mô tả bài toán 6

2.2 Phương trình cơ bản bài toán 7

2.3 Thiết lập phương trình dạng yếu bài toán 8

9

3.1 Phương pháp phần tử biên trung tâm 10

3.2 Hệ tọa độ chuyển cho phần tử biên trung tâm 11

3.3 Phương pháp xấp xỉ các trường của bài toán 13

3.4 Xây dựng phương trình chủ đạo của bài toàn trong hệ tọa độ của phương

pháp SBFEM 14

3.5 Lời giải cho phương trình dạng yếu 20

3.5.1 Nghiệm của phương trình vi phần thuần nhất 20

3.5.2 Tìm nghiệm riêng 22

3.5.3 Nghiệm tổng quát 24

3.6 Hàm dạng xấp xỉ trong phương pháp phần tử SBFEM 26

3.7 Lưu đồ tính toán SBFEM bằng Matlab 27

28

4.1 Bài toán tấm phằng chịu tải trọng kéo phân bố đều 29

4.2 Bài toán tấm phẳng chịu tải trọng phân bố đều với điều kiện biên khác nhau 32

4.3 Bài toán tấm phẳng có xét trọng lượng bản thân, chịu tải trọng bậc cao: 42

49

KẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU

 ……… Miền của bài toán

 ………Miền biên của bài toán

 (x 1 , x 2 ) ……… Trường ứng suất theo hai trục x 1 và x 2

 (x 1 , x 2 )……… Trường biến dạng theo hai trục x 1 và x 2

u (x 1 , x 2 ) ……….Trường chuyển vị theo hai trục x 1 và x 2

b (x 1 , x 2 ) ……… Trường trọng lượng theo hai trục x 1 và x 2

D .Ma trận đặc trưng vật liệu

E………Mođun đàn hồi của vật liệu

 ……… Hệ số Poisson của vật liệu

W ………Ma trận xấp xỉ các trọng số dư theo trục 

B1 ……… Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục s

B2 ……… Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị tương ứng trục 

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 2.1 Hệ tọa độ và điều kiện biên tổng thể của bài toán phẳng 6

Hình 2.2 Mô hình  và b trên mỗi phần tử của bài toán phẳng 7

Hình 3.1 Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho bài toán biên xác định 10

Hình 3.2 Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài toán 11

Hình 3.3 Hệ tọa độ SBFEM, tâm O, bán kính 15

Hình 3.4 Hàm dạng và chuyển vị tương ứng cho các phần tử bậc 1, 2, 3 27

Hình 4.1 Mô hình tấm phẳng 29

Hình 4.2 Thiết lập phần tử tính toán 30

Hình 4.3 Khảo sát phương pháp SBFEM với 4 phần tử 30

Hình 4.4 Khảo sát phương pháp SBFEM với 8 phần tử 32

Hình 4.5 Khảo sát phương pháp SBFEM với 16 phần tử 32

Hình 4.6 Mô hình tấm phẳng 33

Hình 4.7 Tâm SC bên trong (a) và tâm SC trên biên (b) của phần tử 34

Hình 4.8 Tâm bên trong với 4 phần tử 35

Hình 4.9 Tâm bên trong với 8 phần tử 35

Hình 4.10 Tâm bên trong với 16 phần tử 36

Hình 4.11 Tâm trên biên với 2 phần tử 36

Hình 4.12 Tâm trên biên với 4 phần tử 37

Hình 4.13 Tâm trên biên với 8 phần tử 37

Hình 4.14 Mô hình phân tích các điểm trên cạnh AC 39

Hình 4.15 Biểu diễn chuyển vị u1 39

Hình 4.16 Biểu diễn chuyển vị u2 40

Hình 4.17 Biểu diễn ứng suất 11 40



Hình 4.19 Bài toán tấm phẳng 42

Hình 4.20 SBFEM phân tích bài toán với 4 phần tử 44

Hình 4.21 SBFEM phân tích bài toán với 8 phần tử 44

Hình 4.22 SBFEM phân tích bài toán với 16 phần tử 45

Hình 4.23 SBFEM phân tích bài toán với 32 phần tử 45

Hình 4.24 Kết quả chuẩn hóa chuyển vị u1 trên cạnh AC 46

Hình 4.25 Kết quả chuẩn hóa chuyển vị u2 trên cạnh AC 47

Hình 4.26 Kết quả chuẩn hóa ứng suất 11 trên cạnh AC 47

Hình 4.27 Kết quả chuẩn hóa ứng suất 22 trên cạnh AC 48

DANH SÁCH CÁC BẢNG

Bảng 4.1 Kết quả ứng suất tại điểm M với số phần tử (N) và số bậc tự do (DOF) 31

Bảng 4.2 Kết quả chuyển vị tại điểm M với tâm SC ở tâm 38

Bảng 4.3 Kết quả chuyển vị tại điểm M với tâm SC ở trên biên 38

Bảng 4.4 Kết quả ứng suất tại điểm M với tâm SC ở tâm 38

Bảng 4.5 Kết quả chuyển vị tại điểm C 46

Bảng 4.6 Kết quả ứng suất tại điểm C 46

TỔNG QUAN Đặt vấn đề

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số được ứng dụng rộng rãi trong phân tích các bài toán kỹ thuật của các ngành xây dựng, cầu đường, hàng không, cơ khí, cơ sinh học và các ngành khác, tính toán theo phương pháp rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử liên kết với nhau tại các nút của phần tử Tuy nhiên, đối với các kết cấu phức tạp, có điều kiện biên hỗn hợp, chuyển vị theo nhiều phương thì phương pháp này phân tích độ chính xác và khả năng hội tụ còn có những hạn chế Để khắc phục nhược điểm trên, các nước tiên tiến trên thế giới đã phát triển phương pháp phần

tử hữu hạn theo nhiều hướng khác nhau với mục đích làm tăng tính chính xác và hội

tụ như phương pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM), phương pháp phần tử biên trung tâm (Scaled Boundary Finite Element Method - SBFEM) Luận văn này phân tích, đánh giá phương pháp phần tử biên trung tâm (SBFEM) để giải bài toán phẳng với điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao, so sánh kết quả tính với lời giải giải tích và cách giải bằng phần mềm ngôn ngữ lập trình Matlab [1-4] Từ

đó, rút ra kết luận về tính hiệu quả, đánh giá độ chính xác của phương pháp phần tử biên trung tâm so với các phương pháp khác đang được áp dụng tại Việt Nam

Tổng quan tình hình nghiên cứu

1.2.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

Trên thế giới, nhiều nước tiên tiến đã nghiên cứu phương pháp phần tử biên trung tâm để áp dụng tính toán các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: Năm

1999, Song và Wolf [5] đã nghiên cứu tìm lời giải cho phương pháp phần tử biên trung tâm có xét đến trọng lượng riêng Trong nghiên cứu này, trọng lượng riêng được xét dưới dạng hàm đa thức dọc theo hệ tọa độ bán kính của miền xem xét Đến năm 2001, Wolf và Song [6] tiếp tục phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm, thể hiện nhiều ưu điểm vượt trội Nghiên cứu xem xét xấp xỉ phần tử trên biên của bài toán kết hợp với tâm định vị, dẫn đến lời giải bán giải tích thu được cho bên trong

biên của bài toán Phương pháp phần tử biên trung tâm không chỉ kết hợp ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn mà kết hợp ưu điểm của phương pháp phần tử biên Sau khi xấp xỉ trên biên, hệ phương trình vi phân tuyến tính tổng quát được thiết lập trong hệ tọa độ của phương pháp phần tử biên trung tâm Từ đó, hệ phương trình vi phân cấp hai được thiết lập với biến độc lập theo phương bán kính r Sau khi giải hệ phương trình, lời giải bên trong biên được tìm dưới dạng giải tích

Trong thế kỷ XXI phương pháp phần tử biên trung tâm tiếp tục được nghiên cứu và phát triển rộng rãi hơn Năm 2002, Deeks và Wolf [7] đã áp dụng nguyên lý công ảo cho phương pháp phần tử biên trung tâm để giải quyết bài toán đàn hồi Các tác giả đã áp dụng nguyên lý công ảo truyền thống để phát triển công thức theo phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp này như một kỹ thuật mới có thể xem xét cả trọng lượng riêng, điều kiện biên bề mặt Kết quả nghiên cứu đã thể hiện được

độ chính xác, hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm Nghiên cứu được áp dụng để giải cả cho bài toán biên cố định và bài toán biên vô hạn Cũng trong năm

2002, Deeks và Wolf [8] đã phát tiển phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích ứng xứng cho bài toán có miền vô cực mà không cần giới hạn miền biên vô cực Phương trình vi phân tổng thể được giải và lời giải giải tích thu được theo phương bán kính của miền vô cực Đến năm 2004, Deeks [9] tiếp tục phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm giải bài toán biến dạng tĩnh Tác giả đưa ra kỹ thuật để xử lý điều kiện biên chuyển vị trên đường bề mặt (side faces) Tiếp theo đó, năm 2014 He

và các cộng sự [10] đã áp dụng chuỗi Fourier như hàm dạng để xấp xỉ phần tử trên biên của phương pháp phần tử biên trung tâm Các tác giả đã áp dụng kỹ thuật này để giải bài toán truyền nhiệt trong không gian hai chiều Kết quả đã chứng tỏ tốc độ hội

tụ và chính xác tốt hơn so với hàm dạng là đa thức Cũng trong năm 2014, Vu và các cộng sự [11] đã giới thiệu kỹ thuật mới để giải bài toán chịu tải tập trung bằng phương pháp phần tử biên trung tâm, nhóm nghiên cứu đã áp dụng phương trình chủ đạo quan

hệ giữa ứng suất và chuyển vị Từ đó lời giải thu được trên lời giải của phương trình chủ đạo và miền thông thường Điểm kỳ dị tại vị trí lực tập trung được xấp xỉ bằng lời giải chủ đạo và miền thông thường Các ví dụ đã chứng tỏ được kỹ thuật mới này

hiệu quả, đơn giản và kết quả chính xác cao khi sử dụng trong phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích bài toán chịu lực tập trung

Những năm tiếp theo, phương pháp này đã được nghiên cứu rộng rãi Như năm

2015, Sun và các cộng sự [12] đã phát triển phần tử đa giác dựa trên phương pháp phần tử biên trung tâm để phân tích bài toán nứt hai chiều Trường chuyển vị và ứng suất được mô hình bằng phương pháp phần tử biên trung tâm bằng lời giải bán giải tích Dựa vào tiêu chuẩn phá hoại, nghiên cứu để dự đoán vết nứt ban đầu trên hệ số tập trung ứng suất Năm 2016, Jun và các cộng sự [13] đã giới thiệu mô hình bán giải tích để phân tích dầm thép liên hợp bằng phương pháp phần tử biên trung tâm Nhóm nghiên cứu đã sử dụng SBFEM để phân tích dầm liên hợp như kết cấu thành mỏng

và lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Tiết diện dầm được xem xét như tấm nhiều lớp

và mặt cắt ngang tiết diện dầm thỏa mãn điều kiện của lý thuyết Timonsenko Nghiên cứu đã chứng tỏ được kết quả tốt hơn so với phương pháp khác Tiếp đến năm 2017, Krome F và Gravenkamp [14] đã giới thiệu công thức bán giải tích để mô phỏng và phân tích kết cấu có hình học dạng cung tròn bằng phương pháp phần tử biên trung tâm Trong nghiên cứu này, các tác giả đã chọn tâm của phương pháp SBFEM dựa trên hệ tọa độ trụ hay tròn trên một đường bao và di chuyển dọc theo hướng của tâm Kết quả nghiên cứu trong phân tích bài toán đàn hồi tuyến tính đã chứng tỏ được hiệu quả và độ chính xác cao so với phương pháp phân tử hữu hạn cơ bản Phương pháp phần tử biên trung tâm đã được nhiều tác giả nghiên cứu và áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau: bài toán đàn hồi, các bài toán kết cấu địa kỹ thuật, bài toán phân tích nứt cho vật liệu hai lớp, bài toán truyền nhiệt, bài toán truyền sóng [15-21]

Và gần đây nhất là năm 2019, Rungamornrat và Chung [22] đã nghiên cứu tính hữu dụng và chính xác của phương pháp phần tử biên trung tâm với biên chính xác

để phân tích bài toán tuyến tính hai chiều đa trường Các tác giả đã phát triển công thức phần tử biên trung tâm một cách tổng quát để giải bài toán đa trường cho cả biên

cố định và vô hạn Nghiên cứu xem xét giải quyết các điều kiện tải trọng bản thân, điều kiện biên hỗn hợp một cách duy nhất Ngoài ra, các tác giả đã xem xét các đặc trưng hình học dạng tròn như phần tử chính xác khi xấp xỉ trên đường biên của phần

tử biên trung tâm Hàm dạng xấp xỉ cơ bản đã được nghiên cứu đồng thời để so sánh tính hiệu quả của đường biên chính xác Kết quả nghiên cứu đã chứng tỏ được độ hội

tụ và hiệu quả so với phần tử tuyến tính tiêu chuẩn Năm 2019, Zhang và các cộng sự [23] nghiên cứu áp dụng phần tử biên trung tâm trong mô hình phá hoại không cục

bộ (nonlocal) Kết quả đã có thể chứng tỏ được những ưu điểm của phương pháp SBFEM Dolling và các cộng sự [24] phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm trong bài toán phân tích tấm vật liệu nhiều lớp có xem xét đến ảnh hưởng của ứng suất tại bề mặt tiếp xúc giữa các lớp Kết quả nghiên cứu thể hiện độ chính xác, hiệu quả của phương pháp SBFEM so với lời giải giải tích Năm 2020, Jia và các cộng sự [25] đã nghiên cứu lý thuyết phần tử bậc cao trong mô hình tính toán của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phân tích bài toán hai chiều, ba chiều

1.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Phương pháp phần tử hữu hạn đã được nghiên cứu và phát triển ở Việt Nam từ những năm 70 đến nay đã được áp dụng rộng rãi để giải các bài toán phức tạp trong nhiều lĩnh vực như cơ khí, xây dựng,…Tuy nhiên, các nước tiên tiến trên thế giới đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn theo quan niệm tính toán mới làm tăng tốc

độ hội tụ và chính xác, đó là phương pháp phần tử biên trung tâm mà ở Việt Nam đến nay chưa được nghiên cứu rộng rãi

Hiện nay, ở Việt Nam có Nguyen Van Chung [26] đã và đang nghiên cứu, phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm, tạo tiền đề cho sự phát triển và ứng dụng rộng rãi phương pháp này Tác giả đã phát triển phương pháp phần tử biên trung tâm

để phân tích bài toán phẳng hai chiều với đặc trưng hình học có tiết diện hình tròn Trong nghiên cứu này, tác giả đã giải quyết bài toán với điều kiện biên hỗn hợp, từ

đó áp dụng vào phân tích bài toán phẳng trong lĩnh vực cơ học đất Kết quả nghiên cứu đã chứng tỏ được độ chính xác, tốc độ hội tụ và hiệu quả của phương pháp nghiên cứu so với các nghiên cứu hiện hành và lời giải chính xác

Mục đích nghiên cứu

Theo tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước, đề tài sử dụng phương pháp

và tải trọng bậc cao, so sánh kết quả tính với phương pháp phần tử hữu hạn và cách giải bằng phần mềm ngôn ngữ lập trình Matlab Từ đó, rút ra kết luận về tính hiệu quả, đánh giá độ chính xác và tốc độ hội tụ của phương pháp phần tử biên trung tâm

so với cách tính theo phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu trong và ngoài nước về phương pháp phần tử biên trung tâm Tìm hiểu các lý thuyết bài toán phẳng theo phương pháp phần tử hữu hạn

Xây dựng phương trình, lời giải bài toán theo phương pháp phần tử biên trung tâm có biên cố định và biên vô hạn

Xem xét các ví dụ, giải bài toán điều kiện biên hỗn hợp và tải trọng bậc cao theo phương pháp phần tử biên trung tâm

Tính mới của đề tài

Trình bày ưu điểm của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phân tích bài toán phẳng với các điều kiện biên khác nhau

Phân tích hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm khi giải bài toán chịu tải trọng bậc cao với điều kiện biên hỗn hợp

Phân tích tính hiệu quả của phương pháp phần tử biên trung tâm trong phương pháp số so với các phương pháp khác về tốc độ hội tụ, độ chính xác

PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CHO BÀI TOÁN PHẲNG

Chương này mô tả bài toán tổng quát, các phương trình chủ đạo của bài toán thông qua các định luật cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn [1-3] Sau đó thiết lập phương trình dạng yếu cho bài toán xem xét

Mô tả bài toán

Hình 2.1 Hệ tọa độ và điều kiện biên tổng thể của bài toán phẳng

Xét bài toán phẳng có đặc trưng hình học, các điều kiện biên tổng thể và biểu diễn trong hệ trục tọa độ Ox x1 2 như Hình 2.1 Bài toán có xem xét đến trường trọng lượng bản thân b x x( , )1 2 ; điều kiện biên biểu diễn qua 0

1 2

( , )

t x x ; u x x0( , )1 2 hoặc điều kiện biên hỗn hợp trên biên cụ thể của bài toán Các hàm trọng lượng bản thân, tải trọng, điều kiện biên được biểu diễn dạng hàm đa thức bậc cao Bài toán xem xét các trường sau: trường chuyển vị u u x x= ( , )1 2 ; trường biến dạng  = ( , )x x1 2 ; trường ứng suất  = ( , )x x1 2 Vật liệu là đồng nhất đẳng hướng, mô đun đàn hồi vật liệu E và

hệ số poison v Trong đó véc-tơ các trường xem xét của bài toán như sau:

 : Miền bài toán xem xét

n

Phương trình cơ bản bài toán

Dựa theo các định luật cơ bản và quan hệ động học Các phương trình cơ bản của bài toán trong Hình 2.1 được biểu diễn như sau:

Hình 2.2 Mô hình  và b trên mỗi phần tử của bài toán phẳng

Phương trình cân bằng cơ bản của trường trọng lượng và ứng suất như sau:

Trong đó: D là ma trận đặc trưng vật liệu

Phương trình quan hệ trường biến dạng và chuyển vị:

E: Mođun đàn hồi của vật liệu

v : Hệ số Poisson của vật liệu

Thiết lập phương trình dạng yếu bài toán

Áp dụng phương pháp trọng số dư và phương pháp tích phân từng phần với giả thuyết Gauss-divergence [4] Phương trình dạng yếu của bài toán được thiết lập [7]

Từ phương trình (2.1) lấy tích phân từng phần cho toàn miền và nhân với trọng số

Phương trình (2.13) là phương trình dạng yếu cho bài toán tuyến tính phẳng

Xem xét quan hệ ứng suất và biến dạng từ phương trình (2.3) Phương trình dạng yếu được viết lại như sau:

Trong đó: t là tải trọng, điều kiện biên, lấy theo chiều dài biên của bài toán xem xét

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG YẾU BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ BIÊN TRUNG TÂM

(b) Tâm trên đường biên

và phân tích kết quả các trường biến dạng, ứng suất của bài toán

Phương pháp phần tử biên trung tâm

Phương pháp phần tử biên trung tâm là làm rời rạc hóa miền xác định của bài toán, bằng cách chia nó thành nhiều miền con (phần tử) Các phần tử này được liên kết với nhau tại các đường biên Xem xét xấp xỉ phần tử trên biên của bài toán kết hợp với tâm định vị Dẫn đến lời giải bán giải tích thu được cho bên trong biên của bài toán

Hình 3.1 Hệ tọa độ phần tử biên trung tâm cho bài toán biên xác định

Nội dung cơ bản của việc áp dụng phương pháp phần tử biên trung tâm như Hình 3.1 cho bài toán có miền xác định Trước tiên, một tâm định vị O của phương pháp SBFEM phải được xác định ở bên trong hoặc trên chu vi của bài toán phân tích Điểm góc trong hệ trục tọa độ dùng để xác định vị trí tâm O của phương pháp

SBFEM Chu vi của bài toán được xấp xỉ thành phần tử đường thẳng một chiều (line elements) Đặc trưng hình học của miền bài toán được xác định theo phương bán kính với hệ tọa độ  chạy từ tâm O đến chu vi của miền phân tích Khi đó hệ trục tọa độ chuyển được xác định như sau:  theo phương bán kính và s theo chu vi của miền xác định

Dọc theo chu vi, vị trí nút của phần tử ứng với trường chuyển vị sẽ được xác định và xấp xỉ thông qua các hàm dạng Từ đó phương trình chủ đạo được thiết lập

và giải thông qua hệ trục tọa độ chuyển theo chu vi của bài toán phân tích

Hệ tọa độ chuyển cho phần tử biên trung tâm

Phương pháp phần tử biên trung tâm được xem xét trong bài toán phẳng, vật liệu đồng nhất, đẳng hướng

Hình 3.2 Đặc trưng hình học và điều kiện biên của bài toán

Phương pháp phần tử biên trung tâm dựa trên một tập hợp tọa độ mới, được đặt theo

 và s Ta thiết lập được mối quan hệ giữa hệ tọa độ Descartes và hệ tọa độ chuyển (, s) [7] như sau :

b L

(3.1)

Từ phương trình (3.1) sử dụng ma trận Jacobian:

1 1

2

x x

x x

1 1 2

( )1

1( )

dx

x s

dx J

Phương pháp xấp xỉ các trường của bài toán [26]

Tọa độ một điểm bất kỳ trên đường biên C ( =1)của bài toán như hình 3.2, được biểu diễn qua hệ tọa độ s như sau:

( )

20 2

h s

h s

x x

X x

Từ đó, áp dụng vào phương trình quan hệ giữa ứng suất, biến dạng, trường ứng suất

 của bài toán được viết lại như sau:

Tương tự, hàm trọng số dư được xấp xỉ như sau:

( ) ( ) 1

Hình 3.3 Hệ tọa độ SBFEM, tâm O, bán kính

Bài toán xem xét có đặc trưng hình học và biểu diễn trong hệ tọa độ của phần tử biên trung tâm [26] như Hình 3.3 Miền của bài toán  gồm đường biên 1 và hai biên mặt bên  1s, 2s với tâm O( , ) x x1 2 Theo Hình 3.3 ta có:  =   1s 2s 1

, áp dụng các phương trình (3.16), (3.16), (3.19) với miền của bài toán xem xét trong Hình 3.3, phương trình (2.14) trở thành:

Trong hệ tọa độ của phương pháp SBFEM, trường chuyển vị được xấp xỉ trong hệ tọa độ( )  , s bằng uh như sau:

1,

m

i s i

Khi điều kiện biên của bài toán có một phần trường chuyển vị, trường chuyển vị bài toán Uh được phân tích thành  T

h = hu hc

U là tập hợp của các giá trị chuyển vị đã biết, còn hu

U là tập hợp các giá trị chưa biết Tương ứng với các giá trị của h

0

u b c c

(3.46)

1 ,

Lời giải cho phương trình dạng yếu

Tìm nghiệm của phương trình chủ đạo (3.53), là phương trình vi phân cấp hai không thuần nhất Nghiệm của phương trình được tìm qua việc tìm nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất và nghiệm riêng của bài toán [22], [26]

3.5.1 Nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất

Xét vế phải của phương trình (3.53)

Phương trình (3.60) là phương trình vi phân cấp hai thuần nhất, nghiệm của phương trình có dạng sau:

Như vậy : giá trị riêng của ma trận A

X : véc-tơ riêng của ma trận A

Ta tìm  bằng cách giải phương trình det(A−I)=0 và tìm X theo phương trình

* Nghiệm riêng do trường trọng lượng gây ra

Trường trọng lượng được xét và biểu diễn thông qua hàm đa thức trong hệ tọa

độ của phương pháp SBFEM như sau:

* Nghiệm riêng do các thành phần chuyển vị trên cạnh biên

Tương tự với trường trọng lượng, thành phần tải trọng trên cạnh biên được biểu diễn dưới dạng: