Tài liệu Vài lời giải hay cho một bài toán đẹp pdf

• Ẩn chứa nhiều điều khi tổng quát hóa.. • Cần sử dụng các kĩ thuật hay như: điểm rơi, tách-nhóm-ghép-tạo,.... • Thể hiện rõ đặc tính của BĐT quen thuộc... Tính đồng nhất đã làm khó AM-G

V y o

Đề bài: Cho , ,x y z∈R+ và x+ + ≤ C/m: y z 1

82

(câu 5 đề thi đại học khối A năm 2003)

Lý do chọn bài toán:

• Có thể giải bởi hầu hết các BĐT quen thuộc tử cổ điển đến hiện đại

• Ẩn chứa nhiều điều khi tổng quát hóa

• Cần sử dụng các kĩ thuật hay như: điểm rơi, tách-nhóm-ghép-tạo,

• Thể hiện rõ đặc tính của BĐT quen thuộc

Nhận xét:

• Dấu bằng của BĐT xảy ra tại 1

3

x=y= = z

• Gt là x + + ≤ nên xu hướng ta sẽ dùng BĐT cộng mẫu (xem mục IV) và tạo mẫu dạng y z 1

, a a a( 1),

xyz x +y +z a<

II Các l i gi%i

1.AM-GM(côsi)

Ta có:

2

82

x

C1:

82 81 41 40 41 40 40 82 81 41 40 41 40 40

Khi này ta đã bắt gặp dạng a a a( 1)

x +y +z a< và sẽ xử lý như sau:

40 41 40 41

41

1 40

41.

3

x

+

Chắc các bạn đã ra ?

C2:

→

3

41

81

AM GM

Khi này ta đã bắt gặp dạng xyz và sẽ xử lý như sau: 3 1

27

Chắc các bạn đã ra ?

B Cách gi i trên mang đậm tính AM-GM: ạ bậc ,điểm rơi ,tách

2.B.C.S(Bunhiacopxki)

Ta có

82 3 3 3

Ta sẽ chỉ cần chú ý tới: 3 3 3 1 ( ) 3( 1 1 1 )

Cũng gần giống như các cách giải với AM-GM Ta có 2 lựa chọn:

b/Mẫu x+ + Đến đâu tiếp tục có 2 cách y z

x y z

+ + Chắc các bạn đã ra ?

Bình: Vẻ đẹp đã phần nào lộ rõ: trái với AM-GM , BCS giúp tăng bậc

3.Mincopxki(pp tọa độ)

Chọn a x( , ), ( , ), ( , ) 1 b y 1 c z 1

.Ta có:

ar + br + cr ≥ ar+ +br cr

Qua việc xử lý B của mục 2 chắc chúng ta cũng đã định hướng được cho mình cách giải:

BCS

và dạng này y như B rồi Chắc các bạn đã ra ?

Bình: Bạn có thấy tuyệt diệu ? Hãy ghi nhớ Mincop khi có 2 2

+

4.Holder

(a +b +c )(x +y +z )(m +n +p ) ≥ (axm+byn+czp)

3

AM GM

Có:

2 2 2 2 2 2 3 2 2 2

= 3 2 2 2

3

3

8 AM−GM

Bình: Lời giải này có vẻ hơi gượng ép nhưng hãy cứ ghi nhớ nó

III M' r(ng

1.Từ những gì đã có

Sau khi thưởng thức 4 lời giải trên bạn có cảm nhận gì ? Nếu thấy nó rưa rứa như nhau thì ta hãy phân tích tính

hiệu quả của các cách giải qua mở rộng nho nhỏ:

• Thay đổi bậc: 3

→

• Thay đổi tính đồng nhất 2 2

3

3 9

Giờ ta quay lại thử

**Holder nè :

3

AM GM

**Bạn nhìn vào bảng so sánh sẽ thấy nếu ”song ki m hợp bích” cho AM-GM & BCS thì thật tuyệt vời

Tính đồng nhất đã làm khó AM-GM khi xử lý từng căn mà ở đây Mincop cũng pó tay trong việc hợp căn

Do đó công việc hợp căn hoặc phá căn sẽ cần AM-GM & BCS cùng làm.Dựa vào lời bình ta thấy BCS giúp tăng bậc >< AM-GM: hạ bậc Và thực tế thì BCS chỉ tăng lên bậc 2,4,16 còn AM-GM hạ từ cao xuống đâu cũng

chơi

Để phá căn ta sẽ lên 4 xuống 3:

1.Lên 4

2

4

2 2

2

3.9

( 9)

x x

x





2.Xuống 3

4

9

Làm xong 2 quá trình trên là ta đã đưa được từ 2

3

2

1

x y

+ ra Vấn đề cần giải quyết tại đây chỉ còn là

2.Sử dụng hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM

Với a a a1 , 2 , 3 , , ,a b b b n 1 2 , , 3 b > có n 0 n ( 1 1 )( 2 2 )( 3 3 ) ( ) n 1 2 3 n 1 2 3

a +b a +b a +b a +b ≥ a a a a + b b b b

Sử dụng kết quả n=3 ta có :

2 3

( 9) 9

+

→

2 3

1 ( 9) 9

+

Chắc các bạn đã ra ?

Phần này sẽ trình bày cho các bạn các BĐT được nói tới trong bài viết và một vài cách chứng minh

1.AM-GM(côsi)

• Cho a a a1 , 2 , 3 , a ≥ có n 0 1 2 3 n 1 2 3

a +a +a + +a ≥ a a a a

• Dấu bằng xảy ra ⇔a1 =a2 =a3 = =a n

(a b+ ) ( + c+ abc) ≥ 2 ab+ 2 c abc ≥ 4 abc abc → + + ≥a b c 3 abc→đpcm

2.B.C.S(Bunhiacopxki)

• Cho a a a1 , 2 , 3 , , ,a b b b n 1 2 , , 3 b > có n 0 (a1 2 +a2 2 + + a n2 )(b1 2 +b2 2 + + b n2 ) ≥ (a b1 1 +a b2 2 + + a b n n) 2

• Dấu bằng xảy ra 1 2

1 2

n n

a

3.Mincopxki

Thực ra BĐT này có rất nhiều dạng Ở đây tôi chỉ lấy tới căn bậc 2 để cách chứng minh dễ dàng

• Cho a a a1 , 2 , 3 , , ,a b b b n 1 2 , , 3 b có n

1 2 n 1 2 n ( 1 2 3 n) ( 1 2 3 n)

a +a + +a + b +b + +b ≥ a +a +a + +a + b +b +b + +b

• Dấu bằng xảy ra 1 2

1 2

n n

a

4.Holder

BĐT này rất mạnh nhưng ta hãy chỉ quan tâm tới m=n=3

• Với a,b,c,x,y,z là các số thực dương: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

( + + )( + + )( + + ) ≥ (axm+byn+czp)

• Dấu bằng xảy ra





⇔ 



• CM: Dùng AM-GM có:

3

3

Làm tương tự cho (b,y,n) và (c,z,p) rồi cộng lại-khử-nhân chéo là được đpcm

5.Hệ quả dạng trung bình nhân của AM-GM

• Với 1 , 2 , 3 , , ,n 1 2 , , 3 n > có 0 ( 1 + 1 )( 2 + 2 )( 3 + 3 ) ( + ) ≥ 1 2 3 + 1 2 3

• Dấu bằng xảy ra 1 2

1 2

n n

• CM: Có

1 1 2 2

A


n

−

n

→

6 BĐT cộng mẫu

Đây chỉ là cách gọi quen thuộc của tôi cho BĐT S-vac:

• Cho 1 , 2 , 3 , n

và 1 , 2 , , 3 n > có 0

1 2

• Dấu bằng xảy ra 1 2

1 2

n

+ + + với xi>0

Để tổng hợp lại bài viết tôi muốn đưa ra 1 vài lới khuyên khi học toán: